[19 мая!] Практическая онлайн-конференция «Компетенции XXI века» Подтвердить участие→
Конкурс разработок «Пять с плюсом» май 2021
Добавляйте свои материалы в библиотеку и получайте ценные подарки
Конкурс проводится с 1 мая по 31 мая

Самостоятельные работы по стереометрии

Материал содержит самостоятельные работы по основным темам стереометрии. Работы составлены с учетом 5 уровней сложности (от уровня понимания до творческого уровня).
Просмотр
содержимого документа

Изображение многогранников

Вариант 1

Задание 1. Укажите фигуру, изображенную на чертеже…

D:\Математика\тесты\10 класс\13. Изобраение фигур\13-1.png

1) наклонная призма;

2) пирамида;

3) прямоугольный параллелепипед;

4) конус.

Задание 2. Проекцией отрезка на плоскость является…

1) прямая;

2) отрезок;

3) луч;

4) точка.

Задание 3. Укажите количество боковых ребер фигуры, изображенной на чертеже…

D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\парал3.PNG

Задание 4. Укажите основания фигуры, изображенной на чертеже…

D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\призма трап.PNG

Задание 5. Укажите верные высказывания…

1. параллельные отрезки на чертежах изображаются параллельными отрезками;

2. перпендикулярные отрезки на чертежах изображаются перпендикулярными отрезками;

3. прямоугольные треугольники на чертежах изображаются любыми треугольниками.


Задание 6. Найдите a  b+c, где а – число вершин, b – число ребер, с – число граней многогранника…

D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\куб.PNG

Задание 7. Исправьте ошибки на чертеже…

Задание 8. Изобразите треугольник АВС и точку К, не принадлежащую его плоскости. Соедините точку К с вершинами треугольника.

Задание 9. Постройте фигуру по трем ее видам…

Задание 10. Постройте фигуру по двум ее видам…

D:\2019\2 вида\2-1.jpg


Вариант 2

Задание 1. Укажите фигуру, изображенную на чертеже…

D:\Математика\тесты\10 класс\13. Изобраение фигур\13-3.png

1) призма;

2) пирамида;

3) параллелепипед;

4) конус.

Задание 2. Проекцией прямой на плоскость является…

1) точка;

2) отрезок;

3) луч;

4) прямая.

Задание 3. Укажите количество боковых ребер фигуры, изображенной на чертеже…

D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\пирам6.PNG

Задание 4. Укажите основания фигуры, изображенной на чертеже…

D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\парал.PNG

Задание 5. Укажите верные высказывания…

1. невидимые части фигуры изображаются штриховой линией;

2. параллельность на чертежах не сохраняется;

3. проекции параллельных отрезков, а также проекции отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам.


Задание 6. Найдите a  b+c, где а – число вершин, b – число ребер, с – число граней многогранника…

D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\усеч пирам.PNG

Задание 7. Исправьте ошибки на чертеже…

Задание 8. Изобразите плоскость и на ней точки А и В. Постройте плоскость, проходящую через точки А и В и не совпадающую с плоскостью .

Задание 9. Постройте фигуру по трем ее видам…

Задание 10. Постройте фигуру по двум ее видам…

D:\2019\2 вида\2-2.jpg

 


Вариант 3

Задание 1. Укажите фигуру, изображенную на чертеже…

D:\Математика\тесты\10 класс\13. Изобраение фигур\13-6.png

1) призма;

2) треугольная пирамида;

3) четырехугольная пирамида;

4) конус.

Задание 2. Проекцией равностороннего треугольника на плоскость является…

1) прямоугольный треугольник;

2) равнобедренный треугольник;

3) равносторонний треугольник;

4) произвольный треугольник.

Задание 3. Укажите количество боковых ребер фигуры, изображенной на чертеже…

D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\пирам4.PNG

Задание 4. Укажите основания фигуры, изображенной на чертеже…

D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\куб.PNG

Задание 5. Укажите верные высказывания…

1. центр квадрата проектируется в точку пересечения диагоналей квадрата;

2. при параллельном проектировании середина отрезка проектируется в середину его проекции;

3. прямоугольные треугольники на чертежах изображаются прямоугольными треугольниками.


Задание 6. Найдите a  b+c, где а – число вершин, b – число ребер, с – число граней многогранника…

D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\парал.PNG

Задание 7. Исправьте ошибки на чертеже…

Задание 8. Изобразите плоскость , прямую а, пересекающую плоскость в точке А и точку В, не лежащую в плоскости . Проведите прямую, проходящую через точку В и параллельную прямой а.

Задание 9. Постройте фигуру по трем ее видам…

Задание 10. Постройте фигуру по двум ее видам…

D:\2019\2 вида\2-3.jpg


Вариант 4

Задание 1. Укажите фигуру, изображенную на чертеже…

D:\Математика\тесты\10 класс\13. Изобраение фигур\13-9.png

1) призма;

2) пирамида;

3) параллелепипед;

4) конус.

Задание 2. Проекцией прямоугольника на плоскость является…

1) параллелепипед;

2) прямоугольник;

3) трапеция;

4) произвольный четырехугольник.

Задание 3. Укажите количество боковых ребер фигуры, изображенной на чертеже…

D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\пирам3.PNG

Задание 4. Укажите основания фигуры, изображенной на чертеже…

D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\усеч пирам.PNG

Задание 5. Укажите верные высказывания…

1. трапеция изображается произвольной трапецией, с сохранением параллельности оснований;

2. проекции параллельных прямых параллельны или совпадают;

3. длины отрезков при параллельном проектировании сохраняются.


Задание 6. Найдите a  b+c, где а – число вершин, b – число ребер, с – число граней многогранника…

D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\призма2.PNG

Задание 7. Исправьте ошибки на чертеже…

Задание 8. Изобразите плоскость и параллелограмм ABCD, сторона АВ которого принадлежит плоскости .

Задание 9. Постройте фигуру по трем ее видам…

Задание 10. Постройте фигуру по двум ее видам…

D:\2019\2 вида\2-4.jpg

 


Вариант 5

Задание 1. Укажите фигуру, изображенную на чертеже…

D:\Математика\тесты\10 класс\13. Изобраение фигур\13-10.png

1) правильная призма;

2) пирамида;

3) параллелепипед;

4) шестиугольная призма.

Задание 2. Проекцией параллелограмма на плоскость является…

1) прямоугольник;

2) ромб;

3) трапеция;

4) параллелограмм.

Задание 3. Укажите количество боковых ребер фигуры, изображенной на чертеже…

D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\призма трап.PNG

Задание 4. Укажите основания фигуры, изображенной на чертеже…

D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\призма.PNG

Задание 5. Укажите верные высказывания…

1. проекции параллельных отрезков – параллельные отрезки или отрезки, принадлежащие одной прямой;

2. квадрат на чертеже изображается произвольным прямоугольником;

3. окружность изображается эллипсом, большая ось которого имеет длину, равную диаметру окружности.


Задание 6. Найдите a  b+c, где а – число вершин, b – число ребер, с – число граней многогранника…

D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\пирам6.PNG

Задание 7. Исправьте ошибки на чертеже…

Задание 8. Изобразите плоскость и точки А и В, не лежащие в плоскости . Постройте точку пересечения прямой АВ с плоскостью .

Задание 9. Постройте фигуру по трем ее видам…

Задание 10. Постройте фигуру по двум ее видам…

D:\2019\2 вида\2-5.jpg


Аксиомы стереометрии

Вариант 1

Задание 1. Укажите точки, не принадлежащие плоскости

D:\Математика\тесты\10 класс\1-2.jpg

1) А;

2) М;

3) В;

4) С.

Задание 2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести…

1) сколько угодно плоскостей;

2) только одну плоскость;

3) прямую.

Задание 3. Укажите верные высказывания…

1) две прямые пересекаются в одной точке;

2) если прямая лежит в плоскости, то существуют точки прямой, не принадлежащие этой плоскости и точки, принадлежащие этой плоскости;

3) если точка не лежит в плоскости, то она не принадлежит этой плоскости.

Задание 4. Укажите верную запись…

1) если А и В, то АВ;

2) если А и В, то АВ;

3) если А, В и С, то (АВС);

4) если АВС, то ВАС.

Задание 5. Укажите, используя рисунок, точки, лежащие в плоскостях DCC1 и BQC


Задание 6. Укажите, используя рисунок, точки пересечения прямой АВ с плоскостью BCD

Задание 7. ABCDA1B1C1D1 – куб, длина ребра которого равна 4 см. Вычислите длину пространственной ломаной ABB1A1D1C1CB.

Задание 8. SABCD – правильная четырехугольная пирамида, боковое ребро которой в два раза больше стороны основания. Точки Т, К и Е – середины ребер SB, SA SD. Найдите длину пространственной ломаной DCBTKED, если площадь основания пирамиды равна 16 см2.

Задание 9. Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.

Задание 10. ABCDA1B1C1D1 – куб, длина ребра которого равна 4 см. Точка К – середина отрезка АА1. Найдите длину отрезка КС.

 


Вариант 2

Задание 1. Укажите точки, лежащие на прямой а…

D:\Математика\тесты\10 класс\1-1.jpg

1) В;

2) А;

3) С;

4) D.

Задание 2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то…

1) прямая пересекает плоскость;

2) прямая параллельна плоскости;

3) вся прямая принадлежит этой плоскости.

Задание 3. Укажите верные высказывания…

1) если диагонали прямоугольника лежат в плоскости , то и прямоугольник лежит в плоскости ;

2) если точка А треугольника АВС лежит в плоскости , а прямая ВС пересекает плоскость в точке В, то точка С также лежит в плоскости ;

3) плоскости АВС и АВСD совпадают.

Задание 4. Укажите верную запись…

1) если А и В, то АВ

2) если А, В и С, то АВ=

3) если АВС, то ВАС

4) если А, В, А, В, то =АВ

Задание 5. Укажите, используя рисунок, точки пересечения прямой МК с плоскостью ABD


Задание 6. Укажите, используя рисунок, плоскость, в которой лежат прямые AB и EC

Задание 7. АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма, сторона основания которой равна 4 см, а высота призмы – 3 см. Вычислите длину пространственной ломаной ABCAA1C1B1.

Задание 8. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, в основании которого лежит квадрат с диагональю см. Найдите диагональ боковой грани параллелепипеда, если длина пространственной ломаной АВСС1В1А1 равна 19 см.

Задание 9. Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

Задание 10. ABCDS – правильная четырехугольная пирамида. Найдите длину отрезка , где точка О – середина стороны АВ, если АВ=6 см, а длина бокового ребра пирамиды равна 5 см.

 


Вариант 3

Задание 1. Укажите точки, не лежащие на прямой а…

D:\Математика\тесты\10 класс\1-1.jpg

1) В;

2) А;

3) С;

4) D.

Задание 2. Через две пересекающиеся прямые можно провести…

1) одну плоскость;

2) только одну плоскость;

3) две плоскости;

4) много плоскостей.

Задание 3. Укажите верные высказывания…

1) если точка А треугольника АВС не лежит в плоскости , то точки В и С также не лежат в плоскости ;

2) две плоскости АВС и АВМ пересекаются по прямой АВ;

3) три плоскости АВС, ВСМ, АВМ могут совпадать.

Задание 4. Укажите верную запись…

1) если А и В, то АВ;

2) если аb, то аb;

3) если АВ, то А;

4) если АВ, то А.

Задание 5. Укажите, используя рисунок, точку пересечения прямых QP и DC


Задание 6. Укажите, используя рисунок, точки, общие для плоскостей ABC и ADC

Задание 7. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, стороны основания которого АВ=3 см и ВС=4 см, а высота – 7 см. Вычислите длину пространственной ломаной BB1A1D1DCC1.

Задание 8. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны между собой. Точки Т и К – середины ребер SC и ВС соответственно. Найдите площадь основания пирамиды, если длина ломаной KTSDK равна см.

Задание 9. Три точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все эти отрезки лежат в одной плоскости.

Задание 10. ABCD – правильная треугольная пирамида, все ребра которой равны между собой. Найдите длину ребра пирамиды, если длина отрезка ОС, где точка О – середина отрезка АВ равна см.

 


Вариант 4

Задание 1. Укажите точки, не принадлежащие прямым а и b…

D:\Математика\тесты\10 класс\1-1.jpg

1) В;

2) А;

3) С;

4) К.

Задание 2. Плоскость проходит через точку, если…

1) точка лежит на прямой, пересекающей плоскость;

2) точка лежит на прямой, параллельной плоскости;

3) точка лежит в плоскости.

Задание 3. Укажите верные высказывания…

1) если треугольники АМР и АВС имеют общую точку А, то плоскости АМР и АВС имеют только одну общую точку;

2) если прямая а пересекает прямые b и с, то прямые а, b и с лежат в одной плоскости;

3) если точка А лежит на прямой ВС, то точка С не лежит на прямой АВ.

Задание 4. Укажите верную запись…

1) если АВС, то ВАС;

2) если А и В, то АВ;

3) если А, В, то =АВ;

4) если а=В, то В.

Задание 5. Укажите, используя рисунок, точку пересечения прямых C1M и DC


Задание 6. Укажите, используя рисунок, прямую, по которой пересекаются плоскости ABC и DCB

Задание 7. ABCDS – правильная четырехугольная пирамида. Сторона основания равна 4 см, длина бокового ребра – 7 см. Вычислите длину пространственной ломаной ABCSADS.

Задание 8. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, в основании которой квадрат с диагональю см. Найдите длину пространственной ломаной АВСС1В1А1, если диагональ боковой грани равна 5 см.

Задание 9. Дана плоскость . Докажите, что существует прямая, не лежащая в плоскости и пересекающая ее.

Задание 10. АВСDА1В1С1D1 – прямоугольный параллелепипед, в основании которого лежит квадрат со стороной 3 см. Точка О – середина ребра АА1. Найдите длину отрезка ОВ, если высота параллелепипеда равна 16 см.

 


Вариант 5

Задание 1. Укажите точки, принадлежащие плоскости

D:\Математика\тесты\10 класс\1-2.jpg

1) В;

2) А;

3) С;

4) М.

Задание 2. Если две плоскости имеют общую точку, то эти плоскости…

1) пересекаются;

2) параллельны;

3) совпадают.

Задание 3. Укажите верные высказывания…

1) если точки А, В и С лежат в одной плоскости, то через них можно провести прямую;

2) если треугольник лежит в плоскости, то его высоты также лежат в этой плоскости;

3) если две стороны четырехугольника лежат в плоскости, то весь четырехугольник лежит в этой плоскости.

Задание 4. Укажите верную запись…

1) если А, В, то АВ;

2) если аb, то аb;

3) если АВС, то ВАС;

4) если АВ, то А.

Задание 5. Укажите, используя рисунок, прямую, по которой пересекаются плоскости ААВ1 и ACD


Задание 6. Укажите, используя рисунок, точку пересечения прямой DK с плоскостью АВС

Задание 7. АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма, сторона основания которой равна 3 см, а высота призмы – 4 см. Вычислите длину пространственной ломаной ABCC1B1BAA1.

Задание 8. SABC – правильная треугольная пирамида, боковое ребро которой в два раза больше стороны основания. Точки Т, К, Р и Е – середины ребер SC, SB, BC и AC соответственно. Найдите длину ломаной TKBPET, если сумма длин всех ребер пирамиды равна 18 см.

Задание 9. Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости.

