[29.07] Вебинар «Интерактивные технологии на уроках: современные инструменты и сервисы» Подтвердить участие→
Конкурс разработок «Пять с плюсом» июль 2021
Добавляйте свои материалы в библиотеку и получайте ценные подарки
Конкурс проводится с 1 июля по 31 июля

«ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ»

Учебно-методический комплекс по алгебре и началам анализа Тема «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ»
Просмотр
содержимого документа

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Балахнинский технический техникум

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учебно-методический комплекс

по алгебре и началам анализа

Тема «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ»

 

http://im3-tub-ru.yandex.net/i?id=372889570-58-72&n=21http://im5-tub-ru.yandex.net/i?id=143439166-42-72&n=21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Структура рабочей тетради соответствует структуре учебного пособия; уровень заданий соответствует требованиям, предъявляемым федеральной программой к уровню математической подготовки обучающихся; система заданий дополняет и расширяет систему заданий учебника.

Данная рабочая тетрадь разработана с учётом того, что в рабочей программе дисциплины «математика» на тему «Тригонометрические функции » отводится 26 часов.

Рабочая тетрадь содержит основные понятия теории и основные формулы, а также набор заданий для самостоятельной работы. Обязательно включено решение одной, двух  типовых задач по каждой теме. В заключении предложено выполнить несколько тренировочных  тестов по форме ЕГЭ .

Основная задача учебно-методического комплекса – способствовать формированию у студентов  прочных знаний по теме «Тригонометрические функции», в частности при   упрощении и вычислений  выражений, содержащих тригонометрические функции.

 

 

Разработчик:  Грищенкова Юлия Сергеевна, преподаватель Государственного бюджетного профессионального образовательного учреждения Балахнинский технический техникум.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Данная  рабочая тетрадь  может использоваться  как самостоятельно (так как в тетрадь включены не только множество заданий разной степени сложности, но и все необходимые  определения, подробные примеры и пояснения к ним),   так и совместно с  учебниками:

  • «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И., М:Просвещение;
  • «Алгебра и начала анализа 10класс» Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И., М:Мнемозина;

Структура рабочей тетради соответствует структуре учебного пособия; уровень заданий соответствует требованиям, предъявляемым федеральной программой к уровню математической подготовки обучающихся; система заданий дополняет и расширяет систему заданий учебника. Рабочая тетрадь содержит основные понятия теории и основные формулы, а также набор заданий для самостоятельной работы. Обязательно включено решение одной, двух  типовых задач по каждой теме. В заключении предложено выполнить несколько тренировочных  тестов по форме ЕГЭ (задания В7).

В данной рабочей тетради  использованы различные формы изложения материала. Для изучения нового материала рабочие тетради оформлены как  полноценный  конспект, в котором есть и теория, и  примеры решённых заданий, и  задания для самостоятельного выполнения. Учебные пособия - рабочие тетради, разработаны так, что по алгоритму и количественной части решённого, а также с учетом  возрастания сложности необходимо выполнить задание. При выполнении данных заданий требуются умения систематизировать, сравнивать, анализировать предложенную информацию, применять имеющиеся знания и умения в нестандартной ситуации. Задание так же  имеют разную формулировку и различны по своему характеру: вводные, пробные, по образцу, творческие. Помимо упражнений и заданий в тетради включены и справочные материалы. В конце тетради предлагается уровневая контрольная работа, но выполнять её можно частями (при окончании изучения ключевых тем),     чтобы легче контролировать усвоение материала и корректировать ошибки).

Использование рабочей тетради в учебном процессе позволяет осуществить: во-первых, достижение  уровня обязательной математической подготовки; во-вторых сформировать умение применять полученные знания в несколько отличных от обязательных результатов обучения ситуациях; в – третьих ведёт к  повышению активности и самостоятельности,  планированию  собственной деятельности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание учебного материала

Раздел  Тригонометрические функции

Тема 1

Радианная мера угла. Поворот точки вокруг начала координат

 

Определение угла в 1 радиан, формулы перевода градусной меры в радианную и наоборот. Понятие «единичная окружность», поворот точки вокруг начала координат.

Тема 2

Определение тригонометрических функций

 

Определения тригонометрических функций sinα, cosα, tgα,ctgα. Таблица значений тригонометрических функций

 

Тема 3

Знаки тригонометрических функций

Значения sinα, cosα, tgα,ctgα в различных четвертях. Определение  знака числа sin, cos и tg при заданном значении

 

Тема 4

Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

Основное тригонометрическое тождество, зависимость между тангенсом и котангенсом, зависимость между тангенсом и косинусом, зависимость между котангенсом и синусом

 

Тема 5

Четность и нечетность тригонометрических функций. Периодичность тригонометрических функций

Область определения и область значений, тождества четности и периодичности для синуса и косинуса, свойства четности функций y=tgx и y=ctgx и периодичности

 

Тема 6

Формулы сложения, приведения

 

Формулы сложения. Значения тригонометрических функций углов, больших 90, сводятся к значениям для острых углов; правила записи формул приведения

Тема 7

Тригонометрические функции двойного, половинного аргумента

Формулы двойного угла, Формулы половинного угла синуса, косинуса и тангенса. Формулы, выражающие sin, cos и tg через tg (/2) .Формулы двойного угла

Тема 8

Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение

Формулы суммы и разности.

