Образовательный спецпроект «Дистант 2020»: «10 секретов успешного проведения онлайн-урока» Подтвердить участие→
Конкурс разработок «Пять с плюсом» октябрь 2020
Добавляйте свои материалы в библиотеку и получайте ценные подарки
Конкурс проводится с 1 октября по 31 октября

Учебный проект_Метод областей

Задачи с параметрами практически не представлены в школьном курсе математики. Между тем, можно попытаться решить эти задачи графически, тогда результаты могут быть получены значительно быстрее.
Просмотр
содержимого документа

МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ БЕЛОЯРСКОГО РАЙОНА

ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ СРЕДНЯЯ (ПОЛНАЯ) ШКОЛА №1

г. Белоярский

 

 

 

 

Проект в номинации № 2

«Математика, информатика, физика, астрономия»

 

 

 

 

Тема проекта:

 

РЕШЕНИЕ  НЕРАВЕНСТВ                        С  ПАРАМЕТРАМИ 

МЕТОДОМ ОБЛАСТЕЙ

 

 

 

Автор проекта:

 

Цыганок Дарья Михайловна

 

10 класс

 

 

Научный руководитель проекта:

 

Ефименко Татьяна Геннадьевна

 

учитель математики

 

 

 

 

 

Белоярский

 2013 год

Содержание

 

 

1.ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………………………...3

 

2.ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ..…………………………………………………………………...5

2.1. Определение параметра……………………………………………………………5

2.2. Что означает «решить задачу с параметром»?.......................................................5

2.3. Основные типы задач с параметрами……………………………………………..6

2.4. Основные способы (методы) решение задач с параметром……………………..7

2.4.1. Способ I. Аналитический …………………………………………………….7

2.4.2. Способ II. Графический ………………………………………………………9

2.4.3. Способ III. Метод областей…………………… ……………………………..10

 

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ  ………………………………………………………………………. .15

 

4. ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………………………...16

 

5. ПРИЛОЖЕНИЯ………………………………………………………………………….17

Приложение 1. Результаты опроса выпускников …………………………………17

Приложение 2. Аналитический способ решения неравенств с параметрами……17

Приложение 3. Банк заданий………………………………………………………..21

Приложение 4. Применение метода областей при решении задач на нахождение

площади фигуры, ограниченной неравенством………………………………………….39

Приложение 5. Задания для самостоятельного решения………………………….42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                           «Но когда эти науки (алгебра и геометрия)  

                                              объединились, они  энергично поддержали  

                                             друг друга и быстро зашагали к совершенству»

                                                                                                             Ж.А.Лагранж

 

1. ВВЕДЕНИЕ

 

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей приводит к решению уравнений и неравенств, содержащих параметр. Задачи с параметрами практически не представлены в школьном курсе математики. Между тем они часто встречаются на вступительных экзаменах в вузы, причем не только на математические специальности, но и на гуманитарные, а в настоящее время становятся неотъемлемой частью всех вариантов ЕГЭ.  Большинство учащихся к задачам с параметрами, в основном, даже не приступают (приложение 1), поскольку эти задачи требуют пространных рассуждений. Между тем, если попытаться решить эти задачи графически, то результаты могут быть получены значительно быстрее. 

Иногда для решения задач с параметрами не требуется обладать знаниями, выходящими за рамки школьной программы. Однако непривычность формулировки обычно ставит в тупик учащихся, не имеющих опыта решения подобных задач.  

Знакомство с параметрами полезно не только для поступления в вуз, но и само по себе. Ведь задача с параметром предполагает не только умение производить  какие-то выкладки по заученным правилам, но также и понимание цели выполняемых действий.  Для успешного решения таких задач необходимо рассматривать различные случаи (и понимать, какие именно случаи нужно рассмотреть), что приучает к внимательности и аккуратности. Даже при записи ответа нужно быть крайне сосредоточенным, чтобы не упустить ни одной из частей его, полученных в ходе решения. Подчас задачи с параметрами требуют довольно тонких логических рассуждений. Все вышесказанное определяет актуальность выбранной темы.

Цель: рассмотрение координатного метода решения задач с параметрами как более рационального.

Задачи:

  1. изучить имеющуюся литературу по теме проекта;
  2. ознакомиться с определением(ями) параметра;
  3. рассмотреть типы и основные методы (способы) решений задач с параметрами;
  4. рассмотреть подробно графический способ решения – метод областей;
  5. составить алгоритм решения заданий с параметрами методом областей;
  6. создать банк заданий по теме проекта.

Моя проектная работа состоит из введения, основной части, заключения, списка литературы и приложения.

Во введении содержится обоснование актуальности выбранной темы, определенны цель и задачи работы.

В основной части представлены различные определения параметра как математического понятия, приведены примеры типов задач с параметрами и рассмотрены основные способы решения задач с параметрами.

В заключении делается, вывод  из проделанной работы. Список использованной литературы содержит 11 наименований.

В приложении содержатся конкретные примеры решения неравенств с параметрами и банк заданий для самостоятельной  работы.

2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

2.1. Определение параметра. Параметром (от греч. parametreo - меряю, сопоставляя) называется

1. величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной частной задачи, но при переходе к другому явлению, к другой задаче меняющая свое значение (мат.),

2. величина, характеризующая то или иное свойство какого-н. явления, напр. теплопроводность, электропроводность тела, коэффициент его расширения или преломления и т. п. (физ. и тех.),

3. независимая сменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, которое принадлежит раньше времени обсужденному множеству.