Задание 10. АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма. Сторона основания равна 4 см, боковое ребро – 6 см. Точка К – середина отрезка СС1. Найдите длину отрезка КВ.


Построение сечений

Вариант 1

Задание 1. Укажите на рисунке правильно построенные сечения…

1) D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\Практикум\10.PNG

2) D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\Практикум\14.PNG

3) D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\Практикум\15.PNG

Задание 2. Укажите на рисунке диагональные сечения многогранника…

D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\Практикум\5.PNG

Задание 3. Достройте сечение многогранника плоскостью…

D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\Практикум\1.PNG

Задание 4. Через точку К стороны АС треугольника АВС проведена плоскость α, параллельная прямой АВ. Постройте точку пересечения плоскости α и стороны ВС (точку М).

Задание 5. Постройте сечение, проходящее через точки N, M и К…

D:\Математика\Стереометрия\Рисунки\5.PNG


Задание 6. Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки А, В и С

D:\Математика\Стереометрия\Рисунки\3.PNG

Задание 7. Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки А, В и С, если точки А и В лежат на противоположных боковых гранях

D:\Математика\Стереометрия\Рисунки\19.PNG

Задание 8. Постройте изображение многогранника по его ребрам, вершинам и сечению данного многогранника плоскостью…

D:\Математика\Стереометрия\Рисунки\1.PNG

Задание 9. Площадь грани куба ABCDA1B1C1D1 равна 25 см2. Точки K, M, N и Q середины сторон АА1, ВВ1,. СС1 и DD1 соответственно. Найдите периметр четырехугольника KMNQ.

Задание 10. Вычислите площадь наибольшего диагонального сечения правильной шестиугольной пирамиды, если ее высота 5 см, а сторона основания – 4 см.

 


Вариант 2

Задание 1. Укажите на рисунке правильно построенные сечения…

1) D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\Практикум\11.PNG

2) D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\Практикум\16.PNG

3) D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\Практикум\18.PNG

Задание 2. Укажите на рисунке диагональные сечения многогранника…

D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\Практикум\10.PNG

Задание 3. Достройте сечение многогранника плоскостью…

D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\Практикум\3.PNG

Задание 4. Отрезок MN перпендикулярен плоскости квадрата ABCD (точка N принадлежит отрезку BD). Через точку М проведите перпендикуляр к прямой АС.

Задание 5. Постройте сечение, проходящее через точки N, M и К

D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\Практикум\1.PNG


Задание 6. Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки А, В и С

D:\Математика\Стереометрия\Рисунки\2.PNG

Задание 7. Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки А, В и С, если точка В лежит на задней грани…

D:\Математика\Стереометрия\Рисунки\15.PNG

Задание 8. Постройте изображение многогранника по его ребрам, вершинам и сечению данного многогранника плоскостью…

D:\Математика\Стереометрия\Рисунки\2.PNG

Задание 9. ABCDA1B1C1D1 – прямая призма, в основании которой лежит ромб со стороной 4 см. Точки M, N, Q и R – середины сторон АВ, DC, A1B1 и D1C1 соответственно. Найдите периметр четырехугольника MNQR, если высота призмы 8 см.

Задание 10. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону АВ и противолежащее ей ребро верхней грани, если АВ=3 см, а высота параллелепипеда – 4 см.

 


Вариант 3

Задание 1. Укажите на рисунке правильно построенные сечения…

1) D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\Практикум\14.PNG

2) D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\Практикум\18.PNG

3) D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\Практикум\20.PNG

Задание 2. Укажите на рисунке диагональные сечения многогранника…

D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\Практикум\1.PNG

Задание 3. Достройте сечение многогранника плоскостью…

D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\Практикум\5.PNG

Задание 4. Концы отрезка АВ лежат по одну сторону относительно плоскости α. Через точки А и В проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость α в точках А1 и В1. Постройте точку пересечения прямой АВ и плоскости α (точку О).

Задание 5. Постройте сечение, проходящее через точки N, M и К…

D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\Практикум\2.PNG


Задание 6. Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки А, В и С

D:\Математика\Стереометрия\Рисунки\5.PNG

Задание 7. Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки А, В и С, если точка В лежит в верхней грани…

D:\Математика\Стереометрия\Рисунки\12.PNG

Задание 8. Постройте изображение многогранника по его ребрам, вершинам и сечению данного многогранника плоскостью…

D:\Математика\Стереометрия\Рисунки\5.PNG

Задание 9. Сторона правильного тетраэдра ТАВС равна 6 см. Точки К, М, N и Р – середины сторон АС, АВ, ТВ и ТС соответственно. Найдите периметр четырехугольника KMNP.

Задание 10. В правильной треугольной пирамиде DABC точки Е, F и Р - середины сторон ВС, АВ и AD. Найдите площадь сечения, проходящего через эти точки, если сторона основания пирамиды равна 4 см, а боковое ребро равно 6 см.

 


Вариант 4

Задание 1. Укажите на рисунке правильно построенные сечения…

1) D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\Практикум\13.PNG

2) D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\Практикум\18.PNG

3) D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\Практикум\15.PNG

Задание 2. Укажите на рисунке диагональные сечения многогранника…

D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\Практикум\7.PNG

Задание 3. Достройте сечение многогранника плоскостью…

D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\Практикум\2.PNG

Задание 4. Через точку К стороны АВ равностороннего треугольника АВС проведен к его плоскости перпендикуляр МК. Проведите через точку М перпендикуляр к прямой АС.

Задание 5. Постройте сечение, проходящее через точки M, К и С1

D:\Математика\Стереометрия\Рисунки\1.PNG


Задание 6. Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки А, В и С

D:\Математика\Стереометрия\Рисунки\1.PNG

Задание 7. Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки А, В и С, если точка В лежит в нижней грани, точка С на задней грани…

D:\Математика\Стереометрия\Рисунки\16.PNG

Задание 8. Постройте изображение многогранника по его ребрам, вершинам и сечению данного многогранника плоскостью…

1-2

Задание 9. АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма. Точки К, М и Р – середины сторон АА1, ВВ1 и СС1 соответственно. Найдите периметр треугольника КМР, если площадь основания равна см2.

Задание 10. Найдите площадь диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда, высота которого равна 12 см, а стороны основания 8 см и 6 см.


Вариант 5

Задание 1. Укажите на рисунке правильно построенные сечения…

1) D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\Практикум\14.PNG

2) D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\Практикум\16.PNG

3) D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\Практикум\11.PNG

Задание 2. Укажите на рисунке диагональные сечения многогранника…

D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\Практикум\3.PNG

Задание 3. Достройте сечение многогранника плоскостью…

D:\Математика\Стереометрия\аксиомы\Практикум\10.PNG

Задание 4. Отрезок АВ параллелен плоскости α. Через его концы проведены параллельные прямые. Прямая, проходящая через точку В пересекает плоскость в точке В1. Постройте точку пересечения второй прямой с плоскостью α (точку А1).

Задание 5. Постройте сечение, проходящее через точки N, M и К…

D:\Математика\Стереометрия\Рисунки\2.PNG


Задание 6. Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки А, В и С

D:\Математика\Стереометрия\Рисунки\4.PNG

Задание 7. Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки А, В и С, если точки В и С лежат на одной боковой грани…

D:\Математика\Стереометрия\Рисунки\13.PNG

Задание 8. Постройте изображение многогранника по его ребрам, вершинам и сечению данного многогранника плоскостью…

D:\Математика\Стереометрия\Рисунки\6.PNG

Задание 9. SABCD – правильная четырехугольная пирамида. Точки Р, О, К и М – середины сторон АВ, SB, SC и соответственно. Найдите периметр четырехугольника РОКМ, если все ребра пирамиды равны 4 см.

Задание 10. Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равно 4 см. На ребре АВ взята точка Р – середина этого ребра. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точки С1, Р и D.


Параллельные прямые в пространстве

Вариант 1

Задание 1. Используя рисунок, укажите прямую, параллельную прямой АВ

куб

1) BB1; 2) DC; 3) BC; 4) A1D1.

Задание 2. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна…

1) 180О; 2) 360О; 3) 90О.

Задание 3. Разность двух односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей равна 30О. Найдите эти углы.

Задание 4. Найдите длину отрезка DD1, если СС1=6 см и DFD1F1, DF=D1F1, CFC1F1, CF=C1F1.

Задание 5. Две параллельные прямые а и b пересекают две параллельные прямые с и d в точках А, В, С и D. Чему равен периметр четырехугольника ABCD, если АВ=5 см, ВС=6 см?

Задание 6. Через конец А отрезка АВ проходит плоскость . Через точку В и точку С этого отрезка проведены прямые, пересекающие плоскость в точках В1 и С1 соответственно. Вычислите длину отрезка СС1, если ВВ1=8 см и АС:СВ=3:5.

Задание 7. Прямая параллельная основанию треугольника пересекает боковые стороны треугольника в точках А и В и делят их в отношении 1:3. Чему равно основание треугольника, если АВ=4 см?

Задание 8. Точка К не принадлежит плоскости трапеции ABCD (AD||BC). Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков KB и KC, параллельна прямой AD.

Задание 9. DABC – треугольная пирамида. Точки К и Т – середины ребер AD и BD соответственно. Точка О лежит на продолжении отрезка КТ так, что точка Т – середина отрезка КО. Медианы грани ADC пересекаются в точке Р. Найдите длину отрезка OF, если РТ=1 см, а точка F – точка пересечения прямой k, проходящей через точку О параллельно прямой РТ, с плоскостью ACD.

Задание 10. SABC – тетраэдр, длина ребра которого равна см. Точка О – середина ребра SB. Точка К – точка пересечения прямой k, проходящей через точку О параллельно медиане ВТ грани АВС. Найдите длину отрезка этой прямой, расположенного внутри тетраэдра.


Вариант 2

Задание 1. Используя рисунок, укажите прямую, параллельную прямой АВ

10-5

1) BC; 2) AC; 3) A1B1; 4) A1C1.

Задание 2. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести…

1) несколько прямых параллельных данной;

2) ни одной прямой, параллельной данной;

3) только одну прямую, параллельную данной.

Задание 3. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большей стороны. Периметр прямоугольника равен 56 см. Найдите стороны прямоугольника.

Задание 4. Найдите длину отрезка B1C1, если ВС=5 см и ВВ1АА1, ВВ1=АА1, 1АА1, 1=АА1.

Задание 5. Даны три параллельные прямые а, b и с. Чему равно расстояние от прямой а до прямой с, если расстояние от прямой b до прямой а равно 3 см, а расстояние от прямой b до прямой с равно 6 см?

Задание 6. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В1 и С1. Найдите длину отрезка ВВ1, если АВ=6 см, АС:СС1=2:5.

Задание 7. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС – в точке В1. Найдите длину отрезка А1В1, если АВ=15 см, АА1:АС=2:3.

Задание 8. АВСА1В1С1 – треугольная призма. Точки Т, О и F – середины ребер А1В1, А1С1 и ВВ1 соответственно. Точка К – точка пересечения диагоналей грани ВВ1С1С. Докажите, что прямые TF и ОК параллельны.

Задание 9. ТABCD – четырехугольная пирамида, основанием которой служит трапеция ABCD (ВСAD). Точка К – середина ребра SA. Длина отрезка, по которому плоскость КВС пересекает грань ТAD, равна 5 см. Найдите длину средней линии трапеции, если ВС=6 см.

Задание 10. АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма. Через вершину В проведена прямая l, параллельная прямой АО, где точка О – точка пересечения диагоналей грани ВВ1С1С. Найдите длину основания призмы, если длина отрезка ВК= см, где К – точка пересечения прямой k с плоскостью грани АА1С1С, а длина бокового ребра 4 см.

Вариант 3

Задание 1. Используя рисунок, укажите прямую, параллельную прямой АВ

12-34

1) AD; 2) TO; 3) AD; 4) DC.

Задание 2. 3. Две прямые, перпендикулярные третьей…

1) пересекаются; 2) перпендикулярны; 3) параллельны.

Задание 3. Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 3 см. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 16 см.

Задание 4. Найдите длину отрезка ЕЕ1, если АА1=3 см и А1Р1, А1Р1=АР, ЕРЕ1Р1, ЕР=Е1Р1.

Задание 5. Прямая с пересекает параллельные прямые а и b в точках А и В соответственно. Чему равно расстояние между параллельными прямыми, если АВ=15 см, а длина перпендикуляра из точки А к прямой b равна 9 см?

Задание 6. Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А1, В1 и М1. Найдите длину отрезка ММ1, если отрезок АВ не пересекает плоскость и АА1=5 см, ВВ1=7 см.

Задание 7. Дан треугольник АВС. Прямая, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС – в точке В1. Найдите длину отрезка А1В1, если АА1=3 см, АВ=5 см, А1С=3 см.

Задание 8. ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. Точки Е и F – точки пересечения диагоналей граней АА1В1В и ВВ1С1С соответственно, а точки К и Т – середины ребер AD и DC соответственно. Верно ли, что прямые EF и КТ параллельны?

Задание 9. АВСА1В1С1 – треугольная призма. Точки К и Т – середины ребер АА1 и В1С1 соответственно. Найдите длину отрезка КТ, если АЕ=4 см, где Е – точка пересечения прямой k, проходящей через вершину А параллельно прямой КТ, с плоскостью А1В1С1.

Задание 10. Длина ребра правильной треугольной пирамиды ТABC, все ребра которой равны, см. Точка К – точка пересечения прямой k, проходящей через точку О параллельно медиане ВТ грани АВС, где точка О – середина ребра SB. Найдите длину отрезка этой прямой, расположенного внутри тетраэдра.

Вариант 4

Задание 1. Используя рисунок, укажите прямую, параллельную прямой АВ

10-1

1) DC; 2) BC; 3) A1B1; 4) ED.

Задание 2. 3. Две прямые, параллельные третьей…

1) параллельны; 2) перпендикулярны; 3) пересекаются.

Задание 3. Средняя линия трапеции 7 см, а одно из ее оснований больше другого на 4 см. Чему равны основания трапеции.

Задание 4. Найдите длину отрезка BB1, если CС1=15 см и ВВ1АА1, ВВ1=АА1, CС1АА1, CС1=АА1.

Задание 5. Две параллельные прямые пересекают одну сторону угла в точках А и В, а другую – в точках А1 и В1. Чему равна длина отрезка А1В1, если длина отрезка АВ=6 см?

Задание 6. Отрезок АВ не пересекает плоскость . Точка С принадлежит отрезку АВ. Через точки А, В, С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках А1, В1 и С1 соответственно. Найдите длину отрезка СС1, если АА1=9 см, ВВ1=5 см, АС:ВС=1:3.

Задание 7. Дан треугольник АВС. Прямая, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС – в точке В1. Найдите длину отрезка А1В1, если В1С=10 см, АВ:ВС=4:5.

Задание 8. Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма (вершины пространственного четырехугольника не лежат в одной плоскости).

Задание 9. АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма, все ребра которой равны между собой. Точки Т и О – середины отрезков АА1 и В1С соответственно. Найдите длину ребра призмы, если длина отрезка КТ= см, где К – точка в которой прямая k, проходящая через точку О параллельно прямой В1Т, пересекает плоскость АВС.

Задание 10. DABC – правильный тетраэдр. Через точку О пересечения медиан грани ADB проведена прямая k, параллельная прямой СК грани DBC. Найдите длину ребра тетраэдра, если длина отрезка k, расположенного внутри тетраэдра равна см.


