[29.07] Вебинар «Интерактивные технологии на уроках: современные инструменты и сервисы» Подтвердить участие→
Конкурс разработок «Пять с плюсом» июль 2021
Добавляйте свои материалы в библиотеку и получайте ценные подарки
Конкурс проводится с 1 июля по 31 июля

Урок №104 Решение задач с помощью производной.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме 1. механический смысл первой производной; 2. механический смысл второй производных; 3. скорость и ускорение.
Просмотр
содержимого документа

Конспект урока

Урок №104 Решение задач с помощью производной.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

  1. механический смысл первой производной;
  2. механический смысл второй производных;
  3. скорость и ускорение.

Глоссарий по теме

Производная y’(x) функции y=f(x) – это мгновенная скорость изменения этой функции. В частности, если зависимость между пройденным путём S и временем t при прямолинейном неравномерном движении выражается уравнением S=f(t), то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени t нужно найти производную S’=f’(x) и подставить в неё соответствующее значение t, то есть v(t)=S’(t).

Производная от данной функции называется первой производной или производной первого порядка. Но производная функции также является функцией, и если она дифференцируема, то от неё, в свою очередь, можно найти производную.

Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается fhttps://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6195/20190910173807/OEBPS/objects/c_matan_11_19_1/adc89bbc-eb7c-4f5b-b130-4f1a7725adc1.pngили https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6195/20190910173807/OEBPS/objects/c_matan_11_19_1/a62d7c42-f80c-43ac-8bfc-ef8413fa3197.png

Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6195/20190910173807/OEBPS/objects/c_matan_11_19_1/2099b0d0-8275-4f27-adcb-a5cb1485dc64.pngили f'''(x). Производную n-го порядка обозначают f(n) (x) или y(n).

Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса, заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости, то есть ускорение, то есть https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6195/20190910173807/OEBPS/objects/c_matan_11_19_1/0dbdbd1a-b349-410a-b13a-d54213a85ff8.png

Первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение. (v= S'; a=v')

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте вспомним механический смысл производной:

Производная y’(x) функции y=f(x) – это мгновенная скорость изменения этой функции. В частности, если зависимость между пройденным путём S и временем t при прямолинейном неравномерном движении выражается уравнением S=f(t), то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени t нужно найти производную S’=f’(x) и подставить в неё соответствующее значение t, то есть v(t)=S'(t).

Пример 1. Точка движется прямолинейно по закону https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6195/20190910173807/OEBPS/objects/c_matan_11_19_1/6877918d-e145-416f-bdd2-6d04e1bad516.png  (S выражается в метрах, t – в секундах). Найти скорость движения через 3 секунды после начала движения.

Решение: 

скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени, то есть https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6195/20190910173807/OEBPS/objects/c_matan_11_19_1/8e72d2e4-2354-4d07-8236-ecbee930cf13.png.

Подставив в уравнение скорости t=3 с, получим v(3)=32+4∙3-1= 20 (м/с).

Ответ: 20 м/c.

Пример 2. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с на угол

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6195/20190910173807/OEBPS/objects/c_matan_11_19_1/debe79e0-121d-4b49-bf39-d7b2d6b901d6.pngНайдите:

а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 6 с;

б) в какой момент времени маховик остановится?

Решение: а) Угловая скорость вращения маховика определяется по формуле ω=φ'. Тогда ω=(4t-0,2t2)=4-0,4t.

Подставляя t = 6 с, получим ω=4-0,4∙6=1,6 (рад/с). 

б) В тот момент, когда маховик остановится, его скорость будет равна нулю (ω=0) . Поэтому 4-0,4t=0.. Отсюда t=10 c.

Ответ: угловая скорость маховика равна (рад/с); t=10 c.

Пример 3. Тело массой 6 кг движется прямолинейно по закону S=3t2+2t-5. Найти кинетическую энергию тела https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6195/20190910173807/OEBPS/objects/c_matan_11_19_1/3912173e-61a8-4f6e-a18c-ed4473504ff4.pngчерез 3 с после начала движения.

Решение: найдём скорость движения тела в любой момент времени t.

v= S'=(3t2+2t-5)’=6t+2

Вычислим скорость тела в момент времени t=3. v(3)=6∙3+2=20 (м/с)..

Определим кинетическую энергию тела в момент времени t=3. 

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6195/20190910173807/OEBPS/objects/c_matan_11_19_1/f7e7013c-16cc-4200-afc8-7170ed9b3394.pnghttps://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6195/20190910173807/OEBPS/objects/c_matan_11_19_1/13ae87f9-865b-4198-a135-2ead429ee125.png

Ответ: Е=1200 Дж

Производная второго порядка. Производная n-го порядка.