Замечание. Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, которые вытекают из условия задачи. Например, из истинности левой части уравнения    |х|= а – 1  не вытекает истинность значений выражения а – 1, и если
а – 1 < 0, то мы обязаны констатировать, что уравнение не имеет решений.

2.2. Что означает «решить задачу с параметром»?

Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если, например, нужно решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает найти обоснованный ответ или для любого значения параметра, или для значения параметра, который принадлежит раньше времени обсужденному множеству.

Если же нужно найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет условию, то, очевидно, что решение задачи состоит из поиска указанных значений параметра.

Если данное неравенство f(x; a) ≥ ≤ 0,которое надо решить относительно переменной x и в котором буквой a обозначено произвольное действительное число, то f(x; a) ≥ ≤ 0 называется неравенством с параметром a.

Основная трудность, связанная с решением задач с параметром состоит в следующем. При одних значениях параметра задача не имеет корней, при других – имеет бесконечно много корней, при третьих – она решается по одним  формулам, при четвертых – по другим, например:

D < 0 – квадратное уравнение не имеет корней

D > 0 – квадратное уравнение имеет два корня, которые рассчитываются по формулам:

x=

D = 0 – уравнение имеет один корень, который рассчитывается по формуле:

x= , где D = b2- 4ac – формула для нахождения Дискриминанта.

2.3. Основные типы задач с параметрами

Тип 1. Уравнение, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить или для любого значения параметра (параметров), или для значений параметра, которые принадлежат заранее обсужденному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку он является основой при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнение, неравенства, их системы и совокупности, для которых нужно определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

Обращаем внимание на то, что во время решения задач данного типа нет необходимости ни решать данные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев робота является тактической ошибкой, которая приводит к неоправданным потерям времени. Однако не следует абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение согласно типу 1 есть единым умным путем получения ответа при решении задач типу 2.

Тип 3. Уравнение, неравенства, их системы и совокупности, для которых нужно найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Легко увидеть, что задачи типу 3 в каком-то смысле являются обратными к задачам типу 2.

Тип 4. Уравнение, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) условие выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;

2) множество решений первого неравенства (уравнения) является подмножеством множества решений второго и т. д.

Замечание. Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но большинство из них на выпускных и вступительных испытаниях относится до одного из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

Наиболее массовый класс задач с параметром – задачи с одним неизвестным и одним параметром.

2.4. Основные способы (методы) решение задач с параметром

2.4.1. Способ І. Аналитический. Это способ так называемого прямого решения, которое повторяет стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле слова «наглого» решения.

Образец решения задачи с параметром в общем виде. 

Задача. Решите уравнение Описание: http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12874/12874_html_2690da4.gif аналитическим способом.

Решение. Заметим, что левая часть уравнения неотрицательна при всех значениях неизвестной, следовательно, при отрицательном значении параметра решений нет. Если параметр Описание: http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12874/12874_html_m3162be4b.gif, то уравнение принимает вид Описание: http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12874/12874_html_m2fc60048.gif, и имеет один корень Описание: http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12874/12874_html_22ae4630.gif. При положительном значении параметра а, данное уравнение имеет два корня Описание: http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12874/12874_html_meecd899.gif. 
Ответ: при Описание: http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12874/12874_html_e51befc.gif, корней нет;
при Описание: http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12874/12874_html_m3162be4b.gif, один корень Описание: http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12874/12874_html_22ae4630.gif;
при Описание: http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12874/12874_html_10474ce5.gif, два корня Описание: http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12874/12874_html_meecd899.gif.

Пример 1. Решите неравенство .

Решение.

 

 

            Перенесем (с соответствующими знаками) в заданном неравенстве все члены с в одну сторону, а без – в другую и вынесем множитель за скобки. Получим неравенство равносильное исходному. Для его решения нам хотелось бы разделить обе его части на коэффициент при , но это преобразование мы не можем выполнить однозначно, так как на нуль делить вообще нельзя, а если коэффициент при не будет равен нулю, то при делении обеих частей неравенства на положительное число, знак неравенства  не меняется, а при делении на отрицательное число знак неравенства  меняется на противоположный. Следовательно, придется разбить дальнейшее решение на три случая.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: при   ;

             при   ;

             при   .

Пример 2. Решите неравенство .

Решение.

 

 

разделим обе части неравенства на

получаем

 

 

разделим обе части неравенства на

Ответ: при ;

              при   ;

              при .

Замечание. По нашему мнению, аналитический способ решения задач с параметром – это самый трудный способ, который требует высокой грамотности, больших усилий и привычек.

Примеры решения некоторых видов уравнений аналитическим способом представлены в приложении 2.

2.4.2. Способ II. Графический. В зависимости от задачи (из сменной х и параметром а) рассматриваются графики или в координатной плоскости (х; у), или в координатной плоскости (х; а).

Описание: https://encrypted-tbn3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQxUVDmu49_gy71Sq3nliqGY6io2twhwbmhXjFG54xvXWcYAdO5EQСхема решения неравенств f(x) ≥ ≤ g(x) графическим способом
1. построить графики Описание: http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12874/12874_html_50902641.gif и Описание: http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12874/12874_html_m447adf79.gif(рис.1);
2. найти точки пересечения графиков;
3. учесть условия;

4. выписать ответ.

