[Анонс!] Итоговая онлайн-конференция «Образовательные методики и технологии 2020/21» Регистрация→
Конкурс разработок «Пять с плюсом» ноябрь 2020
Добавляйте свои материалы в библиотеку и получайте ценные подарки
Конкурс проводится с 1 ноября по 30 ноября

Урок алгебры "Сумма n- первых членов геометрической прогрессии"

Тип урока : Урок открытия нового знания Цели: Предметная: вывести формулу суммы n- первых членов геометрической прогрессии, формирование и первичное закрепление умений по теме урока; Личностная : развитие логического мышления, развитие способности контролировать и оценивать свои достижения, делать выводы и выяснять закономерности. Метапредметная: воспитание наблюдательности, самостоятельности, содействовать воспитанию интереса к математике. Оборудование: ПК, мультимедийный проектор, таблицы, тесты Тип урока: урок открытия новых знаний. Методы обучения: учебно- познавательная деятельность учащихся, самостоятельная работа, самопроверка.
Просмотр
содержимого документа

Урок алгебры в 9 классе  по теме : « Сумма n- первых членов геометрической прогрессии».

 Тип урока : Урок открытия нового знания

Цели:

Предметная: вывести формулу суммы n- первых  членов геометрической прогрессии,  формирование и первичное закрепление умений по теме урока;

Личностная : развитие  логического мышления, развитие способности  контролировать и оценивать свои достижения, делать выводы и выяснять закономерности.

Метапредметная: воспитание наблюдательности, самостоятельности, содействовать воспитанию интереса к математике.

Оборудование: ПК, мультимедийный проектор, таблицы, тесты

Тип урока: урок открытия новых знаний.

Методы обучения: учебно- познавательная деятельность учащихся, самостоятельная работа, самопроверка.

                                                     Прогрессия (лат. Progression)- движение вперед.

           Ход урока.

  • Актуализация базовых знаний учащихся. ( тест с выбором ответа- работа с сигнальными карточками)

Теоретический этап  (Слайд2)

А).Выбрать верное определение арифметической прогрессии.

  Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член которой

1… получается прибавлением определенного числа,

2…начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом,

3… начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

         

             Б). Геометрической прогрессией называют .. (Слайд 3)

1… числовую последовательность, каждый член которой, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число;

2… числовую последовательность , каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом;

3… последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

          

             В).Соотнесите формулу с её названием. (Слайд 4)

А. Формула n- ного члена арифметической прогрессии.

Б. Формула n- ного члена геометрической прогрессии.

В. Разность арифметической прогрессии.

Г. Знаменатель геометрической прогрессии.

Формула n- ного члена арифметической прогрессии.

 А

Б

В

Г

 

 

 

 

1.Х n= х1 ·qn-1        2. Хn= х1+ d(n – 1)       3.  d= а2 – а1             4. q=b2:b1

Г).  Выбрать формулу   (Слайд 5)

а) суммы  n- первых членов арифметической прогрессии;

б)формулу- характеристическое свойство арифметической прогрессии ;

в) формулу- характеристическое свойство геометрической прогрессии.

 

  1. а n =       2. Sn= ·n     3. Sn=     4. (bn)2  = bn-1· bn+1

                     Практический этап. (Слайд 6)

          Д). а)Выбрать арифметическую прогрессию

              б)Выбрать геометрическую прогрессию

1). 12;  14;  16; ..    2) 3; 6;12;…       3) ; -3; -6;..  4) 25; 20; 5;..

          Е).В геометрической прогрессии 20; 10; 5;…  найти знаменатель

  1) 2,     2) 0,5,         3) -2;           4) -0,5

          Ж). В арифметической прогрессии  20,  23, 26..   найти  пятый член

           З). В геометрической прогрессии 81; 27;… найти пятый член.

   Ответы.

А

Б

В

Г

Д

Е

Ж

З

2

3

2134

а)23, б)1  в)4

а)13 б)2

2

32

1

Учитель:  В оценочные листы выставите себе оценку за этот этап урока. (Слайд 7)

«5» - нет ошибок,     «4»-  одна, две ошибки,  «3»-  3,4 ошибки,   «2»- больше ошибок

  • Открытие  новой темы

Задачи на прогрессии были известны давно, встречались они и на глиняных вавилонских клинописных таблицах, и на египетских папирусах, относящихся ко второму тысячелетию до нашей эры.  Интересные задачи на прогрессии есть и в первом русском  учебнике математики Магницкого «Арифметика сиречь наука численная». ( в 2013 г учебнику исполнилось 310 лет).  (Слайд 8)

Задача.   Некто продавал коня и просил за него 156 рублей. Но покупатель, уже почти купивший лошадь, затем передумал и вернул её хозяину, сказав при этом:

- Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.

 Тогда крестьянин предложил ему другое условие:

- Если по-твоему цена лошади высока, то купи только её подковные гвозди, лошадь получишь в придачу. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего копейки, за второй - , за третий – 1 копейку и т.д., за каждый следующий в 2 раза больше, чем за предыдущий.

 Покупатель, соблазнённый низкой ценой и желая получить лошадь почти даром, принял условие продавца, рассчитывая , заплатить  за подковные гвозди не более 10 рублей.