Вариант 5

Задание 1. Используя рисунок, укажите прямую, параллельную прямой АВ

10-3

1) DC; 2) AD; 3) A1D1; 4) B1C1.

Задание 2. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые…

1) пересекаются; 2) параллельны; 3) скрещиваются.

Задание 3. Расстояния от точки пересечения диагоналей параллелограмма до двух его вершин равны 3 см и 4 см, Чему равны расстояния от нее до двух других вершин

Задание 4. Найдите длину отрезка N1K1, если NK=4 см и NN1MM1, NN1=MM1, KK1MM1, KK1=MM1

Задание 5. Параллельные прямые АС и BD пересекают плоскость в точках А и В. Точки С и D лежат по одну сторону от плоскости , АС=8 см, BD=6 см, АВ=4 см. Найдите длину отрезка ВЕ, где Е – точка пересечения прямой CD и плоскости .

Задание 6. Через точку А отрезка АВ проведена плоскость , а через точку В и точку С отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающиеся с плоскостью в точках В1 и С1. Найдите длину отрезка СС1, если ВВ1=30 см, АВ1:В1С1=3:1.

Задание 7. Прямая а пересекает стороны АС и ВС треугольника АВС и делит их в отношении АА1:А1С=ВВ1:В1С=2:3. Вычислите длину отрезка А1В1, если АВ=30 см.

Задание 8. Плоскости α и β пересекаются по прямой АВ. Прямая а параллельна как плоскости α, так и плоскости β. Докажите, что прямые а и АВ параллельны.

Задание 9. В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат. Точка F лежит на диагонали B1D параллелепипеда так, что B1F:FD=3:1. Найдите сторону основания параллелепипеда, если длина отрезка FT= см, где Т – точка по которой прямая k, проходящая через точку F параллельно прямой АВ1, пересекает плоскость АВС, а боковое ребро параллелепипеда равно 4 см.

Задание 10. АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма, все ребра которой равны между собой. Точки Т и О – середины отрезков АА1 и В1С соответственно. Найдите длину ребра призмы, если длина отрезка КТ= см, где К – точка в которой прямая k, проходящая через точку О параллельно прямой В1Т, пересекает плоскость АВС.

Параллельность прямой и плоскости

Вариант 1

Задание 1. Используя рисунок, укажите плоскость, параллельную прямой АВ

10-5

1) (А1В1С1); 2) (АВС); 3) (АВВ1); 4) (АСС1).

Задание 2.  Используя рисунок, укажите верные утверждения…

D:\Математика\тесты\10 класс\Рисунок2.jpg

1) прямая АD параллельна плоскости (МВС);

2) прямая СD параллельна плоскости (АВМ);

3) прямая КF параллельна плоскости (АВD);

4) точка F принадлежит плоскости (АКD).

Задание 3. Сторона АВ треугольника АВС принадлежит плоскости . Как расположена по отношению к плоскости прямая, проходящая через середину сторон АС и ВС?

1) параллельна плоскости;

2) не пересекает плоскость;

3) пересекает плоскость.

Задание 4. Найдите BB1, если CС1=13 см и ВВ1АА1, ВВ1=АА1, 1АА1, 1=АА1.

Задание 5. Сторона правильного тетраэдра ТАВС равна 6 см. Точки К, М, N и Р – середины сторон АС, АВ, ТВ и ТС соответственно. Найдите периметр четырехугольника KMNP.

Задание 6. Точка С лежит на отрезке АВ, причем АВ:ВС=4:3. Отрезок CD, равный 12 см, параллелен плоскости , проходящей через точку В. Найдите длину отрезка ВЕ.

Задание 7. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС – в точке В1. Найдите длину отрезка А1В1, если АВ=8 см, АА1:А1С=5:3.

Задание 8. SABCD – правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны между собой. Точка О – точка пересечения диагоналей основания. Прямая проходит через точку О и параллельна плоскостям SAD и SAB. Найдите длину отрезка этой прямой, расположенного внутри пирамиды, если радиус описанной около основания окружности равен см.

Задание 9. АВСDA1B1C1D1 – параллелепипед. Точка F лежит на продолжении ребра ВС, точка О – точка пересечения диагоналей грани DD1C1C, а точка К – середина отрезка D1F. Верно ли, что прямая ОК параллельна плоскости А1В1С?

Задание 10. SABCD – правильная четырехугольная пирамида, точки F и О – середины сторон АВ и CD соответственно. Найдите площадь сечения, проходящего через точки F, О и параллельной ребру SD, если DC=20 см, SC=26 см.


Вариант 2

Задание 1. Используя рисунок, укажите плоскость, параллельную прямой АВ

10-1

1) (DCC1); 2) (АВB1); 3) (А1В1С1); 4) (АСС1).

Задание 2.  Используя рисунок, укажите верные утверждения…

пар2

1) прямая АВ и плоскость (ВСС1) параллельны;

2) прямые 1 и АС1 пересекаются;

3) прямая АС параллельна прямой А1С1;

4) прямая АА1 параллельна плоскости (АВС).

Задание 3. Прямая а параллельна плоскости , прямая b принадлежит плоскости . Прямые а и b

1) могут пересекаться;

2) могут быть параллельными;

3) параллельны.

Задание 4. Найдите C1D1, если DС=12 см и DFD1F1, DF=D1F1, CFC1F1, CF=C1F1.

Задание 5. Сторона куба ABCDA1B1C1D1 равна 10 см. Точки K, M, N и Q середины сторон АА1, ВВ1, СС1 и DD1 соответственно. Найдите периметр четырехугольника KMNQ.

Задание 6. Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через точки В и С – параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В1 и С1. Найдите длину отрезка СС1, если АС:СВ=3:2 и ВВ1=20 см.

Задание 7. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС – в точке В1. Найдите длину отрезка А1В1, если АВ=15 см, АА1:АС=2:3.

Задание 8. В тетраэдре SABC точки К и Т – середины ребер АВ и SC соответственно. Найдите длину отрезка, по которому пересекаются сечения тетраэдра плоскостями, проходящими через прямые ST и ВК и параллельными прямой АС, если АВ=12 см.

Задание 9. В параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 точка О – середина диагонали B1D, точка F – середина ребра AD. Докажите, что прямая OF параллельна плоскости DCC1.

Задание 10. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 точки О и К – середины ребер СС1 и АВ. Найдите периметр сечения призмы плоскостью, проходящей через точки О и К и параллельной ребру АС, если АС=24 см, АА1=10 см.


Вариант 3

Задание 1. Используя рисунок, укажите плоскость, параллельную прямой АВ

куб

1) (А1В1B); 2) (DCC1); 3) (АDD1); 4) (АСС1).

Задание 2. 4. Используя рисунок, укажите верные утверждения…

пар2

1) прямая А1С1 параллельна плоскости (АВС);

2) прямая 1 и плоскость (АВС) пересекаются;

3) прямые АС и ОВ параллельны;

4) плоскости (ADD1) и (ВСС1) пересекаются.

Задание 3. 2. Плоскость и прямая, не принадлежащие ей параллельны, если…

1) прямая параллельна какой-нибудь прямой плоскости;

2) прямая параллельна двум параллельным прямым плоскости;

3) прямая параллельна всем прямым плоскости.

Задание 4. Найдите NN1, если KK1=9 см и NN1MM1, NN1=MM1, KK1MM1, KK1=MM1.

Задание 5. SABCD – правильная четырехугольная пирамида. Точки Р, О, М и К - середины сторон SA, SB, SC и SD соответственно. Найдите периметр четырехугольника РОМК, если сторона основания пирамиды равна 16 см.

Задание 6. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В1 и С1. Найдите длину отрезка ВВ1, если АВ=6 см, АС:СС1=2:5.

Задание 7. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС – в точке В1. Найдите длину отрезка А1В1, если АА1=3 см, АВ=5 см, А1С=3 см.

Задание 8. SABC – правильный тетраэдр. Точки Р, К и М – середины ребер АВ, ВС и соответственно. Найдите длину ребра тетраэдра, если длина отрезка, по которому пересекаются сечения тетраэдра плоскостями АМС и SPК равна 6 см.

Задание 9. Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является квадрат ABCD. Точка К - середина ребра ВВ1. Через точки и С1 проведена плоскость, параллельная прямой BD1. Докажите, что сечение призмы плоскостью является равнобедренным треугольником.

Задание 10. Найдите периметр сечения тетраэдра SABC плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, SC и параллельной ребру SB, если длина ребра тетраэдра равна 5 см.


Вариант 4

Задание 1. Используя рисунок, укажите плоскость, параллельную прямой АВ

10-3

1) (АСС1); 2) (АВС); 3) (АВВ1); 4) (А1В1С1).

Задание 2.  Используя рисунок, укажите верные утверждения…

764436

1) прямая АС параллельна прямой АВ;

2) прямая АС параллельна плоскости (А1В1С1);

3) плоскости (АВС) и (АСС1) параллельны;

4) прямая СВ1 параллельна прямой ТК.

Задание 3. Сторона АВ параллелограмма АВСD принадлежит плоскости . Как расположена по отношению к плоскости сторона CD

1) пересекает плоскость;

2) параллельна плоскости;

3) лежит в плоскости.

Задание 4. Найдите BB1, если CС1=15 см и ВВ1АА1, ВВ1=АА1, 1АА1, 1=АА1.

Задание 5. АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма. Точки К, М и Р – середины сторон АА1, ВВ1 и СС1 соответственно. Найдите периметр треугольника КМР, если длина стороны основания равна 8 см.

Задание 6. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В1 и С1. Найдите длину отрезка ВВ1, если АС=3 см, ВС=5 см, СС1=6 см.

Задание 7. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС – в точке В1. Найдите длину отрезка А1В1, если В1С=10 см, АВ:ВС=4:5.

Задание 8. SABC – правильный тетраэдр, длина ребра которого равна 18 см. Точки Р, Т и О – середины ребер АВ, ВС и соответственно. Найдите длину отрезка, по которому пересекаются сечения тетраэдра плоскостями АОС и SPT.

Задание 9. Точка D не лежит плоскости прямоугольника KLMN. Докажите, что MN||DKL.

Задание 10. Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна 20 см, а длина бокового ребра – 36 см. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины двух противолежащих сторон основания и параллельной боковому ребру.


Вариант 5

Задание 1. Используя рисунок, укажите плоскость, параллельную прямой АВ

12-34

1) (AOD); 2) (ABT); 3) (DCT); 4) (TOD).

Задание 2. Используя рисунок, укажите верные утверждения…

13-37

1) прямая АВ параллельна плоскости (ADC);

2) прямая АВ параллельна плоскости (DCС1);

3) прямая AD принадлежит плоскости (ADD1);

4) прямая АС лежит в плоскости (А1В1С1).

Задание 3. Если прямые а и b параллельны плоскости, то прямые а и b

1) всегда параллельны;

2) могут пересекаться;

3) всегда пересекаются.

Задание 4. Найдите N1K1, если NK=4 см и NN1MM1, NN1=MM1, KK1MM1, KK1=MM1.

Задание 5. ABCDA1B1C1D1 – прямая призма, в основании которой лежит ромб со стороной 4 см. Точки M, N, Q и R – середины сторон АВ, DC, A1B1 и D1C1 соответственно. Найдите периметр четырехугольника MNQR, если высота призмы 8 см.

Задание 6. Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А1, В1 и М1. Найдите длину отрезка ММ1, если отрезок АВ пересекает плоскость и АА1=5 см, ВВ1=7 см.

Задание 7. Через вершину прямого угла С прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость параллельно гипотенузе АВ. Биссектриса угла А пересекает эту плоскость в точке О. Найдите длину отрезка СО, если АВ=5 см, ВС=4 см.

Задание 8. В тетраэдре SABC точки К и М – середины ребер АВ и SC соответственно. Найдите сторону тетраэдра, если длина отрезка, по которому пересекаются сечения тетраэдра плоскостями, проходящими через прямые и ВК и параллельными прямой АС, равна 4 см.

Задание 9. Докажите, что если прямая m параллельна прямой, по которой пересекаются две плоскости, и не лежит в этих плоскостях, то она параллельна этим плоскостям.

Задание 10. SABC – правильная треугольная пирамида. Четырехугольник DOKT – сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середины ребер AS, АС и параллельной прямой, на которой лежит медиана AF грани АВС. Найдите длину отрезка AD, если SB=12 см.


Скрещивающиеся прямые

Вариант 1

Задание 1. Используя рисунок, укажите прямую, скрещивающуюся с прямой АВ

12-34

1) DC; 2) TO; 3) OD; 4) OC.

Задание 2. Сколько прямых, содержащих ребра куба ABCDA1B1C1D1 скрещиваются с прямой АВ?

Задание 3. Через четыре точки, по две из которых лежат на скрещивающихся прямых, можно провести…

1) одну плоскость;

2) ни одной плоскости;

3) сколько угодно плоскостей.

Задание 4. Чему равен угол между прямыми АА1 и CС1 в правильной треугольной призме ABCA1B1C1?

Задание 5. На ребрах AA1 и CD куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р и Q - середины этих ребер. Найдите угол между прямой PQ и A1D.

Задание 6. Ребро куба ABCDAlBlClDl равно см. Найдите расстояние между прямой BlD и прямой D1C.

Задание 7. Сторона основания правильной треугольной призмы равна cм. Найдите косинус угла между прямыми, на которых лежат непересекающиеся диагонали двух смежных боковых граней призмы, если расстояния между этими прямыми равно 2 см.

Задание 8. На ребре СС1 правильной призмы ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р1 и Р2, такие, что СР1=Р1Р2=Р2С1. Считая АВ= см, а АА1=3АВ, найдите расстояние между прямыми В1С и DP1.

Задание 9. Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна 1. Найдите угол между прямыми DM и CL, где M - середина ребра BC, L- середина ребра AB.

Задание 10. На ребре DD1 куба ABCDA1B1C1D1 взята точка Q, такая, что DQ:DD1=2:3, а на диагонали А1В грани АВВ1А1 взята точка P - середина А1В. Считая ребро куба равным см, найдите расстояние между прямой DP и прямой С1A1.


Вариант 2

Задание 1. Используя рисунок, укажите прямую, скрещивающуюся с прямой АВ

10-3

1) DD1; 2) BB1; 3) D1C1; 4) A1B1.

Задание 2. Сколько прямых, содержащих ребра правильной треугольной призмы АВСА1В1С1, скрещиваются с прямой АВ?

Задание 3. Точки А, В, С и D не принадлежат одной плоскости. Тогда…

1) прямые АВ и СD параллельны;

2) прямые АВ и СD скрещиваются;

3) прямые АВ и СD пересекаются.

Задание 4. Чему равен угол между прямыми АС и В1С1 в кубе ABCDA1B1C1D1?

Задание 5. В правильной призме ABCDA1B1C1D1 угол между диагоналями BD1 и B1D равен 90O. Найдите угол, который образует прямая B1D с прямой АА1.

Задание 6. Все ребра прямой призмы АВСА1В1С1 равны см. На ребре АА1 взята точка Р - середина этого ребра. Найдите расстояние между прямой АВ1 и прямой СР.

Задание 7. SABC – тетраэдр. Точки F и К – середины его ребер АВ и АС соответственно. Найдите косинус угла между прямыми SF и ВК.