 

                                                                                    Рис.1            

Пример 1.  При каких значениях параметра неравенство имеет решения?

Построим в одной системе координат графики функций и (рис.2). График первой функции – полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат, второй – семейство прямых, параллельных прямой .

          

                               Рис.2

Решения данного неравенства – промежуток области определения функции , для всех точек которого график этой функции расположен выше графика функции . Перемещая прямую сверху вниз, видим, что решения появляются только после момента касания (). Т.о.,  при неравенство решений не имеет, а при решения есть.

Ответ: при .

Пример 2. Решите неравенство

Изобразим в одной системе координат графики функций и (рис.3).

 

 

                                  Рис.3

 

 

Пробегая прямыми ось , находя абсциссы точек пересечения прямой с прямыми и определяя интервалы на оси для всех точек которых график функции расположен над графиком функции получаем следующий

Ответ: при нет решений;

            при ;

            при   .

Графическим способом задачи с параметром  решаются быстрее. На рисунке все решение наглядно видно.

Вывод о решении задач с параметром графическим способом в общем виде

Задачу с параметром будем рассматривать как функцию Описание: http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/13/12874/12874_html_m1b85f5cc.gif.

Алгоритм решения:
1. строим графический образ.
2. пересекаем полученное изображение прямыми, параллельными оси абсцисс;
3. считываем нужную информацию.

Примеры графической интерпретации решений заданий с параметром на основе исследования свойств графиков достаточно известных и простых уравнений таких геометрических фигур, как: прямая, окружность, парабола, синусоида, квадрат, ломаная линия, угол показывают, что решения становятся абсолютно наглядными, естественными и достаточно простыми. Если уравнение одной из фигур не зависит от изменяющегося параметра, то график этой фигуры неподвижен относительно системы координат. Если в уравнение другой фигуры входит параметр, то от его изменения  зависит расположение и даже форма графика. Тогда суть решения уравнения состоит в определении числа точек пересечения графиков построенных уравнений, а значит в определении количества возможных решений в зависимости от конкретных числовых значений параметра.  Для усложнения заданий эти уравнения искусственно преобразуют, «камуфлируют». Дополнительная сложность возникает при поиске чисто аналитического метода решения.

2.4.3. Способ Ш. Метод областей (обобщенный метод интервалов). При решении задач этим способом сменные х и а принимаются равноправными и выбирается та сменная, согласно которой аналитическое решение признается более простым. После упрощений необходимо вернуться к исходному содержанию сменных х и а и закончить решение.

Описание: Найти все значения параметра р, при каждом из которых множество решений неравенства. Не содержит ни одного решения неравенства. Р = 3. Р = 0. Ответ: Применим обобщенный метод областей. Построим граничные линии. Определим знаки в полученных областях, и получим решение данного неравенства. По рисунку легко считываем ответ. 3. 2. 1. -1. 1. 2. .Для успешного исследования многих задач повышенной трудности (а к ним относятся задачи с параметрами) нужно уметь строить не только графики функции, но и изображать на плоскости множества точек, координаты которых удовлетворяют заданным уравнениям, неравенствам или их системам. Эффективно строить на координатной плоскости такие множества позволяет «метод областей», который является одним из частных случаев координатного метода.

Идея  «метода областей» заключается в том, что решение задачи в исходной области сводится к реше-  

                  Рис.4                              нию ее или совокупности более простых задач в каждой из областей, их которых составляется исходная область.

Применение «метода областей» при решении неравенств с параметрами во многом аналогично применению метода «интервалов» для решения неравенств с одной переменной.

Рассмотрим неравенство

Р (х, а) > 0 (Р (х, а) < 0),

где Р (х, а) – многочлен, аргументами которого являются переменная х и параметр а.

Пусть уравнение

Р (х, а) = 0

определяет  некоторые линии на координатной плоскости.

Разобьем этими линиями координатную плоскость на конечное число п «областей», ограниченных линиями Р = 0 (рис.4).

В каждой из полученных областей многочлен Р (х, а) отличен от нуля, так как точки, в которых  Р (х, а) = 0 принадлежат границе этих «областей».

Справедлива теорема: В каждой из областей, на которые линии Р = 0  делят координатную плоскость, многочлен Р (х, а) либо положителен, либо отрицателен.

Таким образом, решение неравенства – множество всех пар чисел (х, а), при которых неравенство выполняется, образует совокупность (объединение) тех областей, в которых значение многочлена Р (х, а) положительно (отрицательно).

Часто при решении заданий с параметрами решение аналитическим способом является очень длинным и не всегда рациональным, тогда как решение этого задания «методом областей» значительно упрощает «выкладки» и дает возможность наглядно увидеть его решение.

Пример 1

Для каждого значения параметра, а решить неравенство    .

Решение. На координатно-параметрической плоскости хОа  множества точек, значения координаты и параметра которых удовлетворяют рассматриваемому неравенству, представляет собой области II и IV (рис.5).

Рис. 5

Ответ: если а < -2, то а   х < -2;

              если а = -2, то х ø;

              если а > -2, то -2 < ха.

Пример 2

Найти все значения параметра а, при которых множество решений неравенства

   (1)

содержит число 6, а также два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.

Решение.

ОДЗ: .