     Проторговался ли покупатель?  Как это проверить?   Нужно найти сумму: + +1+2+…

Слагаемые в этой сумме образуют геометрическую прогрессию, требуется найти сумму её первых   двадцати четырёх членов. (Слайд 9)

S24= + +1+2+…+ 221

S24= +1+2+…+ 222

S24 -  S24= ( +1+2+…+ 222 ) – ( + +1+2+…+ 221) = 222 - ≈ 42 000 рублей – стоимость подковных гвоздей. Покупатель проторговался на огромную сумму. За такую цену необидно и лошадь дать в придачу. 

Могли  ли мы найти эту сумму быстро? Нет. Давайте выведем общую формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии , для вывода используем известный приём. (Слайд 10)

Пусть дана  геометрическая прогрессия (bn). Обозначим сумму п первых её членов через Sn:      

                                          Sn=b1+b2+b3+…+bn-1+bn.                        (1)

 

Умножим обе части этого равенства на q:    

Snq=b1q+b2q+b3q+…+bn-1q+bnq.

 

Учитывая, что          b1q=b2, b2q=b3, b3q=b4, …, bn-1q=bn,

Получим                   Snq=b2+b3+b4+…+bn+bnq.                               (2)

 Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) и приведём подобные члены:

SnqSn=( b2+b3+…+bn+bnq) – (b1+b2+…+bn-1+bn)=bnqb1.

 

                             Sn (q – 1)=bnqb1.

Отсюда следует, что при  q ≠ 1

                                                      .                                    (I)

 Мы получили формулу суммы п первых членов геометрической прогрессии, в которой  q ≠ 1. Если  q=1, то все члены прогрессии равны первому члену и  Sn=nb1.

При решении многих задач удобно пользоваться формулой суммы п первых членов геометрической прогрессии, записанной в другом виде. Подставим в формулу (I) вместо bn выражение b1qn – 1.  Получим: 

                              ,  если  q ≠ 1.                              (II)

 Учитель

 1 задача :  Найдем сумму первых десяти членов геометрической прогрессии ( bn), которой b1=3 и q=.

Т.к. известны первый член  и знаменатель прогрессии, то удобно пользоваться формулой (II). Получим:  

  • Закрепление

Решение задач учебника у доски № 649 (а,б)  (Ответ. а)-63, б) 147 ), №652 (в) (ответ . ((-)n -1)

  • Самостоятельная работа  по вариантам с последующей проверкой 

№ 650 (а- I вариант, б- II вариант) (Ответ. а) -39364, б) 171)

№652 (а- I вариант, б- II вариант)  (Ответ. а) ( 3n -1) :2,    б)  2·( 2n -1).

  • . Физкультминутка.

          Гимнастика для глаз.

Я буду называть последовательность. Если арифметическая прогрессия, то 2 раза поднять обе руки, если геометрическая прогрессия, то сделать поворот туловища 4 раза.

1) 1,2,3, 4, ...

2) 5, 25, 125, 625,..

3) 1, 3, 8, 10, ...

4) 2. 4, 8, 16, 32,..

Задача

Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 40, знаменатель прогрессии равен 3. Найти Сумму восьми членов этой прогрессии) ( Сборник задач для подготовки к итоговой аттестации. Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова и др.  М. Просвещение. 2007г) (Ответ. 328)

  •  Задание на сообразительность. (Слайд 11)

5

-10

      20

-640

-2

      -40

320

-160

       80

 1.Какие закономерности в таблице  

      ( числа 5, -10,20, -40……-640

        образуют геом. прогрессию , первый член которой 5, а знаменатель  -2).

      2.   Какие закономерности в этой таблице?

2

4

8

16

 0

2

6

14

-2

0

4

12

-4

-2

2

10

        В первой строке – геометрическая прогрессия  (q=2), а в каждом столбце – арифметическая прогрессия  (d= -2).

  • Повторение. 

1. №659 (Ответ  а)3,75  б)0,8)

2.Найти значение выражения( - 2)(   + 2).

  1. 3 , 2) 1, 3) 21, 4) 7

     3.   Задание по реальной математике

         Оценочный лист  ученика.

 Первый этап

Самост. работа по новой теме № 649, 650

Задачи на  сообразительность

 Итоговая оценка

  теория          

 практика

 

 

 

 

 

 

Рефлексия.

Выставьте себе оценку:

«5» - все понял и могу объяснить другому

«4»- сам понял, объяснить другому не берусь

«3»- для полного понимания надо повторить

«2» - я ничего не понял.

 

Итог урока.

Петя довольный пришел из школы и предложил папе заключить сделку:  в учебном году 34 недели; за первую неделю Петя получит 1 копейку, за вторую – 2, за третью -4 и т.д. Как вы думаете, в каком классе учится Петя, и что нового он узнал в школе?

   Геометрическая прогрессия удивляет своим чрезвычайно быстрым ростом. Так что математика математикой, а в жизни с растущими геометрическими прогрессиями надо обращаться осторожно. Если в геом. прогрессии растет стадо – скоро ему не хватит пастбищ, если число распадов в куче плутония – дело идёт к атомному взрыву, а если доходы в фирме- не связывайтесь с этими «благодетелями».

 Достигли ли мы целей урока?

Д/з    № 649 (вг), 652(в)  (Слайд 14) Сообщения а) прогрессия размножения

                                                               Б) жизнь на проценты

                                                               В) легенда о шахматах.

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

Информация о публикации
Загружено: 5 мая
Просмотров: 142
Скачиваний: 0
Мельникова Анна Анатольевна
Алгебра, 9 класс, Уроки
Скачать материал