 

Тема 9

Функция у = sinх, её свойства и график

Определения синусоиды и линии синусов, построение графиков указанных функций и выполнение с ними простейших преобразований.

Тема 10

Функция у = cosх, её свойства и график

 

Определения косинусоиды и линии косинусов, построение графиков указанных функций и выполнение с ними простейших преобразований.

Тема 10

Функции у = tgх, у = ctgх, их свойства и графики

 

Определения тангенсоиды, построение графиков указанных функций и выполнение с ними простейших преобразований.

 

 

 

 

Историческая справка

Как и многие разделы математики, тригонометрия возникла в древние времена из потребностей людей при ведении расчетов, связанных с земельными работами (для определения расстояния до недоступных предметов, составления географических карт и пр.). Ещё древнегреческие   ученые создали «тригонометрию хорд», выражавшую зависимости между центральными углами круга и хордами, на которые они опираются. Этой тригонометрией пользовался во II в. до н.э. в своих расчетах древнегреческий астроном Гиппарх. Во II в. н.э. греческий ученый Птоломей в своей работе «Алмагест» («Великая книга») также вывел соотношения в круге, которые по своей сути аналогичны современным формулам синуса половинного и двойного углов, синуса суммы и разности двух углов.

     Долгие годы тригонометрия служила астрономии и развивалась благодаря ей. В VIII в. усилиями математиков Ближнего и Среднего востока тригонометрия выделилась из астрономии и стала самостоятельной математической дисциплиной. К этому времени хорды в тригонометрии были заменены синусами (отношениями половины хорды к радиусу круга), были введены понятия косинуса и тангенса, а также составлены таблицы значений тригонометрических функций.

http://trigonometr.narod.ru/picture/eiler.jpg     Слово «синус» произошло от латинского sinus («перегиб»), которое, в свою очередь, происходит от арабского слова «лжива» («тетива лука»). Слово «косинус» – сокращение словосочетания complementi sinus («синус дополнения»), объясняющего тот факт, что cosa равен синусу угла, дополняющего угол a до П/2, т.е. cosa = sin(П/2-a). Латинское слово tangens переводится как «касательная» («касательная к окружности»).

     Идея введения тригонометрических понятий с помощью круга единичного радиуса получила распространение в X-XI вв.

     Первый научный труд, в котором тригонометрия утвердилась как самостоятельная ветвь математики, был создан в 1462-1464 гг. немецким астрономом и математиком И. Мюллером, известным в истории под псевдонимом Региомонтан (1436-1476). После Региомонтана значительный вклад в тригонометрию внес польский астроном и математик Н.Коперник (1473-1543), посвятивший этой науке два раздела своего знаменитого труда «Об обращении небесных тел» (1543). Позже в сочинениях И.Кеплера (1571-1630), Й.Бюрги (1552-1632), Ф.Виета (1540-1603) и других известных математиков встречаются сложные преобразования тригонометрических выражений и выводятся многие формулы. Интересны, например, рекуррентные формулы, полученные Ф.Виетом:

Соs ma = 2cosa cos(m - 1)a - cos(m – 2)a;

Соs ma = -2sina sin(m – 1)a + cos(m – 2)a;

Sin ma = 2cosa sin(m – 1)a - sin(m – 2)a;

Sin ma = 2sina cos(m – 1)a + sin(m – 2)a.

     Тригонометрическая символика с годами совершенствовалась и лишь в трудах Л.Эйлера в XVIII в. приобрела современный вид, удобный для решения вычислительных задач.

     Следует также отметить, что помимо «плоскостной»тригонометрии, изучаемой в школе, существует сферическая тригонометрия, являющаяся частью сферической геометрии. Сферическая тригонометрия рассматривает соотношения между сторонами и углами треугольников на сфере, образованных дугами больших кругов сферы. Исторически сферическая тригонометрия возникла из потребностей астрономии, фактически раньше тригонометрии на плоскости.

    

Тема 1. Радианная мера угла.

Поворот точки вокруг начала координат

 

Определение: Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу, называется углом в 1 радиан (рад).

 

 

 

 

 

 

Формула 1:(радианная →градусная)

Формула 2:( градусная → радианная)

Задание 1: Найти радианную меру угла, выраженного в градусах:


Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4


 

Задание 2: Найти градусную меру угла, выраженного в радианах :


                        

                       

 

Задание 3: Заполнить таблицу:

 

Градусы

30º

45º

60º

90º

120º

150º

180º

270º

360º

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4радианы

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула 3:

l=α∙R        где  l- длина дуги,

                   R – радиус окружности, которую стягивает дуга

 

Формула 4:

 

S=∙α, где  l- длина дуги,

                       R – радиус окружности, которую стягивает дуга

                       S – площадь кругового сектора

                      α=αрад радианная мера угла

Пример: Решить задачу:

Вычислить длину дуги, если радиус окружности R = 4см, дуга  стягивает центральный угол αрад=4,5рад.