Проведем равносильные преобразования неравенства (1):

;

;

;

Домножим выражение в первой скобке на :

Рис.6

Но если

Но в (0; 5) ни один отрезок длиной 6 не входит. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны входить в интервал (5;а) (рис.6), т. е. при .

Ответ: при условие выполняется.

Пример 3. Решите неравенство .

Решение.

Для решения неравенства воспользуемся методом областей (обобщением метода интервалов для плоскости). Функция неопределенна при и обращается в нуль при   или  . Изобразим в плоскости множество точек, удовлетворяющих этим условиям (три прямые) (рис.7):

              

Рис.7

 Эти три прямые разбивают плоскость на семь областей, в каждой из которых выражение в левой части данного неравенства сохраняет знак. Подставляя в координаты точек из полученных областей, получаем, что неравенству удовлетворяют точки из II, IV, V, VII частей. Проводя прямые, параллельные оси , и находя проекции частей этих прямых, попавших в указанные области, на данную ось получаем следующий

Ответ: при ;

            при неравенство не определено;

            при

            при

            при

Другие примеры решения неравенств с параметрами методом областей приведены в приложениях 2-4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Анализ графической информации позволяет нам получить следующие выводы:

1) Ограничения, накладываемые на х и а условием задачи, приводят к существованию множества точек плоскости, координаты которых не могут входить в решение неравенства. Выделение таких областей, как правило, облегчает решение задачи.

2) Координаты каждой точки графика при подстановке в выражение обращают его в нуль. Следовательно, график можно назвать «нулем» функции .

3) График уравнения разбивает координатную плоскость на ряд областей. Каждая из них представляет собой множество точек, обладающих следующим свойством: при подстановке координат точек из данной области функция принимает значения одного знака. Геометрическим решением неравенства является объединение областей плоскости, координаты точек которых удовлетворяют исходному неравенству.

Перечисленные общие закономерности дают основание называть данный метод – методом областей или методом интервалов решения неравенств с параметрами. Здесь интервалы представляют собой те области, на которые координатная плоскость разбивается графиком («нулем» функции ).

Метод интервалов приводит к наиболее рациональному решению задач, в структуру которых входят задачи с параметром и требуется провести исследование с учетом некоторого условия.

Таким образом, при решении  неравенств «методом областей» необходимо:

  1.      разложить данное неравенство на множители;
  2.      найти и построить уравнения заданных функций, разбивающих координатную плоскость на «частичные области»;
  3.      определить знак неравенства в каждой из получившихся областей;
  4.       ответить на заданный вопрос.

Считаю, что данный метод является оригинальным и самым эффективным при решении неравенств с параметрами, которые, как было отмечено выше, являются для большинства обучающихся задачами повышенной трудности и требуют глубокого знания школьного курса математики и высокой логической культуры.

 

 

 

 

4. СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННОЙ  ЛИТЕРАТУРЫ

  1.      Большой энциклопедический словарь. Математика.- М.: Научное издательство “Большая Российская энциклопедия”, 1998.
  2.      Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами.  «Илекса», «Гимназия». Москва – Харьков, 2003.
  3.      Горнштейн Ш. Квадратные трехчлены и параметры. – Математика.1999. № 5- с. 4-9
  4.      Дорофеев Г.В. О задачах с параметрами, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы. Математика в школе.- 1983- № 4.- с. 36-40.
  5.      КИМы  ЕГЭ – 2012.
  6.      Моденов В.П. Задачи с параметрами. Коодринатно-параметрический метод. - Издательство «Экзамен». Москва, 2006.
  7.      Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика. Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы. Москва. «АСТ-Пресс школа», 2002.
  8.      Шарыгин И.Ф., Факультативный курс по математике. Решение задач: учебное пособие для 10 кл. средней школы.- М.: Просвещение, 1989.- 252 с.
  9.      Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике. Решение задач: учебное пособие для 11 кл. средней школы.- М.: Просвещение, 1991.- 384 с.
  10. Шевкин А.В. Задачи с параметром. Линейные уравнения и их системы: 8-9 классы. – М.: ТНД “Русское слово- РС”, 2003.
  11. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г.  Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену – М.: Рольф, 1997.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 1

Результаты опроса выпускников

 

Вопрос

Ответ

  1. Нужны ли Вам баллы ЕГЭ по математике для дальнейшего обучения?

Да – 10 чел

Нет – 20 чел

2. Какие задания части С для Вас самые сложные?

С5 – 8 чел

С6 – 2 чел

3. Как Вы решаете задания С5?

Не решаю – 4 чел

С репетитором – 5чел

Самостоятельно – 1

 

Приложение 2

Аналитический способ решения неравенств с параметрами

 

  1.          Квадратное неравенство

 

Решить неравенство     сх2 – 2 (с – 1)х + (с + 2)

          При с = 0 оно принимает вид: 2х + 2 решением будет х < - 1.

Введем обозначение  f (х) = сх2 – 2 (с – 1)х + (с + 2) где с    0.

В этом случае неравенство  f (х) < 0 квадратное относительно х.

           Пусть и  D – дискриминант f (х).   0,25 D = 1 – 4с.

           Если   D >  0, т.е. если с > 0,25, то знак f (х)  совпадает со знаком с при любых действительных значениях х, т.е. f (х)  > 0 при любых хR, значит, при с > 0,25 неравенство f (х) < 0 не имеет решения.