Задание 8. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB=АА1=10 см, AD=20 см. На ребре СС1 взята точка Р такая, что CP:CC1=1:3, а на ребре А1В1 взята точка V - середина этого ребра. Найдите расстояние между прямой В1С1 и прямой PV.

Задание 9. Сторона правильной треугольной призмы ABDA1B1C1 равна 8 см. Высота призмы равна 6 см. Найдите угол между прямыми СА1 и АВ1.

Задание 10. На ребре DD1 куба ABCDA1B1C1D1 взята точка Q, такая, что DQ:DD1=2:3, а на диагонали А1В грани АВВ1А1 взята точка P - середина А1В. Считая ребро куба равным см, найдите расстояние между прямой DP и прямой C1Q.


Вариант 3

Задание 1. Используя рисунок, укажите прямую, скрещивающуюся с прямой АВ

куб

1) D1C1; 2) BB1; 3) A1D1; 4) DC.

Задание 2. Сколько прямых, содержащих ребра треугольной пирамиды ТАВС (Т – вершина пирамиды), скрещиваются с прямой АС?

Задание 3. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые…

1) параллельны;

2) пересекаются;

3) скрещиваются.

Задание 4. Чему равен угол между прямыми АВ и В1С1 в правильной треугольной призме ABCA1B1C1?

Задание 5. На ребрах В1С1, АС и А1В1 прямой призмы, у которой АС=ВС=АА1 и АСВ=90О, взяты соответственно точки D и E – середины ребер В1С1 и АС. Найти угол между прямой DE и АС1.

Задание 6. На ребре C1D1 куба ABCDA1B1C1D1 взята точка R - середина этого ребра. Ребро куба равно 6 см. Найдите расстояние между прямой B1D1 и прямой DR.

Задание 7. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 все ребра равны 1. Найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВС1.

Задание 8. На ребре СС1 правильной призмы ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р1 и Р2, такие, что СР1=Р1Р2=Р2С1. Считая АВ= см, а АА1=3АВ, найдите расстояние между прямыми DC1 и В1Р1.

Задание 9. Точка Е – середина ребра СС1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми ВЕ и AD.

Задание 10. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB=АА1= см, AD= см. На ребрах СС1 и AD взяты соответственно точки Р и Q, такие, что CP:CC1=AQ:AD=1:3. Найдите расстояние между прямой В1С1 и прямой PQ.


Вариант 4

Задание 1. Используя рисунок, укажите прямую, скрещивающуюся с прямой АВ

10-5

1) BC; 2) A1B1; 3) BB1; 4) CC1.

Задание 2. Сколько прямых, содержащих ребра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 скрещиваются с прямой ВВ1?

Задание 3. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит…

1) только одна плоскость, перпендикулярная второй прямой;

2) только одна плоскость, параллельная второй прямой;

3) несколько плоскостей, параллельных второй прямой.

Задание 4. Чему равен угол между прямыми АВ и В1С1 в кубе ABCDA1B1C1D1?

Задание 5. На ребрах B1C1, АС и А1В1 прямой призмы АВСА1В1С1, у которой АС=ВС=АА1 и АСВ=90О, взяты точки Р и Q - середины ребер АС и ВС. Найдите угол, который образует прямая АС1 с прямой PQ.

Задание 6. Все ребра прямой призмы АВСА1В1С1 равны см. Найдите расстояние между прямой АВ1 и прямой ВС.

Задание 7. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между прямыми SB и AD.

Задание 8. Высота МО правильной пирамиды MABCD равна стороне ее основания и равна см. На ребре МС взяты точки Р1, Р2 и Р3, такие, что СР1=Р1Р2=Р2Р3=Р3М. Найдите расстояние между прямой АС и прямой DP2.

Задание 9. На ребре СС1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечена точка Е так, что СЕ:ЕС1=1:2. Найдите угол между прямыми ВЕ и АС1.

Задание 10. На ребре DD1 куба ABCDA1B1C1D1 взята точка Q, такая, что DQ:DD1=2:3, а на диагонали А1В грани АВВ1А1 взята точка P - середина А1В. Считая ребро куба равным см, найдите расстояние между прямой DP и прямой C1D1.


Вариант 5

Задание 1. Используя рисунок, укажите прямую, скрещивающуюся с прямой АВ

10-1

1) A1B1; 2) CC1; 3) ED; 4) BC.

Задание 2. Сколько прямых, содержащих ребра прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 скрещиваются с прямой ВС?

Задание 3. Две скрещивающиеся прямые пересечены третьей. Сколько плоскостей можно провести через каждые две из данных трех прямых…

1) ни одной;

2) две;

3) три.

Задание 4. Чему равен угол между прямыми АС и В1D1 в кубе ABCDA1B1C1D1?

Задание 5. В правильной призме ABCDA1B1C1D1 угол между диагоналями BD1 и B1D равен 90О. Найти угол, который образует прямая B1D с прямой А1С1.

Задание 6. На ребре АВ куба ABCDA1B1C1D1 взята точка Р - середина этого ребра. Ребро куба равно 4 см. Найдите расстояние между прямой B1D1 и прямой DP.

Задание 7. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды SABC равно 10, а косинус угла ASB при вершине боковой грани равен . Точка М – середина ребра SC. Найдите косинус угла между прямыми ВМ и SA.

Задание 8. На ребре СС1 правильной призмы ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р1 и Р2, такие, что СР1=Р1Р2=Р2С1. Считая АВ= см, а АА1=3АВ, найдите расстояние между прямыми В1С и DP2.

Задание 9. В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между высотой тетраэдра DH и медианой ВМ боковой грани BCD.

Задание 10. Высота МО правильной пирамиды MABCD равна стороне ее основания и равна см. На ребре МС взяты точки Р1, Р2 и Р3, такие, что СР1=Р1Р2=Р2Р3=Р3М. Найдите расстояние между прямой АС и прямой DP1.


Параллельность плоскостей

Вариант 1

Задание 1. Используя рисунок, укажите плоскость, параллельную  плоскости (АВС)…

10-5

1) (ABB1); 2) (A1C1C); 3) (A1B1C1); 4) (BCC1).

Задание 2. Сколько пар параллельных плоскостей у куба?

Задание 3. Если две плоскости параллельны одной прямой, то они…

1) обязательно параллельны;

2) могут быть параллельными;

3) могут пересекаться;

4) обязательно пересекаются.

Задание 4. Сторона АВ треугольника АВС лежит в плоскости β. Через середину отрезка АС – точку Р проведена плоскость α, параллельная плоскости β и пересекающая ВС в точке Е. Найдите АВ, если РЕ=7 см.

Задание 5. Параллельные плоскости и пересекают сторону АВ угла АВС соответственно в точках А1 и А2, а сторону АС этого угла – соответственно в точках В1 и В2. Найдите АА2, если А1А2=2А1А, А1А2=12 см, АВ1=5 см.

Задание 6. Концы отрезка АВ лежат на двух параллельных плоскостях, расстояние между которыми 5 см. Найдите длину проекции отрезка АВ на плоскости, если АВ=13 см.

Задание 7. Через точку К проведены две прямые а и b, пересекающие две параллельные плоскости α и β: первую в точках А1 и В1, вторую в точках А2 и В2 соответственно. Вычислите длину отрезка КА1, если А1А2:В1В2=3:4, А1В1=7 см, КА2=12 см, а плоскости лежат по одну сторону от точки К.

Задание 8. Противолежащие стороны квадрата ABCD лежат в параллельных плоскостях. Расстояние между плоскостями 3 см. Найдите периметр квадрата, если его плоскость составляет с плоскостями угол в 30О.

Задание 9. Четырехугольник ОТЕК – сечение правильной четырехугольной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точку О (SO:OA=2:3) и параллельной плоскости SDC. Вычислите периметр сечения, если CD=30 см, SD=25 см.

Задание 10. На ребрах В1С1 и C1D1 куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р и Q - середины этих ребер. Через точку О - центр грани ABCD - и прямую PQ проведена секущая плоскость. Найдите площадь сечения куба плоскостью, параллельной плоскости OPQ и проходящей через точку D1, если ребро куба равно 8 см.

Вариант 2

Задание 1. Используя рисунок, укажите плоскость, параллельную  плоскости (АВС)…

10-3

1) (DCC1); 2) (BB1A1); 3) (D1C1B1); 4) (DBC).

Задание 2. Сколько пар параллельных плоскостей у правильной пятиугольной призмы?

Задание 3. Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она…

1) обязательно пересекает другую плоскость;

2) может не пересекать другую плоскость;

3) может пересекать обе плоскости в разных точках;

4) может быть параллельной плоскостям.

Задание 4. Сторона АС треугольника АВС лежит в плоскости α. Через середину ВА – точку N проведена плоскость, параллельная плоскости α и пересекающая ВС в точке К. Найдите NК, если АС=20 см.

Задание 5. Параллельные плоскости пересекают сторону АВ угла АВС в точках А1 и А2, а сторону АС этого угла – соответственно в точках В1 и В2. Найдите АВ2, если А1А2=2А1А, А1А2=12 см, АВ1=5 см.

Задание 6. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно 9 см. Прямая k пересекает плоскости в точках А и В под углом в 30О. Найдите длину отрезка АВ.

Задание 7. Точка К лежит между параллельными плоскостями α и β. Прямые а и b, проходящие через точку К, пересекают плоскость α в точках А1 и В1, а плоскость β в точках А2 и В2 соответственно. Найдите длину отрезка КВ1, если А1К:А1А2=1:3, В1В2=15 см.

Задание 8. Дан треугольник АВС, у которого АВ=8 см, ВС=9 см и АС=13 см. Вершина А треугольника находится в плоскости , а сторона ВС лежит в параллельной ей плоскости. Через вершину В и середину стороны АС проведена прямая, пересекающая плоскость в точке D. Найдите длину отрезка ВD.

Задание 9. В пирамиде DABC сечение, параллельное основанию, делит боковое ребро в отношении 2:3 (считая от вершины). Найдите площадь сечения, если его площадь на 84 см2 меньше площади основания.

Задание 10. На стороне АС основания пирамиды МАВС взята точка Р – середина этого ребра. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку Р параллельно плоскости МВС, если в основании пирамиды лежит треугольник с прямым углом при вершине С, AC=BC:2=5 см, боковое ребро МС перпендикулярно плоскости основания и MC=4 см.

Вариант 3

Задание 1. Используя рисунок, укажите плоскость, параллельную  плоскости (АВС)…

D:\Математика\рисунки\2.PNG

1) (CC1A1); 2) (AA1B1); 3) (BCC1); 4) (A1B1C1).

Задание 2. Сколько пар параллельных плоскостей у правильной шестиугольной призмы?

Задание 3. Две плоскости параллельны, если …

1) одна из них параллельна какой-либо прямой другой плоскости;

2) параллельна двум пересекающимся прямым другой плоскости;

3) параллельна двум параллельным прямым другой плоскости;

4) они не имеют общих точек.

Задание 4. Сторона AD трапеции ABCD лежит в плоскости α. Через середину стороны АВ – точку М проведена плоскость β, параллельная плоскости α и пересекающая CD в точке N. Найдите длину отрезка AD, если MN=8 см, а ВС=6 см.

Задание 5. Параллельные плоскости пересекают сторону АВ угла АВС в точках А1 и А2, а сторону АС этого угла – соответственно в точках В1 и В2. Найдите длину отрезка А2В2, если А1В1=18 см, АА1=24 см, АА2=1,5А1А2.

Задание 6. Отрезок АВ длиной 8 см лежит в плоскости α. Расстояние от точки В до плоскости β, параллельной плоскости α равно 9 см. Найдите длину отрезка АС, где точка С – точка пересечения плоскости β и перпендикуляра, проведенного к этой плоскости из точки В.

Задание 7. Через точку К проведены две прямые а и b, пересекающие две параллельные плоскости α и β: первую в точках А1 и В1, вторую в точках А2 и В2 соответственно. Вычислите длину отрезка КА1, если А1А2:В1В2=3:4, А1В1=7 см, КА2=12 см, а точка К лежит между плоскостями.

Задание 8. Даны параллельные плоскости α и β. Точки A и B находятся в плоскости β, а точки C и D в плоскости α. Длина отрезка AC=7, длина отрезка BD=9. Сумма проекций этих отрезков в плоскости α равна 8. Найдите длину проекции отрезка АС на плоскость α.

Задание 9. В треугольной пирамиде DABC сечение, параллельное плоскости АВС, делит боковое ребро в отношении 1:3 (считая от вершины). Вычислите площадь сечения, если площадь треугольника АВC равна 32 см2.

Задание 10. Точка О делит ребро A1D1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 в отношении 2:3 (А1О:OD1=3:2). Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку О и параллельной плоскости АВ1С, если площадь треугольника АВ1С равна 50 см2.

Вариант 4

Задание 1. Используя рисунок, укажите плоскость, параллельную  плоскости (АВС)…

10-1

1) (EDD1); 2) (C1D1E1); 3) (EE1A1); 4) (DCC1).

Задание 2. Сколько пар параллельных плоскостей у прямой треугольной призмы?

Задание 3. Если две параллельные плоскости пересечены параллельными отрезками, то отрезки, заключенные между плоскостями…

1) равны; 2) скрещиваются; 3) параллельны; 4) перпендикулярны.

Задание 4. Сторона AD трапеции ABCD лежит в плоскости α. Через середину стороны АВ – точку Р проведена плоскость β, параллельная плоскости α и пересекающая CD в точке R. Найдите длину отрезка PR, если AD=8 см, а ВС=6 см.

Задание 5. Параллельные плоскости α и β пересекают стороны угла АВС в точках А1, С1, А2 и С2 соответственно. Найдите длину отрезка ВС1, если А1В:А1А2=1:3, ВС2=24 см.

Задание 6. Параллельные прямые АС и BD пересекают плоскость соответственно в точках А и В. Точки С и D лежат по одну сторону от плоскости. Прямая СD пересекает плоскость в точке Е. Найдите длину отрезка ВЕ, если АС=8 см, АВ=4 см, BD=6 см.

Задание 7. Через точку К проведены две прямые а и b, пересекающие две параллельные плоскости α и β: первую в точках А1 и В1, вторую в точках А2 и В2 соответственно. Вычислите КВ2, если А1А2:В1В2=3:4, А1В1=7 см, КА2=12 см, а плоскости лежат по одну сторону от точки К.

Задание 8. Из точки А, лежащей в плоскости, параллельной плоскости , к плоскости проведены две наклонные, равные 23 см и 33 см. Найдите расстояние между плоскостями, если проекции наклонных относятся как 2:3.

Задание 9. Треугольник ТКО – сечение правильной треугольной пирамиды DABC, проходящей через точку О (ВО:ОА=1:2) и параллельной плоскости DBC. Найдите периметр треугольника ТКО, если длина стороны основания пирамиды равна 3 см, а длина бокового ребра – 9 см.

Задание 10. На сторонах АВ и АС основания пирамиды МАВС взяты соответственно точки N и Р - середины этих ребер. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку Р параллельно плоскости MCN, если в основании пирамиды лежит треугольник с прямым углом при вершине С, AC=BC:2=8 см, боковое ребро МС перпендикулярно плоскости основания и MC= см. 

Вариант 5

Задание 1. Используя рисунок, укажите плоскость, параллельную  плоскости (АВС)…

куб

1) (A1D1C1); 2) (DBC); 3) (BCC1); 4) (DCC1).