Решение: l=α∙R=4,5∙4=18см.

Ответ: l= 18см.

 

Задание 4: Решить задачи:

 

1)Вычислить радиус окружности, если её дуга, длиной l=7,2см стягивает  центральный угол α=3,6рад.

2) Дуга окружности радиуса R=3см стягивает угол αрад=4,5рад. Найти длину этой дуги l и площадь сектора , ограниченного ею S.

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А43) Окружность морских компасов делится на 32 равные дуги, называемые румбами. Вычислите градусную и радианную меры румба.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 5: Заполнить таблицу:

 

Угол (в рад.)

60º

45º

 

 

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4Угол (в град.)

 

 

4

Радиус (в см.)

3

6

 

Длина дуги (в см.)

 

1

3

 

Площадь сектора (в см2)

 

 

50

Поворот точки вокруг начала координат

 

Определение: Единичной (тригонометрической) окружностью называется окружность с центром в начале координат, радиуса 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1                                                                  Рисунок 2

 

Пример: Точка 1(1;0) переместилась по окружности на угол 180º против часовой стрелки, а затем на угол 90º по часовой стрелке.

Какие координаты получились?   (выполнять по рис/1)

точка .1(1;0)=[влево на 180º]=точка.3(-1;0) )=[вправо на 90º]=точка.2(0;1)

 

Задание 1:Определить координаты точки после перемещения:

  • Точка 1(1;0) переместилась  по окружности на 270º против часовой стрелки, затем на 180º по часовой стрелке.

точка .1 (1;0)=[влево на 270º]= точка .4 (0;-1) )=[вправо на ….]= точка .….(...;…)

  • Точка 1(1;0) переместилась по окружности  на π против часовой стрелки, затем на 2π по часовой стрелке.

 

Задание 2: Точка М единичной окружности получена поворотом точки1(1;0) на угол α. Заполнить таблицу (по рис.1):

 

Угол α

-

π

90º

-90º

Координаты т.М

(-1;0)

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4(0;1)

 

 

 

 

 

Задание 3: Точка М единичной окружности получена поворотом точки1(1;0) на угол α. Заполнить таблицу (по рис.2):

 

Угол α

135º

-15º

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4240º

400º

-100º

200º

Четверть, в которой расположена т. М

IIч.

IVч.

 

 

 

 

Тема 2. Определение тригонометрических функций

 

Определение 1: Синусом числа α называется ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол α радиан. (sinα)

Определение 2: Косинусом числа α называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол α радиан.(cosα)

 

Определение 3: Тангенсом числа α называется отношение синуса числа α к его косинусу.(tgα)

tgα=

Определение 4: Котангенсом числа α называется отношение косинуса числа α к его синусу.(ctgα)

ctgα=

Определение: Функции у=sinα, у=cosα, у=tgα, у=сtgα называют тригонометрическими функциями.

 

Пример: По рисунку определить, чему равен sinα, cosα , затем найти tgα,  сtgα.

 

 

 

 

Решение:

сosα=, sinα= , tgα= ctgα=

Ответ: сosα=, sinα= , tgα=-1, ctgα=-1

 

 

 

Задание 1: По рисунку определить, чему равен sinα, cosα , затем найти tgα,  сtgα.

т.М1:                                                                                     т.М2:

сosα=, sinα=….,                                                                сosα=…., sinα=….,

tgα=                                                                tgα==…..   

ctgα==…..                                                               ctgα==не     сущес-                вует, так как на 0 делить нельзя.

 

Таблица значений:

 

Четверть

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса(рад)

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса(град)

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса(рад)

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса(град)

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

I

0

0

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

0

1

0

не существует

I

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

I

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

1

1

I

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

I

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

1

0

не существует

0

II

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

II

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

-1

-1

II

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

II

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

0

-1

0

не существует

III

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

III

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

1

1

III

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

III

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

-1

0

не существует

0

IV

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

IV

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

-1

-1

IV

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

IV

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

0

Таблица значений тригонометрических функций синуса косинуса тангенса котангенса

0

1

0

не существует

 

Пример: Вычислить:

3sin+2cos-tg=3∙+2∙-=-=+-=

Задание 2: Закончить решение:

  • Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4cos90º-sin90º=0-1=….
  • 4cos π+3ctg=4∙(-1)+3∙1=….
  • tg∙cos∙sin=∙(-1)=….
  • tg45º∙sin60º∙ctg60º=1∙∙….=……
  • 5sin+3tg-5cos-10ctg=5∙…..+3∙……-5∙……-10∙…..=……

Задание 3: Найти ошибку:

  1. 3cos180º+5ctg270º-2sin360º=3∙1+5∙0=2∙1=3+0-2=1
  2. 2sin-2cos-ctg=2∙-2∙-=1-1-=-

Задание 4: Вычислить и соединить стрелками те примеры, которые имеют одинаковый ответ, ответ выбрать и указать.