          Если D = 0, т.е. с = 0,25, то f (х)  = (0,25 х + 1,5)2, т.е. f (х)  0 при любом

 х R. Следовательно, при с = 0,25 неравенство f (х) < 0 тоже не имеет решения.

          Рассмотрим случай  D < 0, т.е. с < 0,25 (с  0). f (х) = 0 при двух действительных значениях х:

х1 = ( с – 1 – )   и   х2 =   ( с – 1 + ).

 Здесь могут представиться два случая:

  1.             с  < 0.

Решить неравенство f (х) <  0 – значит найти те  решения х, при которых знак 

f (х) совпадает со знаком с. Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что    <  , т.е.  с – 1 –    ˂  с – 1 + ,но так как с < 0, то    ( с – 1 – )  <      ( с – 1 + )  и поэтому решением неравенства будет:

   ( - ;  ( с – 1 – ))        ( ( с – 1 + ); + ).

  1. 0 < с < 0,25

     Теперь для решения неравенства достаточно указать те значения с, при которых знак f (х) противоположен знаку с. Так как при 0 < с < 0,25, х1 < х2, то х 1 ; х2).

      Ответ: при с = 0  х R;

                   при с <˂ 0   х (- ;  х2) 1; + );

                   при 0< с < 0,25  х1;  х2);

                   при с  0,25 решений нет.

 

  1.          Неравенство с модулем

При каких a неравенство  выполняется для всех х?

Решение:  . Рассмотрим две функции                                   

Построим эскизы графиков функций (рис.8):

                                                                                     Рис.8

Найдем уравнение касательной в точке  функции y= |x2-4x+3|



Тогда . Так как 

Подставим значение точки х0 в производную рассматриваемой  функции и получаем, что - -a=-2-4, a=4+2.

 Следовательно, при  a =4+2  y=1-ax – касательная к y=|x2-4x+3|.

Ответ:  . 

  1. Тригонометрическое неравенство

При каких а неравенство  верно для всех х?

Решение. Преобразуем неравенство и приведем его к виду  

Пусть. Получим неравенство   .

Это значит, что парабола при 0≤t≤1 находится ниже оси Ох.

Рассмотрим 3 случая:

1) (рис.9)

Получаем условия для 

    

Рис.9

2)    

Но если (рис.10).

   Ø

Рис.10

3) 

Полученное неравенство верно при любых 0≤t≤1; объединяем 3 случая и получаем ответ: .      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 3

Банк заданий

Задача 1

Найти все значения а, при которых неравенство            выполняется для всех х из промежутка 2 ≤ х ≤ 3.

 

Решение. Найдем решение неравенства

                                                                                            (1)

На КП-плоскости числитель обращается в нуль на прямой х = 3а + 1, а знаменатель – на прямой х = 2 – 2а. Эти прямые разбивают КП-плоскость на четыре частичные области

IIV (рис.11).

Рис. 11

 

В каждой из частичных областей выражение F(x, a) с двумя переменными сохраняет знак и меняет его при переходе через границы этих областей. Чтобы установить знак F(x, a) в какой-либо из областей I-IV, достаточно взять любую точку из этой области.

Например, при х = 2, а = 1 F(2, 1) > 0. Следовательно, всюду в I области F(x, a) > 0.

Аналогично, определяя знак выражения F(x, a) в других областях, получим, что неравенство выполняется в I и III областях, причем граница х = 3а + 1 является его решением, а граница х = 2– 2а  не принадлежит множеству решений рассматриваемого неравенства (на КП-плоскости это множество заштриховано).

Пересечение данного множества с множеством точек, удовлетворяющих неравенству

2 ≤ х ≤ 3, (полосой) дает решение неравенства (1) на промежутке

                                                     2 ≤ х ≤ 3                                                             (2)

Следовательно, неравенство (1) выполняется сразу для всех х из промежутка (2) при  а < –    и    а ≥ .

Ответ: а < –, а ≥ .

 

Задача 2

Найти все значения  параметра а, при которых неравенство

                (х –3а) (ха–3) < 0                                                                                 (1)

выполняется при всех х, таких, что

                      1 ≤ х ≤ 3                                                                                            (2)  

Рис. 12

 

Решение. На КП-плоскости хОа множество точек (х; а), значения координаты и параметра каждой из которых удовлетворяют неравенству (1), состоит из областей I и III, ограниченных прямыми х = 3а  и х = а + 3 (на рис. 12 эти области заштрихованы). Искомыми будут значения параметра 0 < а <, при которых все точки из этих областей (области III) имеют координаты, удовлетворяющие условию (2).

Ответ. 0 < а < .

Задача 3

Найти все значения параметра а, при которых в множестве решений неравенства нельзя расположить 2 отрезка длиной 2 и длиной 5, которые не имеют общих точек.

Решение. Решим неравенство

Перенесем все числа в левую часть и приведем к общему знаменателю .

Разложим числитель на множители, используя метод группировки

.

Полученная дробь должна быть больше нуля, а это возможно, когда и числитель, и знаменатель имеют одинаковые знаки. Это же правило справедливо и для произведений. Поэтому для удобства перенесем х из знаменателя в числитель и вместо дроби получим произведение   ,     .

Каждый множитель приравняем к нулю

                       

                                                                           

                                                                 Рис.13

Построим графики функций (рис.13).

