Урок " Формула Бернулли"

Урок для СПО по теме: "Формула Бернулли". Решение задач на вычисление вероятности.
Скачать материал
Просмотр
содержимого документа

Формула Бернулли

Рассмотрим задачу, в которой проводятся повторные независимые испытания с двумя исходами.

Пример 1:

Стрелок выполняет три попытки. Успех (попадание в цель) и неуспех (промах) каждый из них не зависит от исходов других попыток, а вероятность успешного завершения каждой попытки постоянна и равна р. Найти вероятность успешного завершения двух попыток из трёх.

Решение: пусть А1, А2 и А3 – соответственно успех в первой, второй и третьей попытке. Тогда две удачные попытки отвечают следующим событиям:   – две первые попытки удачны, третья нет; – удачны первая и третья попытка, вторая неудачна; – удачны две последние попытки, первая неудачна.

Интересующее нас событие можно записать как сумму + + . Так как события, входящие в эту сумму, несовместимы, а события А1А2А3 независимы, то по формулам сложения и умножения находим

Р( + + ) = Р() + Р( + Р() = Р1)Р2)Р() + Р1)Р()Р3) + Р()Р2)Р3).

Но вероятность попадания в цель в каждой попытке есть р, поэтому вероятность промаха равна q = 1 – p. Подставив эти значения, получим

Р( + + ) = р∙р(1 – р) + р(1 – р)р + р(1 – р)р∙р = 3р2(1 – р).

На этом примере мы познакомились с общей схемой, которая впервые была рассмотрена швейцарским математиком Я. Бернулли, и называется схемой Бернулли.

В общем случае эта схема приводит к формуле

P(An,k) = pk(1 – p)n-k =  pkqn-k,

Которая называется формулой Бернулли.

Пример 2:

Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность, что при этом герб выпадет ровно 3 раза?

Решение: пусть А10,3 – событие, состоящее в том, что при десятикратном подбрасывании монеты герб выпадает три раза. При этом вероятность выпадения герба равна 1/2, то есть р = 1/2. Тогда q = 1 – 1/2 = 1/2. Подставляя эти значения в формулу Бернулли, получим

Р10,3) =

Пример 3:

 Вероятность того, что лампа останется неисправной после 1000 часов работы, равна 0,2. Какова вероятность того, что из 5 ламп не менее трёх останутся исправными после 1000 часов работы?

Решение: будем рассматривать горение каждой лампы в течение 1000 часов как отдельный опыт. Тогда можно сказать, что проведено 5 опытов. Нас интересуют события «горят 3 лампы из 5», «горят 4 лампы из 5» и «горят 5 ламп из 5», то есть мы можем найти вероятность каждого из этих событий по формуле Бернулли, учитывая, что р = 0,2 и q = 0,8:

А5,3 =

А5,4 =

А5,5 =

Тогда искомая вероятность составит 0,0512 + 0,0084 + 0,00032 = 0,0579

Пример 4:

Самолёт имеет 4 двигателя. Вероятность нормальной работы каждого двигателя равна 0,95. Найти вероятность того, что в полёте смогут возникнуть неполадки в одном из двигателей.

Пример 5:

Вероятность того, что на некотором предприятии расход электроэнергии не превысит суточной нормы, равна 0,8. Какова вероятность того, что в течение 5 дней из 7 перерасхода энергии не произойдёт.

Информация о публикации
Загружено: 21 декабря
Просмотров: 373
Скачиваний: 4
Гущина Валентина Ивановна
Математика, СУЗ, Уроки