Задание 2. Сколько пар параллельны плоскостей у усеченной пирамиды?

Задание 3. Если прямая лежит в одной из двух параллельных плоскостей, то…

1) она перпендикулярна второй плоскости;

2) она пересекает вторую плоскость;

3) она параллельна второй плоскости;

4) она параллельна какой-то прямой второй плоскости.

Задание 4. Диагональ АС прямоугольника ABCD лежит в плоскости α. Через середину стороны АВ – точку К проведена плоскость β, параллельная плоскости α и пересекающая ВС в точке М. Найдите длину отрезка АВ, если КМ=2,5 см, а ВС=4 см.

Задание 5. Параллельные плоскости α и β пересекают стороны угла АВС в точках А1, С1, А2 и С2 соответственно. Найдите длину отрезка ВС2, если А1В:А1А2=1:3, ВС1=3 см.

Задание 6. Даны две параллельные плоскости. Через точки А и В одной из плоскостей проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А1 и В1. Чему равна длина отрезка А1В1, если АВ=17 см?

Задание 7. На параллельных плоскостях α и β выбрано по паре точек А1, А2, В1 и В2 так, что прямые А1В1 и А2В2 пересекаются в точке К. Найдите длину отрезка КА1, если А1В1=16 см, КА2=2 см, КВ2:КА2=3.

Задание 8. Основания равнобокой трапеции ABCD лежат в параллельных плоскостях (АВ||CD). Найдите высоту трапеции, если расстояние между плоскостями равно 3 см, АВ=8 см, CD=2 см, а длина проекции боковой стороны на плоскость 5 см.

Задание 9. SABCD – правильная четырехугольная пирамида, а угол при вершине S грани DSC равен 60О. Через точку О, взятую на ребре AD, проведено сечение плоскостью, параллельной грани SDC. Найдите периметр этого сечения, если длина его диагонали равна 7 см, а АО=3 см.

Задание 10. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка М – середина ребра АА1. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости AB1D1, если площадь треугольника AB1D1 равна 56 см2.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Вариант 1

Задание 1. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Укажите плоскость, перпендикулярную прямой АВ

D:\моя\Конкурс-2012\Геометрия 10\03. Перпендикулярность\куб.jpg

1) (CBB1); 2) (ABC); 3) (CC1B1); 4) (A1B1C1).

Задание 2. Точки А, М и О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, В, С и D лежат в плоскости α. Какие из углов не являются прямыми…

1) АОВ; 2) МОС; 3) DAM; 4) DOA.

Задание 3. Отрезок АМ перпендикулярен плоскости квадрата ABCD. Найдите длину отрезка МВ, если АВ=3 см, АМ=4 см.

Задание 4. Укажите верное утверждение…

1) Если mb и mc, то cm;

2) Если mb и bc, то cm;

3) Если mb и mc, то cm.

Задание 5. Отрезок АВ не имеет общих точек с плоскостью α. Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости α и пересекающие ее в точках А1 и В1. Вычислите длину отрезка А1В1, если АВ=13 см, АА1=12 см и ВВ1=24 см.

Задание 6. В прямоугольнике ABCD АВ=3 см, AD=4 см. К плоскости прямоугольника проведенные перпендикулярные отрезки ВВ1 и СС1 так, что отрезок В1С1 не пересекает плоскость прямоугольника. Найдите длину отрезка В1С1, если АС1= см, B1D= см.

Задание 7. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, а прямая МО перпендикулярна плоскости данного параллелограмма. Вычислите длину высоты параллелограмма, проведенной к меньшей его стороне, если длины сторон параллелограмма равны 20 см и 50 см, а расстояния от точки М до сторон параллелограмма равны 17 и 25 см.

Задание 8. В правильной треугольной пирамиде с основанием боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 6. Найдите расстояние от вершины до плоскости .

Задание 9. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=12 и BC=. Длины боковых рёбер пирамиды SA=5, SB=13, SD=10. Докажите, что SA - высота пирамиды.

Задание 10. В правильной треугольной пирамиде SABC из точки D, делящей ребро АС на отрезки AD=15 см и DC=10 см, проведен перпендикуляр к грани SAB. Найдите длину этого перпендикуляра.


Вариант 2

Задание 1. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите плоскость, перпендикулярную прямой А1B1

D:\моя\Конкурс-2012\Геометрия 10\03. Перпендикулярность\пар1.jpg

1) (ADC); 2) (ADD1); 3) (ABB1); 4) (A1D1C1).

Задание 2. Отрезок АВ перпендикулярен плоскости α и пересекает отрезок CD в точке О. Определите вид фигуры ACBD, если ОА=ОВ и СО=OD

1) трапеция; 2) прямоугольник; 3) квадрат; 4) ромб.

Задание 3. Отрезок КС перпендикулярен плоскости квадрата ABCD. Найдите длину отрезка КС, если АВ=3 см, DK=5 см.

Задание 4. Укажите верное утверждение…

1) Если ad и ac, то dc;

2) Если ad и ac, то dc;

3) Если ad и ac, то ac.

Задание 5. Отрезок АВ пересекает плоскость α в точке О. Прямые AD и ВС, перпендикулярные этой плоскости, пересекают ее в точках D и С соответственно. Найдите длину отрезка АВ, если AD=12 см, ВС=4 см, ОС=3 см.

Задание 6. Дан прямоугольник ABCD, у которого АВ=9 см, AD=12 см. К плоскости прямоугольника проведены в перпендикуляры ВВ1 и СС1. Определите длину отрезка В1С1, если АС1=39 см, 1=25 см.

Задание 7. Через вершину А прямоугольника ABCD проведен отрезок АК, перпендикулярный его плоскости. Расстояния от точки К до других вершин прямоугольника равны 6 м, 7 м и 9 м. Найдите длину отрезка АК.

Задание 8. В основании прямой треугольной призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой , высота призмы равна . Найдите расстояние от точки до плоскости , где - середина ребра .

Задание 9. В правильной четырёхугольной пирамиде . На рёбрах , , взяты точки , , соответственно так, что . Докажите, что плоскость перпендикулярна .

Задание 10. Боковое ребро SB треугольной пирамиды SABC перпендикулярно плоскости ее основания. Вычислите длину этого ребра, если АВ=9 см, ВС=16 см и SC:SA=4:3.


Вариант 3

Задание 1. Дана прямая призма ABCDЕA1B1C1D1Е1. Укажите плоскость, перпендикулярную прямой EE1

D:\моя\Конкурс-2012\Геометрия 10\03. Перпендикулярность\ghbpvf5.jpg

1) (BCC1); 2) (EDC); 3) (ABB1); 4) (B1C1D1).

Задание 2. Отрезок АМ перпендикулярен плоскости параллелограмма ABCD. Какие из углов являются прямыми…

1) АМВ; 2) BCD; 3) MAC; 4) MDA.

Задание 3. Отрезок КА перпендикулярен плоскости прямоугольника ABCD. Найдите длину отрезка АВ, если ВК=10 см, КА=6 см.

Задание 4. Укажите верное утверждение…

1) Если ab и ad, то bd;

2) Если ab и ad, то bd;

3) Если ab и ad, то ad.

Задание 5. Отрезок АВ пересекает плоскость α в точке О. Прямые AD и ВС, перпендикулярные этой плоскости, пересекают ее в точках D и С соответственно. Найдите длину отрезка AC, если =15 см, ВО=5 см, ОD=3 см.

Задание 6. Через вершину В тупого угла параллелограмма ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная его плоскости. Вычислите длину большей стороны параллелограмма, если АМ=3 см, MD=МС=5 см, АС=2 см.

Задание 7. Через вершину квадрата ABCD проведена прямая ВМ. МВА=МВС=90О, МВ=4 см, АВ=3 см. Найдите расстояние от точки М до точки А.

Задание 8. Расстояние между боковыми ребрами и прямой треугольной призмы равно 5, а расстояние между боковыми ребрами и равно 8. Найдите расстояние от прямой до плоскости , если двугранный угол призмы при ребре равен .

Задание 9. В треугольной пирамиде основание . Основанием высоты пирамиды является точка . . Докажите, что треугольник прямоугольный.

Задание 10. Основание пирамиды SABCD – квадрат. Боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания и равно стороне основания. Вычислите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра SC и перпендикулярной ребру ВС, если АВ= 4 см.


Вариант 4

Задание 1. Дана прямая призма ABCA1B1C1. Укажите плоскость, перпендикулярную прямой АA1

D:\моя\Конкурс-2012\Геометрия 10\03. Перпендикулярность\призма.jpg

1) (AA1B); 2) (ABC); 3) (BB1C); 4) (B1C1A1).

Задание 2. Катет АВ прямоугольного треугольника АВС лежит в плоскости α. СС1 – перпендикуляр к плоскости α. Какие из углов являются прямыми…

1) СС1А; 2) АВС; 3) СВС1; 4) СС1А.

Задание 3. Отрезок АК перпендикулярен плоскости квадрата ABCD. Найдите длину отрезка КD, если АВ=АК=3 см.

Задание 4. Укажите верное утверждение…

1) Если fd и fm, то dm;

2) Если fd и dm, то md;

3) Если fd и fm, то dm.

Задание 5. На прямых а и b, перпендикулярных к плоскости α и пересекающих ее в точках А и В, взяты точки С и D так, что СА=9 см, DB=15 см. Вычислите длину отрезка CD, если АВ=8 см.

Задание 6. К плоскости ромба ABCD, в котором угол А=45О, АВ=8 см, проведен перпендикуляр CF, равный 7 см. Найдите расстояние от точки F до стороны ромба AD.

Задание 7. Прямая CD перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС. АВ=16 см, CD=16 см. Найдите расстояние от точки D до точки А.

Задание 8SABCD – правильная четырехугольная пирамида, длина каждого ребра которой равна 2 см. Вычислите расстояние от точки О пересечения диагоналей основания до плоскости, проходящей через прямую DC и середину F ребра SA.

Задание 9. SABC – правильная треугольная пирамида, точка О – середина ребра ВС. Докажите, что прямая ВС перпендикулярна плоскости SAO.

Задание 10. На ребре C1D1 куба ABCA1B1C1D1 взята точка Р – середина этого ребра, длина ребра 5 см. Через точки В, D и Р проведено сечение. Найдите расстояние от точки А1 до секущей плоскости.

 


Вариант 5

Задание 1. Дана прямая призма ABCA1B1C1. Укажите плоскость, перпендикулярную прямой ВB1

D:\моя\Конкурс-2012\Геометрия 10\03. Перпендикулярность\призма.jpg

1) (ABC); 2) (CC1A1); 3) (A1B1C1); 4) (ABB1).

Задание 2. Отрезок АК перпендикулярен плоскости треугольника АВС. Какие из углов являются прямыми…

1) АСК; 2) АВК; 3) КАС; 4) СВК.

Задание 3. Отрезок ВК перпендикулярен плоскости прямоугольного треугольника АВС с прямым углом В. Найдите длину отрезка АВ, если КВ=16 см, АК=15 см.

Задание 4. Укажите верное утверждение…

1) Если ab и ac, то ca;

2) Если ab и ac, то ca;

3) Если ab и bc, то ca.

Задание 5. Через точки P и Q прямой РQ проведены две прямые, перпендикулярные к плоскости α и пересекающие ее соответственно в точках P1 и Q1. Найдите P1Q1, если PQ=5 см, PP1=11 см, QQ1=14 см.

Задание 6. Диагонали ромба ABCD равны 30 см и 40 см. Из вершины А проведен к плоскости ромба перпендикуляр АК. Найдите расстояние от точки К до стороны АВ, если АшК=10 см.

Задание 7. В треугольнике АВС С=90О, АС=6 см, ВС=8 см, СМ – медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК=12 см. Найдите КМ.

Задание 8. Основанием прямой призмы является ромб , у которого , . Высота призмы равна 6. Найдите расстояние от центра грани до плоскости .

Задание 9. Точка О лежит на высоте СК треугольника АВС. Прямая ОТ перпендикулярна плоскости АВС. Докажите, что плоскость α, проходящая через прямые КС и ОТ, перпендикулярна прямой АВ.

Задание 10. В правильной треугольной пирамиде SABC боковые ребра взаимно перпендикулярны. Через точку О, взятую на ребре АС, построено сечение пирамиды, перпендикулярное прямой SC. Найдите длину бокового ребра пирамиды, если площадь сечения равна 32 см2, а SO=10 см.


Угол между прямой и плоскостью

Вариант 1

Задание 1. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Укажите угол между диагональю В1D и гранью ABCD

D:\Математика\тесты\10 класс\3. Перпендикулярность\33.jpg

1) В1; 2) В1; 3) В1DВ.

Задание 2. АВСА1В1С1 - правильная треугольная призма. Чему равен угол между прямой СС1 и плоскостью грани ВСС1В1

15-1

1) 0О; 2) 45О; 3) 60О; 4) 90О.

Задание 3. SABCD – правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны между собой. Чему равен угол между плоскостью основания и боковым ребром пирамиды?

Задание 4. SABCD – правильная четырехугольная пирамида. Найдите угол между ребром SA и основанием призмы, если все ребра призмы равны.

Задание 5. Точки А и В лежат по разные стороны от плоскости α. Угол между прямой АВ и плоскостью составляет 45О. Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если расстояние от точки А до плоскости равно 3 см, а расстояние от проекции точки В на плоскость α в два раза больше расстояния от проекции точки А на плоскость α.

Задание 6. Высота МО правильной пирамиды МАВС равна стороне ее основания. Найдите угол, который образует прямая МС с плоскостью АВС.

Задание 7. . Из точки О к плоскости проведены равные наклонные ОА и ОВ, угол между которыми равен 60О, а угол между их проекциями на плоскость равен 90О. Найдите углы между наклонными и плоскостью.

Задание 8. В основании пирамиды SABCD лежит квадрат. Боковая грань SAB перпендикулярна плоскости основания и является правильным треугольником. На ребре SB взята точка М – середина этого ребра. Найдите угол между прямой АС и плоскостью основания.

Задание 9. В правильном тетраэдре найдите угол между медианой грани и плоскостью .

Задание 10. В правильной треугольной пирамиде с основанием , . Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер и .


Вариант 2

Задание 1. Прямая МА перпендикулярна плоскости АВС. Укажите угол между прямой МК и плоскостью АВС

3-9

1) МКА; 2) МСА; 3) МАК.

Задание 2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Чему равен угол между прямой А1В1 и плоскостью ABCD

D:\Математика\тесты\10 класс\3. Перпендикулярность\33.jpg

1) 0О; 2) 45О; 3) 60О; 4) 90О.

Задание 3. ABCDA1B1C1D1 – куб. Чему равен угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания?

Задание 4. Найдите угол между плоскостями, если точка, взятая на одной из них, отстоит от прямой пересечения плоскостей вдвое дальше, чем от второй плоскости.

Задание 5. Угол между прямой АВ и плоскостью α составляет 30О. Точки А и В лежат по одну сторону от плоскости α. Найдите расстояние от точки А до плоскости α, если расстояние от точки В до плоскости равно 7 см, а расстояние между точками А и В – 8 см.

Задание 6. Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости α, а катет наклонен к этой плоскости под углом 30О. Найдите угол между плоскостью α и плоскостью треугольника.

Задание 7. Из точки проведены к плоскости две наклонные, образующие с ней углы 45О и 60О. Вычислите длину меньшей наклонной, если расстояние между основаниями наклонных равно 1 см, а градусная мера угла между их проекциями на плоскость равна 30О.