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 3. Знаки тригонометрических функций

Знаки чисел

Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

определяются тем, в каком квадранте (четверти) координатной плоскости Oxy лежит луч OM  (рисунки 1, 2, 3).

                

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1: Заполнить таблицу:

 

функция

четверть

знак

1

sin193º

IIIч.

-

2

cos(-60º)

IVч.

 

3

ctg17º

 

 

4

tg(-100º)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример: Определить знак произведения

  • sin400º∙cos215º∙tg134º∙ctg140º=sin(Iч.)∙cos(IIIч.)∙tg(IIч.)∙ctg(Iч.)=+ ∙ (-) ∙ (-) ∙ + = +

 

Задание 2: Найти ошибку:

 

Cos45º∙sin(-45º)∙tg100º∙ctg(-100º)=cos(Iч.)∙sin(Iч.)∙tg(IIч.)∙ctg(IIч.)=+ ∙ + ∙ (-) ∙ (-) = +

 

Задание 3: Определить знак произведения

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4 

  1. cos370º∙tg15º∙ctg140º∙sin274º
  2. sin(-3º)∙ctg150º∙tg300º∙cos240º

 

 

 

Тема 4. Зависимость между тригонометрическими

функциями одного и того же аргумента

 

Задание 1: Заполнить таблицу:

 

промежуток

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4четверть

Знак

sinα

Знак

cosα

Знак

tgα

Знак

ctgα

1

IIч.

+

-

-

-

2

IIIч.

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

Формулы:

  

1

Основные тригонометрические формулы связи
	  между тригонометрическими функциями одного угла

1(а)

1(б)

2

Основные тригонометрические формулы связи
	  между тригонометрическими функциями одного угла

3

Основные тригонометрические формулы связи
	  между тригонометрическими функциями одного угла

4

Основные тригонометрические формулы связи
	  между тригонометрическими функциями одного угла

4(а)

4(б)

5

Основные тригонометрические формулы связи
	  между тригонометрическими функциями одного угла

5(а)

6

Основные тригонометрические формулы связи
	  между тригонометрическими функциями одного угла

6(а)

 

Пример: С помощью основного тригонометрического тождества выяснить, могут ли одновременно выполняться равенства:

Sinα=0,6   cosα=0,8

 

sin2α+cos2α=(0,6)2+(0,8)2=0,36+0,64=1 (выполняется)

 

 

Задание 2: С помощью основного тригонометрического тождества  выяснить, могут ли одновременно выполняться равенства :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример: Вычислить cosα,tgα,ctgα, если sinα=,

Решение:

интервал

четверть

Знак

sinα

Знак

cosα

Знак

tgα

Знак

ctgα

IIч.

+

-

-

-

Определим знак:

 

 

Формула 1б)

Формула 2)                                         Формула 3)

tgα=                         ctgα=

Ответ: cosα=,tgα=-,ctgα=

 

 

Задание 3: Закончить решение:

1) Вычислить cosα,tgα,ctgα, если sinα=-,

Решение:

интервал

четверть

Знак

sinα

Знак

cosα

Знак

tgα

Знак

ctgα

IVч.

-

+

-

-

Определим знак:

 

 

 

Формула 1б)

Формула 2)                                         Формула 3)

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4tgα=                         ctgα=

Ответ: cosα=,tgα=-…,ctgα=-….

2) Вычислить sinα,tgα,ctgα, если cosα=-0,6,

Решение:

интервал

четверть

Знак

sinα

Знак

cosα

Знак

tgα

Знак

ctgα

IIIч.

-

-

+

+

Определим знак:

 

 

Формула 1а)

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4 

Формула 2)                                         Формула 3)

tgα=                         ctgα=

Ответ: sinα=…,tgα=-…,ctgα=-….

 

Пример: Вычислить sinα,cosα,tgα, , если ctgα=-3,

Решение:

интервал

четверть

Знак

sinα

Знак

cosα

Знак

tgα

Знак

ctgα

IVч.

-

+

-

-

Определим знак:

 

 

 

Формула 4а)

Формула 5а)                                        

Формула 6а)

 

Ответ: sinα=-, cosα=,tgα=-

 

 

 

Задание 4: Найти остальные тригонометрические функции, если:

  1. sinα=0,6  
  2. cosα=- 
  3. tgα=4  

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 5: Упростить (по аналогии с решённым):

 

Упростить

Решить самостоятельно

1)

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4(1-sinα)∙(1+sinα)=

=1+sinα-sinα-sin2α=

=1-sin2α=sin2α+cos2α-sin2α=cos2α

1)

(1-cosα)∙(1+cosα)

 

 

 

 

 

 

2)

=1+tg2α-1=tg2α

2)

Cos2α+sin2α-ctg2α

 

 

 

 

 

 

3)

3)

1+tg2α+

 

 

 

 

 

 

Задание 6: Упростить (воспользоваться формулами:( а + в )² = а² + 2ав + в²,

                                                                                           ( а - в )² = а² - 2ав + в²)

