[Регистрация открыта!] Образовательный спецпроект «Дистант 2020» Подтвердить участие→
Конкурс разработок «Пять с плюсом» октябрь 2020
Добавляйте свои материалы в библиотеку и получайте ценные подарки
Конкурс проводится с 1 октября по 31 октября

Способы доказательства неравенств

В данной работе приведены различные способы доказательства одного неравенства
Просмотр
содержимого документа

Способы доказательства неравенств и их применение в различных разделах школьного курса математики.

Материал, связанный с неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что неравенства широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX-VI вв. до н.э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнения.

Основной целью является систематизация неравенств по алгебре по способам их доказательства и показ использования тождественных неравенств в разделах тригонометрии и геометрии.

Для реализации данной цели рассматривались следующие задачи исследования:

- выделение способов доказательства неравенств

-подбор серии задач на применение способов доказательства неравенств в школьном курсе алгебры, тригонометрии и геометрии.

Предметом исследования являются тождественные неравенства, а именно неравенства вида  и способы их доказательства.

Объект исследования: процесс обучения школьников доказательству неравенств.

Рассмотрим основные методы доказательства неравенств:

  1. Метод от противного: Чтобы доказать, что A > B, полагаем, что это не так, то есть A ≤ B. Затем путем тождественных преобразований прийти к невозможности неравенства A ≤ B.
  2. Аналитический метод: с помощью тождественных преобразований привести данное неравенство к очевидному. Затем, исходя из очевидного неравенства, доказать данное.
  3. Выяснение знака разности между доказываемыми частями неравенства: чтобы доказать, что A > B достаточно показать, что разность A-B положительна для всех значений букв, входящих в неравенство.
  4. Использование известных неравенств (справедливость которых уже доказана) для доказательства данного неравенства.
  5. Доказательство неравенств методом математической индукции.
  6. Доказательство неравенств с помощью определения.
  7. Огрубление как способ доказательства неравенств.
  8. Доказательство неравенств с помощью производной.

Различные способы доказательства неравенств поможет учителю как проиллюстрировать обучающимся различные общие математические методы доказательства, так и изумить школьников специальными и искусственными приемами.

Рассмотрим на одном неравенстве несколько способов доказательства.

Числа a, b, c, d такие, что   Доказать, что

(ac-bd) ≤ 1.

Iспособ: метод от противного.

Предположим, что неравенство не выполняется. Тогда

Полученная совокупность неверных неравенств, свидетельствует об ошибочности сделанного предложения.

II способ: метод анализа.

Выполним равносильные преобразования:

)-

Полученное очевидное неравенство и равносильность проведенных преобразований доказывают исходное неравенство.

III способ: метод синтеза.

В качестве опорных неравенств возьмем неравенства и и, выполняя равносильные преобразования с учетом того, что , получим доказываемое неравенство:

 

 

IV способ: способ усиления.

Применяя свойство модуля и соотношение между средним геометрическим и средним арифметическим (т. е. неравенства и ), получаем .

V способ: способ послабления.

Поскольку , заключаем:

1=, ибо .

VI способ: векторный способ.

Введем векторы . Пусть φ – угол между ними. Тогда по определению скалярного произведения и по теореме о скалярном произведении, будем иметь, учитывая, что , .

VII способ: тригонометрический способ.

Возьмем на окружности единичного радиуса с центром в начале координат две произвольные точки X(a;b), Y(c;d). Обозначим через α и β углы, которые образуют радиусы OX и OY с осью Ox. Тогда a=, b=, c=, d= и . Неравенство доказано.

Рассмотрим способы доказательства неравенств и их применение в различных разделах школьного курса математики.

Способ, основанный на определении сравнения чисел.

Чтобы доказать, что A>B достаточно показать, что разность A-B положительна для всех значений букв, входящих в неравенство.

Задача 1.Доказать, что если ab>0, то .(1)

Доказательство: Имеем:. Так как ab>0, то >0, причем знак равенства имеет место лишь при a=b. Итак, разность неотрицательна, то есть неравенство (1) доказано.

Задача 2. Доказать, что .

Доказательство: Рассмотрим разность . Перегруппировав члены этой разности, получим: .Последнее выражение положительно при любых значениях a, b.

 

Способ, основанный на методе математической индукции.

При доказательстве неравенств часто прибегают к методу математической индукции. Этот метод основан на доказательстве двух теорем:

Теорема 1: Утверждение верно при n=1.

Теорема 2: Из справедливости утверждения для какого-либо произвольного, натурального n=k следует его справедливость для следующего, натурального n=k+1.

Если обе эти теоремы доказаны, то на основании принципа математической индукции заключаем, что утверждение верно для любого натурального n.

Наконец, если надо доказать утверждение не для всех натуральных n, а лишь начиная с некоторого натурального m>1, то доказательство проводится так:

  1. Доказывается, что утверждение верно при n=m.
  2. Доказывается, что из справедливости утверждения при n=k, где k≥m, вытекает, что оно верно и при n=k+1.

Задача 1. Доказать, что при натуральном n≥3 имеет место неравенство .

Доказательство: при n=3 имеем , что верно. Докажем, что если выполняется неравенство ,                                                                                                  (1) 

то имеет место и неравенство , или  . (2)

Учитывая (1), заключаем, что если верно неравенство , (3)

то верно и неравенство (2). Неравенство (3) переписывается в виде , что очевидно. Таким образом, мы доказали, что неравенство (3) верно, а следовательно, и подавно выполняется неравенство (2). Итак, на основании принципа математической индукции заключаем, что утверждение задачи имеет место при натуральном n≥3.

Задача 2: Доказать, что при натуральном n имеет место неравенство

 .

Доказательство: при n=1 имеет место равенство, так как . Пусть при n=k . Тогда для n=k+1 имеем , т. к. если , то , а если , то . Поэтому при любом натуральном n.

Задача 3. Доказать, что если a, b – катеты, а c – гипотенуза прямоугольного треугольника, то для всех натуральных n≥2 имеет место неравенство .

Доказательство: при n=2 имеет место равенство (по т. Пифагора): . Пусть при n=k. Тогда при n=k+1 имеем . Итак, при любом натуральном n≥2. Равенство достигается лишь при n=2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Информация о публикации
Загружено: 20 сентября
Просмотров: 81
Скачиваний: 1
Гришенкова Татьяна Геннадьевна
Математика, 9 класс, Разное
Скачать материал