Ответ.

 

Задача 4

Найти все значения параметра а, при которых любое решение неравенства   по модулю не превосходит 2.

Решение.

Используя метод группировки, разложим многочлен на множители

Каждый множитель приравняем к нулю

             

х

– 1

а

– 1

                   

Построим графики функций

Рис. 14

 

Ответ.

 

Задача 5

Найти все значения параметра а, при которых существует хотя бы одно решение системы

Решение.

Рассмотрим первое неравенство          

 

Каждый множитель приравняем к нулю

           

                 

Построим графики функций (рис.15):

Рис. 15

Рассмотрим равенство

                            

 

Графиком данной будет являться парабола с вершиной в точке, ветви направлены вниз, т.к. коэффициент при х отрицательный. Построим этот график.

Теперь найдем точки пересечения графиков. Для этого решим системы уравнений:

1) для нахождения точки пересечения графиков и

   

2) для нахождения точки пересечения графиков и

        

Ответ.

 

Задача 6

Найти все значения параметра а, при которых существует хотя бы одно решение системы

Решение.

Решим квадратное уравнение относительно переменной х

    

Каждый множитель приравняем к нулю

       

             

Построим графики полученных функций (рис.16):

 

Рис.16

 

Найдем координаты точек A, B, C, D (точки пересечения графиков функций)

Для этого решим системы уравнений

     

 Координаты точек пересечения графиков:     

Ответ.

Задача 7

Найти все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства не содержит ни одного решения неравенства

Решение.

Рассмотрим неравенство

Приравняем каждую скобку (множитель) к нулю.

;      

;            

Строим графики данных функций (рис.17):

Рис.17

Решим неравенство

, 

Ответ.

 Задача 8

При каких значениях параметра а неравенство  выполняется

А) для всех  значений х из отрезка ,

Б) хотя бы для одного значения х из интервала.

Решение.

Рассмотрим неравенство

Перенесем все числа в левую часть

Вынесем общий множитель за скобки

Далее

Вновь выносим общий множитель за скобки

Приравниваем каждый из множителей к нулю

;       ;    

;         ;          

Строим графики (рис.18):

Рис.18

 

Ответ.

А) ;       

Б) .

 

Задача 9

Найти все значения параметра а, при которых множество решений неравенства содержит все неотрицательные решения неравенства .

 

Решение.

Решим неравенство .

                  

Неотрицательное решение, удовлетворяющее условие

Решим неравенство

Раскроем знак модуля. Рассмотрим два случая

1)

         

 

2)

не удовлетворяет условию

 

Построим графики (рис.19):

Рис.19

 

Ответ.

 

Задача 10

При каких значениях параметра а неравенство не имеет решений

Решение.

Решим неравенство

Введем новую переменную        

         

 

Построим графики функций (рис.20):

Рис.20

Ответ.

 

Задача 11

Найти все значения параметра р, при которых область определения функции состоит из одной точки.

Решение.

Решим неравенство

                            

Решим неравенство

                                            

Построим графики функций (рис.21):

Рис.21

Ответ.

Задача 12. Найти все значения а, при которых системаимеет единственное решение.

 

Решение. Перепишем исходную систему в таком виде: .

         Все решения этой системы (пары вида) образуют область, показанную на рисунке штриховкой (рис.22).

                                                                                                      Рис.22

Требование единственности решения данной системы на графический язык переводится так: горизонтальные прямые должны иметь с полученной областью только одну общую точку. Легко заметить, что лишь прямые и удовлетворяют выдвинутому требованию.

Ответ: или .

 

Задача 13. Найти все значения а, при которых уравнение имеет ровно три корня?

Решение. Исходное уравнение равносильно совокупности, выражая параметр а, получаем: .

Рис.23

 

График этой совокупности – объединение уголка и параболы. Очевидно, лишь прямая пересекает полученное объединение в трех точках.

Ответ:

 

 

Задача 14. Сколько решений имеет уравнение в зависимости от значений параметра а?

 

               

Решение. Данное уравнение решаем аналогично предыдущему. Оно равносильно совокупности следующих двух уравнений: 

.

Построим в прямоугольной системе координат графики функций, входящих в совокупность. График этой      

                  

                   Рис.24                                 совокупности – объединение уголка и параболы.

Количество решений данного уравнения при фиксированном значении параметра - это число точек пересечения графика данного уравнения с горизонтальной прямой . По рисунку «считываем» ответ: при , а = 0 и исходное уравнение имеет два корня, при а = -1 и а = 1 уравнение имеет три корня, при и уравнение имеет четыре корня.

Ответ: если , а = 0 и , то два корня,

             если а = -1 и а = 1 , то три корня,

             если и , то четыре корня.

 

 

Задача 15. Сколько решений имеет уравнение в зависимости от значений параметра а?

 

Решение. Запишем  это уравнение как квадратное относительно а: . Найдем корни и получим следующую совокупность

. Теперь обращение к координатной плоскости (х; а) делает задачу почти тривиальной. Координаты точек пересечения парабол можно найти, решив уравнение . Отсюда . Для записи ответа осталось лишь заметить, что общая точка этих парабол совпадает с вершиной параболы , это точка с координатами . Проводя на рисунке 25 прямые, параллельные оси абсцисс «считываем» ответ.

Рис.25

Ответ. Если , то решений четыре; если , то решений два; если , то решение одно; если , то решений нет.