Задание 8. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине пирамиды равен 60О. Вычислите угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости основания.

Задание 9. Длины всех ребер правильной четырёхугольной пирамиды с вершиной равны между собой. Найдите угол между прямой и плоскостью , если точка M - середина бокового ребра .

Задание 10. В правильной треугольной пирамиде с основанием , . Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер и .


Вариант 3

Задание 1. Дана треугольная пирамида МВАР. Укажите угол между прямой МC и плоскостью АВР

3-1

1) МCР; 2) MCB; 3) MCA.

Задание 2. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед. Чему равен угол между прямой AD и гранью АВВ1А1

пар1

1) 0О; 2) 30О; 3) 45О; 4) 90О.

Задание 3. ABCDA1B1C1D1 – прямая призма, в основании которой лежит ромб. Чему равен угол между большей диагональю ромба и плоскостью боковой грани призмы?

Задание 4. Точка А находится на расстоянии 3 см от плоскости α. Найдите угол между прямой АС и плоскостью α, если точка С лежит в плоскости, а расстояние от точки С до основания перпендикуляра из точки А равно 3 см.

Задание 5. Точки А и В лежат по разные стороны от плоскости. Найдите расстояние между проекциями точек на плоскость, если АВ=16 см, а расстояния от точек до плоскости - 4 см.

Задание 6. Диагональ правильной четырехугольной призмы составляет с боковой гранью угол в 30О. Вычислите длину бокового ребра призмы, если длина стороны основания равна см.

Задание 7. Из точки А, удаленной от плоскости на расстояние 4 см, проведены к этой плоскости наклонные АВ и АС под углом 30О к плоскости. Их проекции на плоскость образуют угол в 120О. Найдите ВС.

Задание 8. На ребре AD куба ABCDA1B1C1D1 взята точка Q - середина этого ребра. Найдите угол, который образует с плоскостью BC1Q прямая CD1

Задание 9. В прямоугольном параллелепипеде , . Найдите угол между прямой и плоскостью .

Задание 10. В прямоугольном параллелепипеде , , . Найдите угол между плоскостью и прямой , проходящей через середины рёбер и .


Вариант 4

Задание 1. Дана правильная четырехугольная пирамида TABCD. Укажите угол между прямой ТА и плоскостью основания…

12-3

1) ТОА; 2) TFO; 3) TAO.

Задание 2. ABCDFEA1B1C1D1E1F1 – правильная шестиугольная призма. Чему равен угол между прямой ВС и плоскостью грани АВВ1А1

6пр

1) 0О; 2) 30О; 3) 90О; 4) 60О.

Задание 3. ABCDA1B1C1D1 – правильная усеченная пирамида. Чему равен угол между диагональю верхнего основания и плоскостью нижнего основания?

Задание 4. Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30О. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.

Задание 5. Точки А и В лежат по разные стороны от плоскости α. Угол между прямой АВ и плоскостью составляет 30О. Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если расстояние от точки А до плоскости равно 4 см, длина отрезка АВ – 14 см.

Задание 6. Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к боковой грани под углом 30О. Найдите угол ее наклона к плоскости основания.

Задание 7. Из точки О к плоскости проведены три равные наклонные ОА=ОВ=ОС=10 см, образующие между собой попарно равные углы. Вычислите длину отрезка АС, если наклонная ОС образует с плоскостью угол 30О.

Задание 8. На ребрах куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р и Q – середины этих ребер. Найдите угол, который образует с диагональной плоскостью АА1С1С прямая C1D.

Задание 9. В прямоугольном параллелепипеде найдите угол между плоскостью и прямой , если , , .

Задание 10. В прямоугольном параллелепипеде найдите угол между плоскостью и прямой , если , , .


Вариант 5

Задание 1. Дана прямая треугольная призма АВСА1В1С1. Укажите угол между прямой АС и плоскостью грани ВСС1В1

15-1

1) АСС1; 2) АСВ; 3) АСВ1.

Задание 2. TABCD – правильная четырехугольная пирамида. Чему равен угол между прямой ТО и плоскостью основания…

12-34

1) 0О; 2) 45О; 3) 60О; 4) 90О.

Задание 3. АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма. Чему равен угол между стороной основания и прилежащей боковой гранью?

Задание 4. Точка Т находится на расстоянии 4 см от каждой из вершин квадрата ABCD. Найдите угол между прямой ВТ и плоскостью квадрата, если AD=4 см.

Задание 5. Угол между прямой АВ и плоскостью α составляет 60О. Точки А и В лежат по одну сторону от плоскости α. Найдите расстояние между проекциями точек А и В на плоскость α,

Задание 6. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45О. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Задание 7. Из точки С к плоскости проведены наклонные СА и СВ, перпендикулярные между собой и образующие с плоскостью углы 30О и 45О. Определите градусную меру угла, образованного с плоскостью перпендикуляром, проведенным из точки С к прямой АВ.

Задание 8. Диагональ А1С правильной призмы ABCDA1B1C1D1 образует с плоскостью основания угол, равный 45О. Найдите угол между прямой А1С и плоскостью ADD1.

Задание 9. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник , , . Высота призмы равна 3. Найдите угол между прямой и плоскостью .

Задание 10. В прямоугольном параллелепипеде , . Найдите угол между прямой и плоскостью .


Перпендикуляр и наклонная

Вариант 1

Задание 1. ABCD – квадрат. Отрезок МВ перпендикулярен плоскости ABCD. Расстояние от точки М до прямой CD – это…

D:\Математика\тесты\10 класс\Рисунок4.jpg

1) МК; 2) МС; 3) MD.

Задание 2. Треугольник АВС – прямоугольный. Чему равна длина стороны АC

D:\Математика\тесты\10 класс\08. Перпендикуляр и наклонная\1.jpg

1) АВsin; 2) АВcos; 3) СBsinα.

Задание 3. Чему равна длина наклонной, если ее проекция на плоскость равна 4 см, а перпендикуляр равен 3 см?

Задание 4. Чему равна проекция наклонной длинной 12 см, если угол между наклонной и ее проекцией на плоскость 60О?

Задание 5. Прямая CD перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС. АВ= см, CD=16 см. Найдите расстояние от точки D до точки А.

Задание 6. Стороны треугольника равны 15, 37 и 44 см. Из вершины большего угла треугольника проведен к его плоскости перпендикуляр, равный 16 см. Найти расстояние от его концов до большей стороны.

Задание 7. Из точки А, не лежащей в плоскости , проведены к этой плоскости перпендикуляр АО и две наклонные АВ и АС. ОАВ=ВАС=60О, АО=1,5 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

Задание 8. Из точки М к плоскости проведены две наклонные, длины которых 18 см и 2 см. Их проекции на эту плоскость относятся как 3:4. Найдите расстояние от точки М до плоскости.

Задание 9. Из точки О к плоскости проведены три равные наклонные ОА=ОВ=ОС=10 см, образующие между собой попарно равные углы. Вычислите длину отрезка АС, если наклонная ОС образует с плоскостью угол 30о.

Задание 10. Стороны треугольника относятся как 9:10:11. Определите периметр треугольника, если известно, что некоторая точка М удалена от плоскости треугольника на 7 см, а от каждой его стороны на 9 см.


Вариант 2

Задание 1. В треугольнике АВС АС=СВ. Отрезок МС перпендикулярен плоскости АВС. Расстояние от точки М до прямой АВ – это…

D:\Математика\тесты\10 класс\Рисунок3.jpg

1) МА; 2) МВ; 3) МК.

Задание 2. Треугольник АВС – прямоугольный. Чему равна длина стороны ВС

D:\Математика\тесты\10 класс\08. Перпендикуляр и наклонная\3.jpg

1) ; 2) АB2-AС2; 3) .

Задание 3. Из точки А, данной на расстоянии 6 см от плоскости, проведена наклонная длиной 10 см. Чему равна ее проекция на плоскость?

Задание 4. Угол между наклонной и ее проекцией 45О. Чему равна длина проекции, если длина перпендикуляра равна 8 см?

Задание 5. Отрезок ОК перпендикулярен плоскости квадрата ABCD, где точка О – точка пересечения диагоналей. Найдите длину отрезка КС, если ОК=8 см, АВ= см.

Задание 6. Отрезок СО длиной 3 см лежит вне плоскости прямоугольного треугольника АСВ и перпендикулярен его катетам АС и ВС. Вычислите расстояние от точки О до середины К гипотенузы, если АС=6 см, ВС=8 см.

Задание 7. Из точки К, удаленной от плоскости на 9 см, проведены к плоскости наклонные KL и КМ, образующие между собой прямой угол, а с плоскостью - углы в 45О и 30О соответственно. Найдите длину отрезка LM.

Задание 8. Из точки М к плоскости проведены две наклонные, длины которых 10 см и см. Их проекции на эту плоскость относятся как 2:3. Найдите расстояние от точки М до плоскости.

Задание 9. Из точки О к плоскости проведены равные наклонные ОА и ОВ, угол между которыми равен 60О, а угол между их проекциями на плоскость равен 90О. Найдите углы между наклонными и плоскостью.

Задание 10. На плоскости дан угол, равный 60О. Точка М удалена от каждой стороны угла на 7 см, а от его вершины на 13 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости .

 

Вариант 3

Задание 1. АК – перпендикуляр, проведенный к плоскости треугольника АВС. Угол А=90О. АМ – высота треугольника АВС. Расстояние от точки К до прямой АВ – это…

D:\моя\Конкурс-2012\Перпендикуляр и наклонная\7.gif

1) КВ; 2) КМ; 3) КС.

Задание 2. Треугольник АВС – прямоугольный. Чему равна длина стороны ВС

D:\Математика\тесты\10 класс\08. Перпендикуляр и наклонная\1.jpg

1) АСsin; 2) АСcos; 3) АСtgα.

Задание 3. Чему равно расстояние от точки В до плоскости, если длина наклонной, проведенной из этой точки к плоскости равна 10 см, а длина проекции – 8 см?

Задание 4. Угол между перпендикуляром и наклонной составляет 30О. Чему равна длина проекции, если длина наклонной 14 см?

Задание 5. Отрезок КO перпендикулярен плоскости ромба ABCD, где точка О – точка пересечения диагоналей ромба. Найдите длину отрезка КС, если ОК=8 см, АС=12 см.

Задание 6. В треугольнике АВС АВ=29 см, ВС=36 см и АС=25 см. Через вершину А к плоскости треугольника проведен перпендикуляр АМ, равный 15 см. Из точки М к стороне треугольника ВС проведен перпендикуляр МК. Найдите длину отрезка КС.

Задание 7. Из точки А к плоскости проведены перпендикуляр АВ и наклонные АС и АМ, проекции которых образуют прямой угол. Вычислите расстояние от точки С до прямой АМ, если АВ=15 см, ВС=16 см и ВМ=20 см.

Задание 8. Отрезок МА1 длиной 24 см является проекцией отрезка МА на плоскость. Найти длину отрезка АВ, если АА1=18 см, В принадлежит МА и АВ:ВМ=2:3.

Задание 9. Из точки проведены к плоскости две наклонные, образующие с ней углы 45О и 60О. Вычислите длину меньшей наклонной, если расстояние между основаниями наклонных равно 1 см, а градусная мера угла между их проекциями на плоскость равна 30О.

Задание 10. Через вершину В тупого угла параллелограмма ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная его плоскости. Вычислите длину большей стороны параллелограмма, если АМ= см, MD=МС=5 см, АС= см.

 

Вариант 4

Задание 1. ABCD – прямоугольник. АВ принадлежит плоскости α. Точки С1 и D1 – проекции точек C и D на плоскость α. Расстояние от прямой CD до плоскости α – это…

D:\моя\Конкурс-2012\Перпендикуляр и наклонная\4.gif

1) AD; 2) AD1; 3) DD1.

Задание 2. Треугольник АВС – прямоугольный. Чему равна длина стороны АС

D:\Математика\тесты\10 класс\08. Перпендикуляр и наклонная\3.jpg

1) АВ2-ВС2; 2) ; 3) .

Задание 3. Чему равна длина перпендикуляра, если длина проекции наклонной длиной 15 см на плоскость равна 9 см?

Задание 4. Угол между наклонной и проекцией составляет 45О. Чему равна длина проекции, если длина наклонной см?

Задание 5. Через вершину квадрата ABCD проведена прямая ВМ. МВА=МВС=90О, МВ=4 см, АВ=3 см. Найдите расстояние от точки М до точки А.

Задание 6. В треугольнике АВС С=90О, АС=6 см, ВС=8 см, СМ – медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК=12 см. Найдите КМ.

Задание 7. Из точки А к плоскости α проведены перпендикуляр АВ и наклонные АС и AD, проекции которых образуют между собой прямой угол. Вычислите длину высоты СК треугольника ACD, если АВ=15 см, ВС=16 см, BD=20 см.

Задание 8. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 23 см и 33 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2:3.

Задание 9. Из точки М к плоскости проведены две наклонные, которые образуют со своими проекциями на плоскость углы 30О. Угол между наклонными равен 90О. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если расстояние до точки М до плоскости равно см.

Задание 10. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, а прямая МО перпендикулярна плоскости данного параллелограмма. Вычислите длину высоты параллелограмма, проведенной к меньшей его стороне, если длины сторон параллелограмма равны 20 см и 50 см, а расстояния от точки М до сторон параллелограмма равны 17 и 25 см.

 

Вариант 5

Задание 1. ABCD – квадрат. ВМ=МС. В точке О пересечения диагоналей квадрата проведен перпендикуляр ОК. Расстояние от точки К до стороны квадрата ВС – это…

D:\моя\Конкурс-2012\Перпендикуляр и наклонная\6.gif

1) КС; 2) КМ; 3) КВ.

Задание 2. Треугольник АВС – прямоугольный. Чему равна длина стороны АС

D:\Математика\тесты\10 класс\08. Перпендикуляр и наклонная\2.jpg

1) ВCctgβ; 2) ВСtgβ; 3) АВtgβ.

Задание 3. Расстояние от точки С до плоскости – 9 см. Найдите длину отрезка СВ, если расстояние от конца перпендикуляра до точки В, лежащей в плоскости равно 12 см.

Задание 4. Угол между проекцией и наклонной составляет 30О. Чему равна длина перпендикуляра, если длина наклонной 10 см?

Задание 5. Отрезок КВ перпендикулярен плоскости прямоугольного треугольника с прямым углом С и катетами ВС=3 см и АС=4 см. Найдите длину отрезка КА, если ВКА=30О.

Задание 6. Отрезок КС перпендикулярен плоскости квадрата ABCD. Найдите длину отрезка КО, где точка О – точка пересечения диагоналей квадрата, КС=4 см, а сторона квадрата равна см.

Задание 7. Из точки А, удаленной от плоскости на расстояние 4 см, проведены под углом 30О к плоскости наклонные АВ и АС. Их проекции на плоскость образуют угол в 120О. Найдите ВС.

Задание 8. В прямоугольном треугольнике АВС, С=90О, В=30О, АС=6 см. Через вершину прямого угла проведен к плоскости этого треугольника перпендикуляр СМ, равный 3 см. Найдите расстояние от точки М до гипотенузы.