(sinα-cosα)2+(sinα+cosα)2

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 7*: Известно, что tgα=8. Найти

1)

2)

 

 

Тема 5.Четность и нечетность тригонометрических функций

 

Определение: Функция f(х) называется чётной, если для каждого х из области определения этой функции выполняется равенство:

f(-х)=f(х)

Свойство: График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

 

Определение: Функция f(х) называется нечётной, если для каждого х из области определения этой функции выполняется равенство:

f(-х)=-f(х)

Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенсаСвойство: График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

 

      Рассмотрим рисунок

      На этом рисунке

Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

     

Следовательно, справедливы формулы:

Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

      откуда вытекают формулы:

Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

     

Таким образом, косинусчётная функция, а синус, тангенс и котангенснечётные функции.

 

cos(-α)=cosα

sin(-α)=-sinα

tg(-α)=-tgα

ctg(-α)=-ctgα


 

Задание 1: Заполнить таблицу:

 

функция

упростить

Ответ

1

sin(-90º)

-sin90º

-1

2

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4tg(-)

 

 

3

cos(-45º)

 

 

4

ctg(-)

 

 

 

 

Задание 2: Вычислить:

  • 2sin(-30º)=-2sin30º=-2∙=-1
  • 3tg(-)=-3tg=-3∙….
  • 4cos(-)∙sin(-)+tg(-)=4∙)+(-1)=--1=…..
  • 2sin(-)∙cos(-)+tg(-)+sin2(-)=…..

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4 

Задание 3: Упростить (по аналогии с решённым):

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4Упростить

Решить самостоятельно

1)

Sin(-α)∙cos(-α)∙tg(-α)=

=-sinα∙cosα∙(-tgα)=

=sinα∙cosα∙tgα=

=sinα∙cosα∙=

=sinα∙sinα=sin2α

1)

Ctg(-α)∙sinα+cos(-α)

 

 

 

 

 

 

2)

(1-sin(-α))∙(1-sinα)=

=(1+sinα)∙(1-sinα)=

=1+sinα-sinα-sin2α=

=1-sin2α=sin2α+cos2α-sin2α=cos2α

2)

(1+tg(-α))∙(1-ctg(-α))

 

 

 

 

 

 

Периодичность тригонометрических функций

 

Определение: Функция f(х) называется периодической, если существует такое число Т≠0, что для любого х из области определения этой функции выполняется равенство:

f(х-Т)=f(х)=f(х+Т)

Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенсаЧисло Т называют периодом функции f(х).

Рассмотрим рисунок 1,       если луч  Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса,  повернуть по ходу или против хода часов на полный угол (360 градусов или Свойства тригонометрических функций знаки периодичность 
 четностьрадиан), то он совместится с самим собой. Следовательно, справедливы формулы:

Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

а также формулы:

Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

      Поворачивая луч  Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса на полный угол по ходу или против хода часов n раз (Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса градусов или Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенсаьрадиан), получаем следующие формулы:

Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

Таким образом, в случае, когда углы измеряются в градусах, периодами синуса и косинуса являются углы Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса, Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса.

 В случае, когда углы измеряются в радианах, периодами синуса и косинуса являются числа Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса, Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса.

 В случае, когда углы измеряются в градусах, наименьшим положительным периодом синуса и косинуса является угол Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса.

В случае, когда углы измеряются в радианах, наименьшим положительным периодом синуса и косинуса является число Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса.

В случае, когда углы измеряются в градусах, периодами тангенса и котангенса являются углы  Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса, Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса

В случае, когда углы измеряются в радианах, периодами тангенса и котангенса являются числа Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса, Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса.

В случае, когда углы измеряются в градусах, наименьшим положительным периодом тангенса и котангенса является угол  Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса.

В случае, когда углы измеряются в радианах, наименьшим положительным периодом тангенса и котангенса являются число Свойства тригонометрических функций знаки период четность нечетность синуса косинуса тангенса котангенса.


 


Задание 1: Упростить по образцу:

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4 

370º=360º+10º=2π+10º

170º=180º-10º= π-10º

120º=90º+30º=+30º

400º=360º-…..=2π-…..

140º=180º-…..

220º=….

135º=…..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 6. Формулы сложения

 

 

 

cos(α + β) = cosα∙cosβ - sinα∙sinβ             cos(α - β) = cosα∙cosβ + sinα∙sinβ

sin(α + β) = sinα∙cosβ + cosα∙sinβ             sin(α - β) = sinα∙cosβ - cosα∙sinβ

tg(α + β) =

 

 

Задание 1: Вычислить по аналогии:

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4 

1)

Sin73º∙cos17º + cos73º∙sin17º=

= sin(73º + 17º)=sin90º=1

 

1)

Sin73º∙cos17º - cos73º∙sin17º

 

 

 

 

2)

cos∙cos - sin∙sin=

= cos( +)=cos=

=cos2π=1

2)

cos∙cos + sin∙sin

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2: Упростить:

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А41) cos (60° — α) + cos (60° + α)=

 

 

 

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4
2) cos (α + π/6 ) — cos (α — π/6 )=

 

 

 

 

Задание 3: Вычислить :

1) Вычислить cos 15°, представив 15° как разность 60° — 45°.