 

Задача 16. Найти все значения а, при которых любое решение неравенства по модулю не превосходит двух.

Решение. Перепишем данное неравенство в таком виде: .

Графики уравнений и разбивают координатную плоскость (х; а) на четыре области (рис.26). «Методом областей» устанавливаем, что решением исходного неравенства будут заштрихованные на рисунке области. Теперь, если при каком-то фиксированном значении , прямая , в пересечении с полученной областью, дает лишь точки, абсциссы которых удовлетворяют условию , то - одно из искомых значений параметра.                                                                        Рис.26

Тогда очевидно, что все значения параметра а, из отрезка АВ, удовлетворяют условию задачи, следовательно .

Ответ: .

Задача 17. При каких значениях параметра а множество решений неравенства содержит не более четырех целых значений х?

 

Решение. Преобразуем данное неравенство к виду .

Последнее неравенство равносильно совокупности двух систем:

или .

С помощью этой совокупности легко изобразить решения исходного неравенства. Смотри на рисунок (обрати внимание на расположение координатных осей!).

Проведем прямые . Тогда значение , для которого прямая пересекает прямые не более чем в четырех точках из отмеченного множества, будут искомыми.

Заметим, что при , а = 0, а = 1 и прямые имеют пять точек пересечения, значит, они

                                                                                                      

                                                                                     Рис.27

не являются решением исходного неравенства. При и точек пересечения больше пяти.

 Анализируя полученную картинку, приходим к выводу, что в данной задаче , или или (области закрашены на рисунке более темным цветом, прямые , а = 0, а = 1 и не входят в множество решений исходного неравенства).

Ответ: , или или .

 

Задача 18. Найти все значения параметра а, при каждом из которых множество решений  неравенства не содержит ни одного решения неравенства .

 

Решение. Применим «метод областей» для решения неравенства . Построим граничные линии и , и определим знаки в полученных областях.

      Решение неравенства на рисунке показано штриховкой.

В этой же системе координат строим множество точек, определяемых условием (они задают на координатной плоскости  «полосу» )   Очевидно искомые значения параметра а те, при которых ни одна из точек указанных областей неравенства                      Рис.28

не принадлежит «полосе» .

Анализируя полученную картинку (рис.28), приходим к выводу, что значения параметра, при которых выполняется условие задачи, составляют объединение интервалов .

Ответ: или .

 

Задача 19. Решить неравенство .

 

Решение. Введем новую переменную , где так как , то наименьшее значение = 1 при х = 4.

Исходное неравенство примет вид . На координатной плоскости изобразим области, координаты точек которых удовлетворяют соотношениям и , выражая из последнего уравнения параметр а, получаем , откуда . На рисунке нужная область заштрихована. «Читая» картинку, находим что при , а при .

Учитывая подстановку , получаем

при . Рассматривая второй случай, , имеем                           

                  Рис.29                           .

Ответ: при , ;

             при ,  .

 

Задача 20. Для каких значений параметра а в множестве решений неравенства содержится промежуток ?

Решение.  Перепишем данное неравенство в виде: . Запишем совокупность двух систем, равносильную исходному уравнению:

или , откуда     или    .                                                                            Рис.30

Заметим, что в решение первой системы ни при каких значениях параметра а не может входить отрезок , тогда необходимые исследования проведем только для второй системы. Имеем . Обозначим . Тогда второе неравенство системы на координатной плоскости задает множество, показанное на рисунке штриховкой. Теперь, с помощью рис. 30, легко установить, что при в полученном множестве содержатся все точки, абсциссы которых пробегают все значения из промежутка . Тогда .

Ответ: .

 

 

Задача 21. При каких значениях параметра а, уравнение   имеет единственное решение?

 

Решение. Перепишем данное уравнение в виде , заменим его равносильной системой

и построим графический образ в координатной плоскости (х; а).                Рис.31

Заметим, что является решением. При исходное уравнение принимает вид ,  и имеет одно решение .  Из рисунка видно, что единственное решение, данное уравнение имеет при значениях параметра . Находим его, выразив х из второго уравнения  системы, т.е. .

Ответ: , при .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 4

Применение метода областей при решении задач

на нахождение площади фигуры, ограниченной неравенством

 

В данном разделе представлены задачи, в которых требуется найти площадь фигуры, ограниченной неравенством.

Пример 1. Найти площадь фигуры ограниченную неравенством

.

Решение. Поскольку произведение рано нулю лишь в случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю, уравнение задаёт линию, распадающуюся на две окружности и . Они делят плоскость на три части. С помощью метода пробных точек устанавливаем, что исходное неравенство выполняется в кольце, ограниченном этими окружностями (на рисунке эта область закрашена).

Найдем площадь полученной фигуры, как разность площадей кругов с радиусами : , .

Ответ. 12 .

Пример 2. Найти площадь фигуры ограниченную неравенством  .

Решение. Начертим оси координат и проведем прямые х = 2 и у = -1. Прямые разбили плоскость на четыре части. Раскрывая последовательно знак модуля в каждой части (против часовой стрелки), получаем: В I части: ;

                  Во I I части: ;

                  В I I I части: ;

                   В IV части:

Искомая фигура представляет собой внутреннюю область квадрата (на рисунке эта область закрашена). Найдем площадь полученной фигуры, как площадь ромба с равными диагоналями: , .