Задание 9. Из точки А, расположенной на расстоянии 3 см от плоскости , проведены к этой плоскости наклонные АВ и АС под углом 30О к плоскости. Их проекции на плоскость образуют угол в 120О. Найдите длину отрезка ВС.

Задание 10. В равнобедренном треугольнике АВС основание АВ=6 см, а боковая сторона ВС=5 см. Отрезок ОК перпендикулярен плоскости треугольника (где точка О – центр окружности, вписанной в данный треугольник). Найдите длину отрезка ОК, если высота треугольника АКВ, проведенной из вершины К равна 2,5 см.


Перпендикулярность плоскостей

Вариант 1

Задание 1. Дана прямая призма ABCDЕA1B1C1D1Е1. Укажите перпендикулярные плоскости…

D:\моя\Конкурс-2012\Геометрия 10\03. Перпендикулярность\ghbpvf5.jpg

1) (АВВ1) и (АВC); 2) (АВВ1) и (ВСС1); 3) (А1В1С1) и (D1Е1Е).

Задание 2. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости…

1) параллельны;

2) перпендикулярны;

3) пересекаются под углом.

Задание 3. Укажите верные высказывания…

1) у куба все грани перпендикулярны;

2) у куба основания параллельны;

3) у куба противолежащие боковые грани перпендикулярны;

4) у куба смежные боковые грани перпендикулярны.

Задание 4. Точка А находится на расстоянии 12 см и 5 см от двух перпендикулярных плоскостей. Найдите расстояние от этой точки до линии пересечения плоскостей.

Задание 5. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка CD, если АС=3 см, BD=4 см, АВ =13 см.

Задание 6. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях опущены перпендикуляры АС и ВС на линию пересечения плоскостей. Найдите расстояние между точками А и В, если АС=5 см, ВС=12 см.

Задание 7. Точка С лежит на прямой пересечения двух перпендикулярных плоскостей α и β. Расстояние от точки А до плоскости α равно см. Найдите расстояние от точки А до линии пересечения плоскостей, если расстояние от точки С до этой точки равно 9 см, а расстояние между точками А и С равно 15 см.

Задание 8. АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма со стороной основания см. Найдите длину отрезка ВО, где точка О – точка пересечения диагоналей грани АСС1А1, если СС1=16 см.

Задание 9. Основанием призмы АВСА1В1С1 является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. Через ребро ВВ1 проведено сечение ВВ1D1D перпендикулярное к плоскости грани АА1С1С. Найдите площадь сечения, если АА1=10 см, AD=27 см, DC=12 см.

Задание 10. Основанием треугольной пирамиды ТАВС служит равнобедренный прямоугольный треугольник АВС (АВС=90О, АС=24 см). Вычислите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро ТВ и перпендикулярной плоскости основания, если ТА=ТС= см, а ТВ=10 см.


Вариант 2

Задание 1. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Укажите перпендикулярные плоскости…

D:\моя\Конкурс-2012\Геометрия 10\03. Перпендикулярность\куб.jpg

1) (АВС) и (АDD1); 2) (АВС) и (А1В1С1); 3) (АDD1) и (А1D1С1).

Задание 2. Если две плоскости перпендикулярны прямой, то они…

1) перпендикулярны;

2) параллельны;

3) скрещиваются.

Задание 3. Укажите верные высказывания…

1) у треугольной пирамиды все грани перпендикулярны;

2) у треугольной пирамиды боковые грани могут быть взаимно перпендикулярны;

3) у треугольной призмы боковая грань может быть перпендикулярна основанию;

4) у треугольной призмы боковые грани могут быть параллельны.

Задание 4. Точка М находится на расстоянии 4 см и 3 см от двух перпендикулярных плоскостей. Найдите расстояние от этой точки до линии пересечения плоскостей.

Задание 5. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АС=6 см, BD=7 см, CD=6 см.

Задание 6. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АD=4 см, =7 см, CD=1 см.

Задание 7. Точка В лежит в одной из двух перпендикулярных плоскостей, точка С – на линии пересечения плоскостей. Найдите расстояние от точки А, лежащей в другой плоскости, до точки С, если АВ=17 см, СВ=15 см, а расстояние от точки В до линии пересечения плоскостей равно 9 см,

Задание 8. ABCDA1B1C1D1 – куб со стороной 9 см. Найдите длину отрезка СО, где точка О – точка пересечения диагоналей грани ADD1A1.

Задание 9. Высота правильной четырехугольной пирамиды ABCDS равна 2 см. Найдите площадь сечения, проходящей через диагональ основания и перпендикулярной боковому ребру, если длина бокового ребра равна 4 см.

Задание 10. Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно 8 см, сторона основания 4 см. Через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, перпендикулярная к нему. Найдите площадь сечения.


Вариант 3

Задание 1. Дана правильная пирамида ABCDТ. Укажите перпендикулярные плоскости…

D:\моя\Конкурс-2012\Геометрия 10\03. Перпендикулярность\пирамида4.jpg

1) (BTD) и (АВD); 2) (АВТ) и (DТС); 3) (АВС) и (АСТ).

Задание 2. Если две плоскости параллельны третьей, то они…

1) пересекаются; 2) параллельны; 3) перпендикулярны.

Задание 3. Укажите верные высказывания…

1) у наклонного параллелепипеда основания перпендикулярны;

2) у наклонного параллелепипеда смежные грани могут быть перпендикулярны;

3) у наклонного параллелепипеда противолежащие грани могут быть параллельны;

4) у наклонного параллелепипеда основания перпендикулярны боковым граням.

Задание 4. Точка О находится на расстоянии 16 см от одной из двух перпендикулярных плоскостей. Найдите расстояние от точки О до линии пересечения плоскостей, если расстояние от точки О до другой плоскости равно 12 см.

Задание 5. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АD, если АB=8 см, =7 см, CD=1 см.

Задание 6. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка CD, если АС=3 см, BD=4 см, АВ =13 см.

Задание 7. Точка С лежит на прямой пересечения двух перпендикулярных плоскостей α и β. Расстояние от точки А до плоскостей 9 см и см. Найдите расстояние между точками А и С, если расстояние от точки С до проекции точки А на плоскость α равно см.

Задание 8. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед. Найдите длину отрезка АО, где точка О – точка пересечения диагоналей грани A1B1C1D1, если АА1=4 см, АВ=4 см, ВС= см.

Задание 9. Боковая грань МАВ пирамиды МАВС перпендикулярна плоскости основания. Треугольники МАВ и ABC являются прямоугольными, и АС=ВС=МА=МВ. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, перпендикулярной плоскости ABC и проходящей через прямую СР, точка Р которой взята на ребре MB, если МР:МВ=3:4 и АС=8 см.

Задание 10. В правильной треугольной пирамиде SABC АВ=12 см, SA=13 см. Вычислите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину Т ребра SC, перпендикулярной плоскости основания и параллельной прямой ВС.


Вариант 4

Задание 1. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите перпендикулярные плоскости…

D:\моя\Конкурс-2012\Геометрия 10\03. Перпендикулярность\пар1.jpg

1) (А1В1С1) и (А1ВВ1); 2) (АВС) и (А1ВВ1); 3) (АВВ1) и (DСС1).

Задание 2. Прямая, проведенная в одной из двух перпендикулярных плоскостей перпендикулярно прямой, по которой они пересекаются…

1) параллельна другой плоскости;

2) пересекает другую плоскость под углом;

3) перпендикулярна другой плоскости.

Задание 3. Укажите верные высказывания…

1) у пирамиды смежные грани могут быть перпендикулярны;

2) у пирамиды основание перпендикулярно боковым граням;

3) у пирамиды основание может быть перпендикулярно боковой грани;

4) у пирамиды боковые грани могут быть параллельны.

Задание 4. Расстояние от линии пересечения двух перпендикулярных плоскостей до точки О равно 10 см. Найдите расстояние от одной из плоскостей до дочки О, если расстояние от другой плоскости до точки О равно 6 см.

Задание 5. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АС=3 см, BD=4 см, CD=12 см.

Задание 6. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка CD, если АС=6 см, BD=7 см, AB=11 см.

Задание 7. Точки А и В лежат в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Расстояние между этими точками равно 17 см, а расстояние между проекциями этих точек на линию пересечения плоскостей равно 12 см. Найдите расстояние от точки А до линии пересечения плоскостей, если расстояние от точки В до линии пересечения плоскостей равно 9 см.

Задание 8. АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма со стороной основания см. Найдите длину отрезка АО, где точка О – точка пересечения диагоналей грани ВСС1В1, если СС1=24 см.

Задание 9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 основание ABCD – квадрат со стороной 4 см. Точка К делит отрезок АС в отношении 1:3, считая от вершины А. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, содержащей точку К и перпендикулярной плоскостям АВС и АА1С, если АС1=8 см.

Задание 10. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 боковая грань DD1C1C – квадрат. Точка М делит отрезок D1C в отношении 1:5, считая от вершины D1. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, содержащей точку М и перпендикулярной плоскостям BCD1 и DCC1, если DD1=6 см, BD1=12 см.


Вариант 5

Задание 1. Дана прямая призма ABCA1B1C1. Укажите перпендикулярные плоскости…

D:\моя\Конкурс-2012\Геометрия 10\03. Перпендикулярность\призма.jpg

1) (АВС) и (ВСС1); 2) (ВСС1) и (А1В1С1); 3) (А1В1С1) и (АВС).

Задание 2. Прямая, проведенная через точку одной из перпендикулярных плоскостей перпендикулярно второй плоскости…

1) пересекает первую плоскость; 2) не лежит в первой плоскости;

3) лежит в первой плоскости.

Задание 3. Укажите верные высказывания…

1) у правильной треугольной призмы боковые грани перпендикулярны основаниям;

2) у правильной четырехугольной призмы боковые грани перпендикулярны;

3) у четырехугольной призмы боковые грани перпендикулярны;

4) у правильной треугольной призмы смежные боковые грани перпендикулярны.

Задание 4. Точка А находится на расстоянии 8 см от одной из двух перпендикулярных плоскостей. Найдите расстояние от точки А до линии пересечения плоскостей, если расстояние от точки А до другой плоскости равно 15 см.

Задание 5. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка CD, если АD==5 см, AB=7 см.

Задание 6. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка BD, если АС=3 см, CD=12 см, АВ =13 см.

Задание 7. Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и MB к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Найдите расстояние от точки М до прямой а, если АМ=4 см, ВМ=3 см.

Задание 8. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед. Найдите длину отрезка АО, где точка О – точка пересечения диагоналей грани A1B1C1D1, если АА1=4 см, а в основании параллелепипеда лежит квадрат со стороной см.

Задание 9. В треугольной пирамиде ТАВС боковая грань ТАС перпендикулярна к плоскости основания. Вычислите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро ТВ и перпендикулярной плоскости основания, если ТА=ТС=5 см, АС=6 см, СВ=4 см, АВ= см.

Задание 10. В наклонной призме АВСА1В1С1 грань ВСС1В1 перпендикулярна основанию. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону АВ основания призмы и перпендикулярного ребру СС1, если АВ=3 см, ВС=4 см, АС=5 см, а угол наклона бокового ребра к плоскости основания составляет 30О.


Двугранные углы

Вариант 1

Задание 1. Дана правильная треугольная призма. Чему равен угол между плоскостями (АВС) и (ВСС1)…

10-5

1) 90О; 2) 60О; 3) 30О; 4) 0О.

Задание 2. ABCDA1B1C1D1 – куб. Найдите градусную меру двугранного угла АВВ1С.

Задание 3. На ребре СС1 куба ABCDA1B1C1D1 взята точка К - середина этого ребра. Найдите угол, который образует плоскость BDK с плоскостью CB1D1.

Задание 4. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Вычислите градусную меру двугранного угла А1СDА, если CD=4, AD= см.

Задание 5. Прямоугольный треугольник опирается катетом АС на плоскость , образуя с ней двугранный угол 30О. Найдите расстояние от вершины В до плоскости , если АС=8 см, АВ=3ВС.

Задание 6. Пусть А и В – точки на ребре двугранного угла, АС и BD – перпендикуляры к ребру, проведенные в разных гранях. Найдите двугранный угол, если АВ=24 см, АС=8 см, BD=5 см, а расстояние между точками С и D равно 25 см.

Задание 7. Концы отрезка АВ лежат на гранях двугранного угла, равного 60о. Из точек А и В проведены перпендикуляры AD и ВС к ребру двугранного угла. Вычислите длину отрезка CD, если АВ=25 см, AD=8 см и ВС=5 см.

Задание 8. Точка О – середина ребра ВВ1 прямой треугольной призмы АВСА1В1С1. Площадь сечения призмы плоскостью АСО равна см2. Найдите градусную меру двугранного угла, если АС=3 см, ВС=4 см, АСВ=90О.

Задание 9. В правильной четырехугольной пирамиде все ребра равны 1. Найдите синус угла между плоскостью и плоскостью, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

Задание 10. В кубе найдите угол между плоскостями и .


Вариант 2

Задание 1. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Чему равен угол между плоскостями (АВС) и (АСС1)…

4-1

1) 90О; 2) 30О; 3) 45О; 4) 0О.

Задание 2. ABCDA1B1C1D1 – куб. Найдите градусную меру двугранного угла АDD1B.

Задание 3. На ребре СС1 куба ABCDA1B1C1D1 взята точка К – середина этого ребра. Найдите угол между плоскостями BDK и АВ1С1.

Задание 4. В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит ромб, диагонали которого BD=6 см и АС= см. Найдите величину двугранного угла BDCC1.

Задание 5. Найдите угол между двумя плоскостями, если точка А лежащая в одной из этих плоскостей, отстоит от второй плоскости на расстоянии 4 см, а расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей равно 8 см.

Задание 6. Точки А и В лежат на ребре двугранного угла равного 120О. Отрезки АС и BD проведены в разных гранях и перпендикулярны к ребру двугранного угла. Найдите отрезок CD, если АВ=АС=BD=5 см.

Задание 7. Катет ВС прямоугольного треугольника АВС (АВС=90О) лежит в плоскости α. Точка О – основание перпендикуляра, проведенного из вершины А к плоскости. Двугранный угол ABCO равен 45О. Вычислите градусную меру угла между прямой АС и плоскостью, если ВС=2 см, АО= см.

Задание 8. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 точка О – середина отрезка, соединяющего центры оснований. Найдите градусную меру угла наклона плоскости АОС к плоскости основания, если все ребра призмы равны между собой.

Задание 9. В прямоугольном параллелепипеде , , . Найдите тангенс угла между плоскостями и .

Задание 10. В правильной треугольной призме стороны основания равны 2, боковые ребра равны 3, . Найдите угол между плоскостями и .


Вариант 3

Задание 1. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. Чему равен угол между плоскостями (ВCC1) и (ACС1) …

10-5

1) 0О; 2) 30О; 3) 90О; 4) 60О.

Задание 2. ABCDEFA1B1C1D1E1F1 – правильная шестиугольная призма. Найдите градусную меру двугранного угла ВСDD1.

Задание 3. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки Т и К – середины ребер СС1 и DC соответственно. Найдите угол между плоскостями ATD и A1D1K.

Задание 4. Ребро CD тетраэдра ABCD перпендикулярно к плоскости ABC, AB=BC=AC=6 см, BD=3см. Найдите двугранный угол DABC.

Задание 5. Найдите угол между плоскостями, если точка, взятая на одной из них, отстоит от прямой пересечения плоскостей вдвое дальше, чем от второй плоскости.