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4 

 

 

 

 

 

2) Вычислить cos 75°, представив 75° как сумму 30° + 45°.

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4 

 

 


3) Вычислить cosl05°, представив 105° как сумму 45° + 60°.

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4 

 

 

 

 

Задание 4: Дано: sin α = 0,6; sin β = —0,28; 0° < α < 90° и 180°< β <270°.
Вычислить: 1) cos (α + β);

2) cos (α — β).

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формулы приведения

 

Таблица приведения:

 

α

  

 +α 

 

π - α

 

π + α

 

 

 

2π - α

 

2π + α

sinα

cosα

cosα

sinα

- sinα

- cosα

- cosα

- sinα

sinα

cosα

sinα

- sinα

- cosα

- cosα

- sinα

sinα

cosα

cosα

tgα

ctgα

- ctgα

- tgα

tgα

ctgα

- ctgα

- tgα

tgα

ctgα

tgα

- tgα

- ctgα

ctgα

tgα

- tgα

- ctgα

ctgα

 

 

 

Пример: Вычислить:

Cos150º=cos(180º-30º)=cos (π-30º)=-cos30º=-

Sin240º=sin(180º+60º)=sin(π+60º)=-sin60º=-

 

Задание 1: Закончить решение:

  • Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4sin135º=sin(90º+45º)=sin(+45º)=cos45º=
  • cos120º=cos(180º-60º)=cos(π-60º)=….
  • ctg240º=ctg(270º-30º)=ctg(-30º)=…..
  • sin315º=…..

 

Задание 2: Найти ошибку:

  1.     Sin(π – α)∙cos(-α)-cos(π – α)∙sin(-α)=sinα∙sinα-(-cosα)∙(-cosα)=

= sin2α+cos2α=1

2)

 

Задание 3: Упростить, из предложенных ответов выбрать верный:

1)           3)

2)           4)

а) –1                б)ctgα                в)               г)1

Ответ записать в виде таблицы:

Задание

1

2

3

4

ответ

 

 

 

 

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4 

=

 

 

 

 

 

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4=

 

 

 

 

 

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 7.Тригонометрические функции двойного и 

половинного аргумента

 

sin2α = 2∙sinα∙cosα                                     

cos2α = cos²α - sin²α                                                                 

   tgα=

 

Задание 1: Выразить функции данного аргумента через функции  половинного аргумента. Заполнить таблицу:

 

функция

упростить

формула

ответ

1

sin50º

Sin2∙25º

sin2α = 2∙sinα∙cosα

2∙sin25º∙cos25º

2

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4cos36º

Cos2∙18º

cos2α = cos²α - sin²α

 

3

tg100º

 

 

 

4

Sin8º

 

 

 

 

Задание 2: Заполнить таблицу (задание, обратное заданию1):

 

функция

формула

упростить

ответ

1

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А42∙sin15º∙cos15º

2∙sinα∙cosα =sin2α 

Sin2∙15º

Sin30º=

2

cos²75º - sin²75º

cos²α - sin² α=cos2α

Cos2∙…º

Cos…º=…

3

 

 

 

 

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4Задание 3: Упростить по аналогии:

 

Sin2α+(sinα-cosα)2=

2∙sinα∙cosα+(sin2α-2∙sinα∙cosα+cos2α)=

=2∙sinα∙cosα+sin2α-2∙sinα∙cosα+cos2α=

= sin2α+cos2α=1

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 8.Преобразование суммы и разности

тригонометрических функций в произведение

 

         

sinα + sinβ = 2∙sin ∙ cos        sinα - sinβ = 2∙sin ∙ cos

cosα + cosβ = 2∙cos ∙ cos      cosα - cosβ = -  2∙sin ∙ sin

 

 

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4Задание 1: Вычислить по аналогии:

1)

Cos105º+cos75º=

=2∙cos ∙ cos =

=   2∙cos 15º ∙ cos 90º=

=  2∙cos 15º ∙ 0=0

 

1)

Sin105º - sin75º

 

 

 

 

 

 

2)

Sin300º + sin60º=

=2∙sin ∙ cos =

= 2∙sin 180º ∙ cos120º=

=2∙0∙ cos120º=0

2)

Cos105º + cos165º

 

 

 

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4Задание 2: Упростить:

1) sin (30° + α) + sin (30° — α)=

 


 

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А42) sin( π/3 + α)— sin( π/3 — α)=

 

 

 

Задание 3: Упростить выражения.

1) sin 12° • cos 18° + sin 18° • cos 12°;
2) sin 65° • sin 55° + cos 65° • cos 55°;
3) sin 4,25 • cos 1,11 — sin 1,11 • cos 4,25;
4) sin /7 • sin /21 — cos /7 • cos /21

5) sin α — sin (α + β) + cos α • cos (α + β);
6) sin (15° + α) • cos (15° — α) + sin (15° — α) • cos (15° + α).