Ответ. 2.

Пример 3. Найти площадь фигуры ограниченную  системой неравенств

  .

Решение. Первое неравенство содержит внутреннюю часть круга с центром в точке (1; 1) и радиусом 1. Второе неравенство представляет собой внутреннюю часть  ромба, центр которого находится в точке (0; 1). Тогда их общее решение находим как пересечение двух областей  (на рисунке эта область закрашена). Найдем площадь полученной фигуры, как площадь сектора, а легче как четверть круга: , так как радиус равен 1.

Ответ. .

Пример 4. Найти площадь фигуры ограниченную неравенством .

 

Решение. Преобразуем данное неравенство

.

Первое неравенство системы задает внутреннюю часть круга радиуса 2 с центром в начале координат. Второе неравенство задает множество точек плоскости, для которых и . Объединяя найденные решения, получаем два равных сегмента (на рисунке эта область закрашена).

Площадь, полученной фигуры найдем как удвоенную площадь сегмента. Для этого из площади сектора ОАВ вычтем площадь треугольника ОАВ и удвоим полученный результат.

  1. Треугольник ОВС прямоугольный с катетом ОС = 1 и гипотенузой ОВ = 2, тогда . Катет ВС найдем по теореме Пифагора, .
  2. Площадь сектора найдем по формуле , .
  3. Найдем площадь треугольника ОАВ: .
  4. Так как у нас два равных сегмента, то площадь искомой фигуры находится по формуле: .

Ответ:  .

Пример 5. Найти площадь фигуры ограниченную неравенством .

 

Решение. Переписав неравенство в виде ,  и выделив в левой части полный квадрат, получим . Площадь искомой фигуры складывается из площадей четырёх полукругов и одного ромба:

, где  R = , d1 = 4,  d2 = 8 ,

тогда .

Ответ: .

 

Пример 6. Найдите площадь фигуры ограниченную системой неравенств

.

 

Решение. Перепишем первое неравенство системы в виде: , выделим в левой части полный квадрат и получим неравенство: . Последнее неравенство определяет на координатной плоскости внутреннюю часть круга с центром в точке (2; 2) и радиусом  R = 2.

Второе неравенство системы задает на координатной плоскости верхнюю полуплоскость, ограниченную уравнением . Общее решение системы показано на рисунке штриховкой.

Заметим, что площадь фигуры ограниченную заданной системой неравенств, можно найти как сумму площадей полукруга с радиусом  R = 2 и треугольника АВС.

, тогда .

Ответ. .

 

Пример 7. Найдите площадь фигуры заданную  неравенством .

 

Решение. Построим граничные линии, на которых происходит смена знаков подмодульных выражений: это ось абсцисс, ось ординат и прямая у = х.  Эти кривые разбивают плоскость на подобласти их – VI, на каждой из которых строим соответствующие множества точек, удовлетворяющих неравенству . Рассмотрим, учитывая симметричность неравенства три области.

I область: , тогда неравенство принимает вид  .

VI область: , тогда неравенство принимает вид .

V область: тогда неравенство принимает вид.

Итак, неравенство , задаёт на координатной плоскости фигуру, показанную на рисунке штриховкой.

Площадь этой фигуры находим как сумму площадей трех квадратов со стороной равной 1.      

Ответ. 3.

 

 

 

 

Приложение 5

 

Задачи для самостоятельного решения

 

Задача 1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств Описание: http://festival.1september.ru/articles/410368/Image832.gif образует на числовой прямой отрезок длины 1.

Ответ: Описание: http://festival.1september.ru/articles/410368/Image833.gif; Описание: http://festival.1september.ru/articles/410368/Image834.gif.

Задача 2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств Описание: http://festival.1september.ru/articles/410368/Image835.gif имеет единственное решение.

Ответ: Описание: http://festival.1september.ru/articles/410368/Image836.gif

Задача 3. Найдите все значения параметра Описание: http://festival.1september.ru/articles/410368/Image646.gif, при которых в множестве решений неравенства Описание: http://festival.1september.ru/articles/410368/Image837.gif можно расположить два отрезка длиной 1 и длиной 4, которые не имеют общих точек.

Ответ: Описание: http://festival.1september.ru/articles/410368/Image838.gif.

Задача 4. Найдите все значения параметра Описание: http://festival.1september.ru/articles/410368/Image646.gif, при которых множество решений неравенства Описание: http://festival.1september.ru/articles/410368/Image839.gif содержится в некотором отрезке длиной 4 и при этом содержит какой-нибудь отрезок длиной 2.

Ответ: Описание: http://festival.1september.ru/articles/410368/Image840.gif.

Задача 5. Семь чисел образуют убывающую арифметическую прогрессию с разностью Описание: http://festival.1september.ru/articles/410368/Image841.gif. Первый, второй и шестой члены этой прогрессии являются решениями неравенства Описание: http://festival.1september.ru/articles/410368/Image842.gif, а остальные не являются решениями этого неравенства. Найдите множество всех возможных значений разности этой прогрессии.

Ответ: Описание: http://festival.1september.ru/articles/410368/Image843.gif.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

Информация о публикации
Загружено: 25 января
Просмотров: 1344
Скачиваний: 16
Ефименко Татьяна Геннадьевна
Математика, 10 класс, Экзамены ЕГЭ, ОГЭ
Скачать материал