[29.07] Вебинар «Интерактивные технологии на уроках: современные инструменты и сервисы» Подтвердить участие→
Конкурс разработок «Пять с плюсом» июль 2021
Добавляйте свои материалы в библиотеку и получайте ценные подарки
Конкурс проводится с 1 июля по 31 июля

Урок "Определители II и III порядка. Решение системы двух линейных уравнений по формуле Крамера"

Цель: ознакомить с определителями квадратных матриц 2-го и 3-го порядка, ознакомить с определением системы линейных уравнений и научить решать системы линейных уравнений методом Крамера.
Просмотр
содержимого документа

Определители II и III порядка. Решение системы двух линейных уравнений по формуле Крамера.

Цель

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ: ознакомить с определителями квадратных матриц 2-го, 3-го порядка; ознакомить с определением систем линейных уравнений и научить решать системы линейньж уравнений методом Крамера .

РАЗВИВАЮЩИЕ: развивать навыки умения вычислять определители 2-го, 3-го порядка, развивать интерес к предмету, активизировать мыслительную деятельность; ВОСПИТАТЕЛЬНЫЕ: развитие умения применять полученные знания в профессиональной деятельности;

План.

1. Определители II и III порядка.

2. Решение системы двух линейных уравнений по формуле Крамера.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными в общем виде имеет вид qx+blY=q а2Х + Ду =

Рёшением системы уравнений называется упорядоченная пара чисел, удовлетворяющая каждому уравнению этой системы. При решении такой системы могут быть использованы известные методы: 1) подстановки; 2) алгебраического сложения; З) графически.

Но существует ещё метод решения, который особенно удобен в том случае, когда коэффициенты q ; а2 ; ; b2 отличны от единицы или содержат буквенные выражения.

Имеем систему уравнений qx + Ду = q

                  Число аф2 —                            называется определителем второго порядка.

Вертикальные прямые знак определителя. Обозначается определитель знаком ” Л ” (дельта).

Итак определитель — это число, которое вычисляется по определенному правилу

Х = аф2 —

— первый столбик (коэффициенты при переменной х)

— второй столбик (коэффициенты при переменной у)

 bl — первая при переменных первого уравнения) а b2 — вторая строчка (коэффициенты при переменных второго,уравнения)

Определители при переменных дх и д получаются из определителя системы путем замены соответствующего столбика столбиком из свободных членов.

                                   = сф2 — сф                                                           = alC2 — а2С1

Для нахождения значений переменных х и у используются формулы х =

дд которые называются формулами Крамера.

Исследуем

1)     Если д 0 — система имеет единственное решение

2)     Если Л = 0, но Ах 0 или д     система не имеет решения

З) Если д = 0 и д = 0 и д = 0 — система имеет множество решений.

= —39

Ответ: (1; 1). —39

39

Основные свойства определителя

1.     Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот

2.     При перестановке двух столбцов (строчек) определитель меняет свой знак на противоположный.

З. Определитель, имеющий два одинаковых или пропорциональных столбца (строчки)

равен нулю.

4. Общий множитель столбца (строчки) определителя можно вьшести за знак определителя.

Решить систему уравнений:

29 д 0, система имеет единственное решение

-57-28=29

2-19--20-38= —58 Ответ: (1; —2).

        Д       29                        д       -58

         Д      29                         Д       29

При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменньпии следует помнить, что решение можно выполнить любым из известных методов решения, просто следует выбрать каким методом более рационально для данной системы.

3х 8У = 31

3)

-10х-7у=-5

Решим систему всеми способами, т.е. убедимся, что результат получается одинаковый и определимся, какой из методов более рационально применим для данной системы. 1) Способ подстановки.

   8 у = 31           Зх + 8у = 31

    -lOx-7y=-5     10х+7у=5

310 80

Решаем второе уравнение относительно

                                                                                                                           З          З

знаменателю и так как З 0 ,то

310-80y+21y=15

-59у=15-ЗIО

-295

-59у=-295; у-Ответ: х

—59

                                   31 8           31 40         9

У = 5, тогда х

2) Способ алгебраического сложения


—5, приведем к общему


3х+8у=З1 уравняем по модулю коэффициенты при х, для этого умножим первое -10х-7у=_5 уравнение на 10, а второе — на З.