 

 

 

Задание 4: Доказать тождества.

1) sin (α + β) + sin (α — β) = 2 sin α • cos β;
2) sin (α + β) — sin (α — β) = 2cos α • sin β.

3) cos (α — β) + cos (α + β) = 2 cos α • cos β;
4) cos (α — β) — cos (α + β) = 2 sin α • sin β.

5) sin (α + β) • sin (α — β) = sin2 α — sin2 β;
6) cos (α + β) • cos (α — β) = cos2 α — sin2 β.

 

 

 

Историческая справка

http://trigonometr.narod.ru/picture/viet.jpgТригонометрические функции (получившие название от греч. trigonon – треугольник и meteo – измеряю) играют огромную роль в математике и ее приложениях.

   Исследованием тригонометрических функций практически занимались ещё древнегреческие математики, изучая взаимное изменение величин в геометрии и астрономии. Соотношения между сторонами в прямоугольных треугольниках, по своей сути являющиеся тригонометрическими функциями, рассматривались уже в III в. до н.э. в работах Евклида, Архимеда, Аполлония и других ученых.

     Учения о тригонометрических величинах получило развитие в VIII-XV вв. в странах Среднего и Ближнего Востока. Так, в IX в. в Багдаде аль-Хорезми составил первые таблицы синусов. Аль-Бузджани в X в. сформулировал теорему синусов и с её помощью построил таблицу синусов с интервалом 15’, в которой значения синусов приведены с точностью до 8-го десятичного знака. Ахмад-аль-Беруни в XI в. вместо деления радиуса на части при определении значений синуса и косинуса, сделанного до него Птоломеем, начал использовать окружность единичного радиуса. В первой половине XV в. аль-Каши создал тригонометрические таблицы с шагом 1’, которые последующие 250 лет были непревзойдёнными по точности. Самым крупным европейским представителем той эпохи, внесшим вклад в развитие исследования тригонометрических функций, считается Региомонтан.

     В начале XVII в. в развитии тригонометрии наметилось новое направление – аналитическое. Если до этого учения о тригонометрических функциях строились на геометрической основе, то в XVII-XIX вв. тригонометрия постепенно вошла в состав математического анализа и стала широко использоваться в механике и технике, особенно при рассмотрении колебательных процессов и иных периодических явлений.

     О свойствах периодичности тригонометрических функций знал ещё Ф. Виет. Швейцарский математик И. Бернулли (1642-1727) в своих работах начал применять символику тригонометрических функций. Однако близкую к принятой теперь ввел Л. Эйлер в 1748 г. в своей работе «Введение в анализ бесконечных». В ней он рассмотрел вопрос о знаках всех тригонометрических функций любого аргумента.

     Тригонометрические функции Эйлер рассматривал как особые числа, называя их общим термином трансцендентные количества, получающиеся из круга.

     В 19 в. дальнейшее развитие теории тригонометрических функций было продолжено в работах русского математика Н.Л.Лобачевского (1792-1856), а также в трудах других ученых, например в работах профессоров МГУ Д.Е. Меньшова и Н.К. Бари.

 

 

Тема 9.Функция у = sinх, её свойства и график

Основные свойства:

  1. Область определения – множество R всех действительных чисел;
  2. Множество значений – отрезок[-1;1];
  3. Функция у=sinх – периодическая с периодом 2π, т.е. sin(х+2π)=sinх
  4. Функция у=sinх - нечётная, т.е.sin(-х)=-sinх
  5. Функция у=sinх:

возрастает на отрезках

убывает на отрезках

  1. Функция у=sinх принимает

Наибольшее значение, равное 1, при х=

Наименьшее значение, равное –1, при х=-

Значение равное нулю, при х=

 

Задание 1:Изобразить график функции у=2+sinx

 

 

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 10. Функция у = cosх, её свойства и график

Основные свойства:

1) Область определения – множество R всех действительных чисел;

2) Множество значений – отрезок[-1;1];

3) Функция у=cosх – периодическая с периодом 2π, т.е. cos(х+2π)=cosх

4) Функция у=cosх  чётная, т.е.cos(-х)=cosх

5) Функция у=cosх:

возрастает на отрезках

убывает на отрезках

6) Функция у=cosх принимает

Наибольшее значение, равное 1, при х=

Наименьшее значение, равное –1, при х=

Значение равное нулю, при х=

 

 

Задание 1:Изобразить график функции у=cos2x

Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 10. Функция у = tgх,  её свойства и график

Основные свойства:

1) Область определения – множество R всех действительных чисел, кроме чисел ;

2) Множество значений – множество R всех действительных чисел;

3) Функция у=tgх – периодическая с периодом π, т.е. tg(х+π)=tgх

4) Функция у=tgх  нечётная, т.е.tg(-х)=-tgх

5) Функция у=tgх возрастает( убывает)  на интервалах ,

6) Функция у=tgх принимает значение равное нулю, при х=

 

 

Функция у = сtgх,  её свойства и график

Основные свойства:

1) Область определения – множество R всех действительных чисел, кроме чисел ;

2) Множество значений – множество R всех действительных чисел;

3) Функция у=сtgх – периодическая с периодом π, т.е. сtg(х+π)=tgх

4) Функция у=сtgх  нечётная, т.е.tg(-х)=-tgх

5) Функция у=сtgх возрастает (убывает)  на интервалах

,

6) Функция у=сtgх принимает значение равное нулю, при х=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверь себя!