Производная от данной функции называется первой производной или производной первого порядка. Но производная функции также является функцией, и если она дифференцируема, то от неё, в свою очередь, можно найти производную.

Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6195/20190910173807/OEBPS/objects/c_matan_11_19_1/f35b0c7c-c7b7-4157-9a43-9380167c9174.png.

Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается y''' или f'''(x) Производную n-го порядка обозначают f(n) (x) или y(n).

Примеры. Найдем производные четвёртого порядка для заданных функций:

1) f(x)= sin 2x

f'(x)=cos 2x∙(2x)’= 2cos 2x

fhttps://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6195/20190910173807/OEBPS/objects/c_matan_11_19_1/145babbd-c15d-4131-b631-8f683755ca18.png (x)=-2sin2x∙(2x)’=-4sin 2x

f'''(x)= -4 cos 2x∙(2x)= -8 cos 2x

f(4)(x)= 8 sin2x∙(2x)’= 16 sin 2x

2) f(x)=23x

f’(x)=3∙ 23x ∙ln2

fhttps://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6195/20190910173807/OEBPS/objects/c_matan_11_19_1/b0fd09f3-85b0-49e0-a0c6-4ee68c03ae99.png (x)= 9∙ 23x ∙ln22

f'''(x)= 27∙ 23x ∙ln32

f(4)(x)= 81∙ 23x ∙ln42

Механический смысл второй производной.

Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса, заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости, то есть ускорение, то есть https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/6195/20190910173807/OEBPS/objects/c_matan_11_19_1/dce9de6c-13e7-4262-a05b-d0306b45f3c4.png

Итак, первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение. (v= S’; a=v’)

Пример 4. Точка движется прямолинейно по закону S(t)= 3t2-3t+8. Найти скорость и ускорение точки в момент t=4 c.

Решение:

найдём скорость точки в любой момент времени t.

v=S’=(3t2-3t+8)’=6t-3.

Вычислим скорость в момент времени t=4 c.

v(4)=6∙4-3=21(м/с)

Найдём ускорение точки в любой момент времени t.

a= v’= (6t-3)’=6 и a(4)= 6 (м/с2) , то есть ускорение в этом случае является величиной постоянной.

Ответ: v=21(м/с); a= v’= 6 (м/с2).

Пример 5. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону S(t)=t3-3t2+5. Найти силу, действующую на тело в момент времени t=4 c.

Решение: сила, действующая на тело, находится по формуле F=ma. 

Найдём скорость движения точки в любой момент времени t.

v=S’=(t3-3t2+5)’=3t2-6t.

Тогда v(4)=3∙42-6∙4=24 (м/с). 

Найдём ускорение: a(t)=v’=(3t2-6t)’=6t-6.

Тогда a(4)= 6∙4-6= 18 (м/с2).

F=ma=3∙18= 54 Н

Ответ: F= 54 Н

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Напишите производную третьего порядка для функции:

f(x)= 3cos4x-5x3+3x2-8

_____________________

Решим данную задачу:

f’’’(x)=( 3cos4x-5x3+3x2-8)’’’=(((3cos4x-5x3+3x2-8)’)’)’=((-12sin4x-15x2+6x)’)’=(-48cos4x-30x)’=192sin4x-30.

Ответ: 192sin4x-30

№ 2. Тип задания: выделение цветом

Точка движется прямолинейно по закону S(t)= 3t2+2t-7. Найти скорость и ускорение точки в момент t=6 c.

  1. v=38 м/с; a=6 м/с2
  2. v=38 м/с; a=5 м/с2
  3. v=32 м/с; a=6 м/с2
  4. v=32 м/с; a=5 м/с2

Решим данную задачу:

Воспользуемся механическим смыслом второй производной:

v= S’(t)=( 3t2+2t-7)’=6t+2.

Вычислим скорость в момент времени t=6 c.

v(6)=6∙6+2=38 (м/с)

Найдём ускорение точки в любой момент времени t.

a= v’= (6t+2)’=6 и a(6)= 6 (м/с2) , то есть ускорение в этом случае является величиной постоянной.

Ответ: v=38(м/с); a= v’= 6 (м/с2).

Верный ответ:

  1. v=38 м/с; a=6 м/с2
  2. v=38 м/с; a=5 м/с2
  3. v=32 м/с; a=6 м/с2
  4. v=32 м/с; a=5 м/с2

 

Информация о публикации
Загружено: 1 июня
Просмотров: 58
Скачиваний: 1
Грищенкова Юлия Сергеевна
Алгебра, СУЗ, Уроки

Проверьте знания своих учеников интересными заданиями

Красочные наградные дипломы и сертификаты для участников, свидетельства и благодарности каждому учителю, ежемесячный розыгрыш ценных призов!

Скачать материал