        3х+8у=З1        10               30х+8Оу=З1О

почленно сложим

-10х-7у-30х-20=-15

59у = 295

подставим у= 5 в тобое из уравнений системы, например в первое, и найдем х 3х+86=31

3х+40=31

3х = —9

получаем х —З; у 5, как и в первом случае.

З) графически (следует помнить, что результаты могут быть получены приближенно, что можно объяснить нашим зрением, умением проводить линии, выбором масштаба, неудобством записи числа и т.д.)

       + 8у = 31              графиком каждого уравнения является прямая, а прямая определяется

-10х-7у=-5 двумя точками.

3х 8У = 31

                        31       7

                         8        8

          31-6 25      1

               8         8        8

-10х-7у=-5

10х+7у=5

5

4) С помощью определителя:

3х+8у=З1

-10х-7у=-5

3х+8у=З1

=21-80— —59 0 единственное решение 10х+7у=5

31 8з 31 дд 15-310=-295

5 710 5

       177                                                       -295

-3;

—59               —59 Ответ: (—3; 5).

Каким же способом более рационально мо-жно было решить эту систему? Вы правы, конечно с помощью определителя.

Самостоятельно (любьлт способом)

   4х 95, = 22а          2х-Зу=11

1)                                  2)                                3)

       11х+5у = а                  6х—9у = 33

Система трех линейных уравнений с тремя переменньми имеет вид:

На I курсе рассматривается решение такой системы с помощью определителя третьего порядка.

Выражение, составленное из коэффициентов при переменных в виде таблицы

называется определителем третьего поряда.

Определитель третьего порядка вычислить можно через определитель второго порядка или по правилу Саррюса (правило треугольника).

1)         Через определитель II порядка.

 

 

21

12

а22

32

           22 33               32 23                                                                                                                  —а м а22

Выделяем аи и мысленно вычеркиваем по столбику и строчке, оставшиеся члены составляют определитель второго порядка. Берем а] 2 с противоположньпи знаком и вычеркиваем первую строчку и второй столбик, оставшиеся члены составляют определитель II порядка. Аналогично берем ап и вычеркиваем первую строчку и трети.й столбик, оставшиеся члены составляют определитель II порядка.

Выполняем вычисления определителей II порядка по известному уже нам правилу. Например:

—4

+2.

                                   -1-1               5 7

= -66-22+132 -88+132

2) Правило треугольника (Саррюса). Рассмотрим схематически

а) (основания равнобедренных треугольников параллельны главной диагонали)

Ь) (основания равнобедренных треугольников параллельны побочной диагонали)

Пример: (возьмем тот же определитель)

—96 +140 = 44

В дальнейшем запись будем вести так

Определители дх;д ; д: получаются из определителя системы путем замены

соответствующего столбика столбиком из свободных членов и вычисляются по тому же правилу, что и определитель системы.

Для нахождения значений х; у; г пользуются правилами Крамера д: д

Исследование:

1.     Если д 0, то система имеет единственное решение

2.     Если д = 0, то система несовместима, т.е. не имеет решения

(либо дх 0; либо ду 0; либо д: 0)

3.     Если д = 0, то система неопределенна, т.е. имеет множество решений       

Определитель III порядка обладает всеми свойствами определителя II порядка.

Например, решить систему уравнений

так как коэффициенты при переменных и свободные члены пропорциональны.

4 - 2 - 2 8 2      6 - з - з - 12 з

Система имеет множество решений, т.е. неопределена.

+119 = 55 0

д и д: можно уже не находить. Следовательно система не имеет решения.

Самостоятельно:

(А = —37; х = 1; у = 3;z 4)

(д () система не имеет решения

( д = о;дгд2 = О система имеет множество решений)

Контрольные вопросы:

1.      Что такое системы уравнений II (III) порядка?

2.      Что называют элементами определителя?

З. По какой формуле находится определитель системы?

Информация о публикации
Загружено: 9 февраля
Просмотров: 1775
Скачиваний: 9
Медведева Алесия Александровна
Алгебра, СУЗ, Уроки

Проверьте знания своих учеников интересными заданиями

Красочные наградные дипломы и сертификаты для участников, свидетельства и благодарности каждому учителю, ежемесячный розыгрыш ценных призов!

Скачать материал