 

1. Вычислить sinα,tgα, cos2α, если cosα=- 

 

 

2. Найти значение выражения:

1)cos135º 

2)sin  

3) tg

4)cos2- sin2

3. Доказать тождество:

1)  3cos2α-sin2α+cos2α=2cos2α

2)

4. Упростить выражение:

1) sin(α-β)-sin(-α)sin(-β)

2)cos2(π-α)-cos2(-α)

3)2sinαcosβ+cos(α+β)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

 

Уровень А:

 

1) Найти значение выражения:

а) cos+tg-sin

б) 2cos60º-tg45º

в) 2tg45º+5ctg270º-3sin180º

2) Найти остальные тригонометрические функции, если:


а) sinα=, 0<α<

б) cosα=-0,6, <α<π


3) Упростить:

а) sin2α-tgα∙ctgα+cos2α

б)

 

Уровень В:

 

1) Найти значение выражения:

а) 2cos+ 4sin -3ctg

б) cos100º+cos80º

2) Найти остальные тригонометрические функции, если:


а) cosα=-, π<α<

б) ctgα=5, <α<π


3) Упростить:

а) (tgα∙ctgα+tg2α)∙ sin2α

б) (1-cos2(-α))∙(1+tg2(-α))

 

Уровень С:

 

1) Найти значение выражения:

а) sin155º-sin25º

б) sin20º∙cos10º+cos20º∙sin10º

в) cos20º∙cos40º-sin20º∙sin40º

2) Найти остальные тригонометрические функции, если  tgα=-4, <α<π


3) Упростить:

а)

б)

в) sin4(-α)+cos2(-α)- cos4(-α)

 

Подготовка к Единому Государственному экзамену (ЕГЭ)

Прототипы задания В7

Задания по теме «Тригонометрические функции» В ЕГЭ – задачи на преобразование и вычисление  тригонометрических выражений. И 

 

 

 

 

 

 

Тренировочная работа №1

Задание В7: Найти значение выражения

 

Выражение

Ответ

1.1.

 

1.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2.

 

1.2.

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3.

 

1.3.

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4.

 

1.4.

 

 

 

 

 

 

 

 

1.5.

 

1.5.

 

 

 

 

 

 

 

 

1.6.

 

1.6.

 

 

 

 

 

 

 

 

1.7.

 

1.7.

 

 

 

 

 

 

 

 

1.8.

 

1.8.

 

 

 

 

 

 

 

 

1.9.

 

1.9.

 

 

 

 

 

 

 

 

1.10

 

1.10

 

 

 

 

 

 

 

 

Тренировочная работа №2

Задание В7: Найти значение выражения

Выражение

Ответ

2.1.

 

2.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2.

 

2.2.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3.

 

2.3.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4.

 

2.4.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.5.

Найдите значение выражения , если

2.5.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.6.

 

2.6.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.7.

 

2.7.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.8.

 

2.8.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.9.

 

2.9.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.10

 

2.10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учебно – методическое обеспечение дисциплины

Учебники:

  • «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И., М:Просвещение;
  • «Алгебра и начала анализа 10класс» Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И., М:Мнемозина;

 

Дополнительные источники:

Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10 кл. – М.,  2017.

Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 11 кл. – М., 2017.

Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 10—11 кл. – М.,  2017.

Башмаков М.И. Математика: 10 кл. Сборник задач: учеб. пособие. – М., 2017.

Башмаков М.И. Математика: учебник для 10 кл. – М., 2017.

Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2018.

Колягин Ю.М. и др. Математика (Книга 1). – М., 2015.

Колягин Ю.М. и др. Математика (Книга 2). – М., 2015.

Луканкин Г.Л., Луканкин А.Г. Математика. Ч. 1: учебное пособие для учреждений начального профессионального образования.  – М., 2014.

Пехлецкий И.Д. Математика: учебник.  – М., 2015.

Смирнова И.М. Геометрия. 10 (11) кл. – М., 2015.

Интернет-ресурсы:

www.ege66.ru

www.edu.ru

www.uraledu.ru

www.minobraz.ru

www.mathtest.ru

www.allmatematika.ru

www.ega-math.narod.ru

www1.ege.edu.ru/online-testing/math/

www.mathnet.spb.ru

www.exponenta.ru/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

Информация о публикации
Загружено: 1 июня
Просмотров: 70
Скачиваний: 1
Грищенкова Юлия Сергеевна
Алгебра, СУЗ, Планирование

Проверьте знания своих учеников интересными заданиями

Красочные наградные дипломы и сертификаты для участников, свидетельства и благодарности каждому учителю, ежемесячный розыгрыш ценных призов!

Скачать материал