Задание 6. В треугольнике АВС АВ=8 см, АС=6 см, ВС=10 см. Через сторону АС проходит плоскость, которая образует с плоскостью треугольника двугранный угол 60О. Вычислите длину проекции стороны АВ на плоскость.

Задание 7. Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость ADM так, что двугранный угол BADM равен 60О. Найдите сторону ромба, если BAD=45О и расстояние от точки В до плоскости ADM равно .

Задание 8. Основание прямой призмы АВСА1В1С1 – прямоугольный треугольник АВС (АВС=90О). Вычислите градусную меру двугранного угла С1АВС, если ВС=СС1.

Задание 9. Косинус угла между боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды равен . Найдите угол между боковыми гранями этой пирамиды.

Задание 10. В правильной четырёхугольной призме стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 5. На ребре отмечена точка так, что . Найдите угол между плоскостями и .

 


Вариант 4

Задание 1. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Чему равен угол между плоскостями (АВВ1) и (DCС1)…

8-3-4

1) 30О; 2) 45О; 3) 0О; 4) 90О.

Задание 2. ABCDA1B1C1D1 – правильная треугольная призма. Найдите градусную меру двугранного угла ВСС1D1.

Задание 3. Точки К и М – середины ребер SC и АС тетраэдра SABC соответственно. Найдите угол между плоскостями АВК и SBM.

Задание 4. Ребро CD тетраэдра ABCD перпендикулярно к плоскости ABC, AB=BC=AшC=6 см, BD=3 см. Найдите двугранный угол DACB.

Задание 5. Треугольник АВС с прямым углом АСВ и катетом АС принадлежащим плоскости , образует с этой плоскостью двугранный угол, равный 45О. Найдите расстояние от вершины В до плоскости , если АС=20 см и АВ:ВС=3:1.

Задание 6. Проекцией прямоугольника ABCD на плоскость является квадрат ABC1D1. Вычислите угол между плоскостью и плоскостью прямоугольника ABCD, если АВ:ВС=1:2.

Задание 7. Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, равное 16 см. Боковая сторона одного треугольника равна 17 см. а боковые стороны другого перпендикулярны. Найдите угол между плоскостями треугольников, если расстояние между вершинами треугольников равно 13 см.

Задание 8. В правильной пирамиде SABC боковое ребро в два раза больше стороны основания. На ребре SC взята точка Р – такая, что секущая плоскость АВР перпендикулярна прямой SC. Найдите величину двугранного угла ВАРС.

Задание 9. Основание прямой четырехугольной призмы - прямоугольник , в котором , . Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра перпендикулярно прямой , если расстояние между прямыми и равно 13.

Задание 10. В правильной четырёхугольной пирамиде с основанием точка - середина , точка - середина . Найдите угол между плоскостями и , если , .


Вариант 5

Задание 1. Дана правильная четырехугольная пирамида TABCD. Чему равен угол между плоскостями (АВС) и (АСТ)…

10-4

1) 90О; 2) 60О; 3) 45О; 4) 30О.

Задание 2. ABCDA1B1C1D1– правильная четырехугольная призма. Найдите градусную меру двугранного угла АВВ1D1.

Задание 3. АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма. Найдите величину двугранного угла ОВСС1, где точка О – середина стороны АС.

Задание 4. Найдите двугранный угол ABCD тетраэдра ABCD, если углы DAB, DAC и АСВ прямые, АС=СВ=5 см, DB=5 см.

Задание 5. Через основание равнобедренного треугольника АВС проведена плоскость α. Расстояние от точки А до плоскости α равно 4 см. Вычислите градусную меру двугранного угла ABCO (точка О – основание перпендикуляра, опущенного из точки А на плоскость α), если ВС=12 см, АВ=АС=10 см.

Задание 6. Сторона AD ромба ABCD лежит в плоскости, образующей с плоскостью ромба угол 60o. Вычислите длину стороны ромба, если ABD=45o, а расстояние от вершины В ромба до плоскости равно см.

Задание 7. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2, диагональ боковой грани равна . Найдите угол между плоскостью и плоскостью основания призмы.

Задание 8. Боковое ребро правильной призмы АВСА1В1С1 равно стороне ее основания. На ребре АА1 взяты точки К1, К2 и К3 – такие, что АК1=К1К2=К2К3=К3А1. Найдите угол между плоскостью ВК2С и В1К2С1.

Задание 9. В прямоугольном параллелепипеде известны ребра: , , . Найдите угол между плоскостями и .

Задание 10. В правильной треугольной пирамиде с вершиной . На ребре отмечена точка . Сечение является равнобедренным треугольником с основанием . Найдите угол между плоскостями и , .

 


Параллелепипед

Вариант 1

Задание 1. Используя рисунок, укажите высоту параллелепипеда…

1) АВ; 2) ВС; 3) СС1; 4) DB.

Задание 2. Диагональ прямоугольного параллелепипеда с измерениями a, b и c равна…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Задание 3. Чему равна площадь основания прямоугольного параллелепипеда со сторонами основания 6 см и 7 см?

Задание 4. В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат площадью 16 см2. Чему равна высота параллелепипеда, если площадь боковой грани равна 20 см2?

Задание 5. Вычислите площадь диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда, если его высота 6 см, а стороны основания равны 3 см и 4 см.

Задание 6. Вычислите площадь боковой поверхности куба, если его диагональ равна см.

Задание 7. Вычислите площадь полной поверхности прямого параллелепипеда высотой 5 см, если в его основании лежит ромб со стороной 4 см и острым углом 30О.

Задание 8. В кубе АВСDА1В1С1D1 через середины ребер А1D1, D1D и вершину В1 проведено сечение. Найдите площадь сечения, если длина ребра куба равна см.

Задание 9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ=30 см, АА1=40 см. Найдите расстояние между BD1 и AD.

Задание 10. На ребре AD куба ABCDA1B1C1D1 взята точка Q - середина этого ребра. Найдите угол, который образует с плоскостью BC1Q прямая CD1.


Вариант 2

Задание 1. Используя рисунок, укажите диагональ параллелепипеда…

1) АВ; 2) ВС; 3) СС1; 4) D1B.

Задание 2. Диагональ куба со стороной а равна…

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Задание 3. Чему равна площадь большей боковой грани прямого параллелепипеда, если его высота 10 см, а стороны основания равны 7 см и 9 см?

Задание 4. В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат со стороной 6 см. Чему равна высота параллелепипеда, если его диагональ равна 9 см?

Задание 5. Через два противоположных ребра куба проведено сечение, площадь которого равна см2. Найдите ребро куба.

Задание 6. Вычислите площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда, если его высота 10 см, а в основании лежит равнобедренная трапеция с основаниями 4 см и 10 см и высотой 4 см.

Задание 7. Вычислите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, диагонали граней которого равны 5 см, см и см.

Задание 8. Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 служит ромб с острым углом 60О. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площадь его сечения проходящей через ребро ВВ1 и перпендикулярной ребру DC, равна см2.

Задание 9. Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 служит квадрат ABCD, длина стороны которого равна 7 см. Найдите расстояние между прямыми A1D и В1С1.

Задание 10. В прямоугольном параллелепипеде непересекающиеся диагонали двух смежных боковых граней образуют с плоскостью основания углы, синусы которых равны и . Найдите угол между этими диагоналями.


Вариант 3

Задание 1. Используя рисунок, укажите диагональ нижней грани…

1) АВ; 2) ВС; 3) СС1; 4) DB.

Задание 2. Диагональ квадрата со стороной а равна…

1) ;

2) ;

3);

4) .

Задание 3. Чему равна площадь меньшей боковой грани прямого параллелепипеда, если его высота 5 см, а стороны основания равны 7 см и 9 см?

Задание 4. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 9 см, его диагональ – 11 см. Чему равна другая сторона основания, если длина первой стороны 2 см?

Задание 5. Чему равно ребро куба, если площадь его диагонального сечения равна см2?

Задание 6. Вычислите площадь боковой поверхности параллелепипеда, длины сторон основания которого равны 3 см и 4 см, а диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом 45О.

Задание 7. Вычислите площадь полной поверхности Параллелепипеда, длины сторон основания которого равны 3 см и 4 см, а диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол, тангенс которого равен .

Задание 8. Точка Р – середина ребра AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, основание которого – квадрат ABCD. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку Р и перпендикулярной прямой BD, если AD=4 см, АА1= см.

Задание 9. Точка О – середина ребра СС1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите расстояние между прямыми B1D1 и DO, если ребро куба равно см.

Задание 10. ABCDA1B1C1D1 - куб. Найдите угол, который образует с диагональной плоскостью АА1С1С прямая C1D.


Вариант 4

Задание 1. Используя рисунок, укажите большую сторону основания параллелепипеда…

1) АВ; 2) ВС; 3) СС1; 4) DB.

Задание 2. Площадь полной поверхности параллелепипеда вычисляется по формуле…

1) Sполн=Sбок+Sосн;

2) Sполн=Sбок+2Sосн;

3) Sполн=2Sбок+2Sосн;

4) Sполн=2Sосн.

Задание 3. Чему равна диагональ прямоугольного параллелепипеда с измерениями 8, 9 и 12?

Задание 4. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 см и 4 см. Чему равна высота параллелепипеда, если его диагональ составляет с плоскостью основания угол 45о?

Задание 5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 8 и 6 см, высота параллелепипеда 4 см. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины А, С и А1.

Задание 6. Вычислите площадь боковой поверхности куба, если диагональ его грани равна см.

Задание 7. Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 168 см2. Чему равна диагональ параллелепипеда, если стороны его основания равны 3 см и 4 см?

Задание 8. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка М – середина ребра АА1. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости AB1D1, если площадь треугольника AB1D1 равна 56 см2.

Задание 9. Точки Р и О середины ребер А1В1 и ВС куба ABCDA1B1C1D1. Найдите расстояние от вершины С1 до прямой РО, если ребро куба равно см.

Задание 10. Найдите угол ABD1 прямоугольного параллелепипеда, если AB=3, AD=, AA1=.


Вариант 5

Задание 1. Используя рисунок, укажите угол между диагональю параллелепипеда и диагональю основания…

1) ABD1; 2) DBD1; 3) ABD; 4) ABC.

Задание 2. Площадь параллелограмма находится по формуле…

1) S=ab, где а и b – стороны параллелограмма;

2) S=2(a+b), где а и b – стороны параллелограмма;

3) S=ah, где a – сторона параллелограмма, h – высота, проведенная к этой стороне.

Задание 3. Найдите сторону куба, если диагональ грани равна см?

Задание 4. В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат. Высота параллелепипеда равна 7 см, диагональ 9 см. Найдите сторону основания.

Задание 5. В основании прямого параллелепипеда лежит ромб со стороной 4 см и острым углом 60О. Найдите площадь меньшего диагонального сечения параллелепипеда, если площадь боковой грани равна 20 см2.

Задание 6. Вычислите площадь боковой поверхности параллелепипеда, диагональ которого, равная 4 см, образует с плоскостью основания угол 30О, а с одной из сторон основания – угол 45О.

Задание 7. ABCDA1B1C1D1 – куб. Найдите площадь полной поверхности куба, если периметр треугольника ТОЕ равен см, где точки Т, О и Е – середины отрезков АА1, А1В и A1D соответственно.

Задание 8. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, у которого АВ=6 см, ВС=10 см и АА1=8 см. Вычислите площадь сечения параллелепипеда, которое проходит через вершину С перпендикулярно диагонали 1.

Задание 9. На ребре C1D1 куба ABCDA1B1C1D1 взята точка Р – середина этого ребра, длина ребра 5 см. Через точки В, D и Р проведено сечение. Найдите расстояние от точки А1 до секущей плоскости.

Задание 10. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB=3, A1C1=5. Найдите косинус угла между прямыми CB и A1C1.


Призма

Вариант 1

Задание 1. Укажите тип призмы, изображенной на рисунке…

D:\моя\Математика\Стереометрия\Рисунки\7-1-2.jpg

1) прямая; 2) четырехугольная; 3) пятиугольная; 4) наклонная.

Задание 2. Площадь боковой поверхности призмы находится по формуле…

1) , где S – площадь основания, h – высота призмы;

2) , где Р – периметр основания, h – высота призмы;

3) , где a – длина ребра основания, h – высота призмы;

4) , где Р – периметр основания, h – высота призмы.

Задание 3. В основании прямой призмы лежит прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Чему равна диагональ призмы, если ее высота 4 см?

Задание 4. Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30О. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.

Задание 5. Боковая поверхности правильной шестиугольной призмы равна 60 см2. Чему равна сторона основания призмы, если ее высота 5 см?

Задание 6. Чему равна сторона основания правильной четырехугольной призмы, если ее высота равна 4 см, а площадь полной поверхности 64 см2.

Задание 7. Основание прямой призмы АВСА1В1С1 – прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. Через ребро ВВ1 проведено сечение ВВ1О1О, перпендикулярное плоскости грани АА1С1С. Вычислите площадь сечения, если АА1=4см, АО=9 см, ОС=4 см.

Задание 8. АВСА1В1С1 – прямая призма, основание которой ромб ABCD. Найдите расстояние между прямыми B1D и СС1, если диагональное сечение АА1С1С – квадрат с площадью 36 см2.

Задание 9. Основанием наклонной призмы АВСА1В1С1 является равнобедренный треугольник АВС, в котором АС=АВ=13 см, ВС=10 см, а боковое ребро образует с основанием угол в 45О. Проекцией вершины А1 является точка пересечения медиан треугольника АВС. Найдите площадь грани СС1В1В.

Задание 10. Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является квадратов. Точка О – середина ребра СС1. Вычислите расстояние от точки D1 до плоскости DOB1, если площадь диагонального сечения равна 32 см2.

Вариант 2

Задание 1. Укажите тип призмы, изображенной на рисунке…

D:\моя\Математика\Стереометрия\Рисунки\7-2-2.jpg

1) прямая; 2) наклонная; 3) четырехугольная; 4) четырехгранная.

Задание 2. Площадь полной поверхности призмы находится по формуле…

1) , где Н – высота призмы, S – площадь основания;

2) ;

3) ;

4) .

Задание 3. Вычислите длину диагонали правильной четырехугольной призмы, длина стороны основания которой равна 6 см, а длина диагонали боковой грани – 8 см.

Задание 4. Диагональ А1С правильной призмы ABCDA1B1C1D1 образует с плоскостью основания угол, равный 45О. Найдите угол между прямой А1С и плоскостью ADD1.

Задание 5. Площадь боковой поверхности правильной пятиугольной призмы 80 см2. Чему равна высота призмы, если боковые грани квадраты?

Задание 6. Основанием прямой призмы является ромб со стороной 4 см и острым углом 30О. Чему равна площадь полной поверхности призмы, если ее высота равна 5 см?

Задание 7. Через вершины А, С и D1 правильной четырехугольной призмы АВСDА1В1С1D1 проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол 60О. Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью, если длина стороны основания равна 4.

Задание 8. ABCDA1B1C1D1 – прямая призма, в основании которой лежит ромб. Найдите расстояние от точки А до точки пересечения диагоналей верхнего основания, если АА1=15 см, АВ=10 см, BD=12 см.

Задание 9. В наклонной призме АВСА1В1С1 грань ВСС1В1 перпендикулярна основанию. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону АВ основания призмы и перпендикулярного ребру СС1, если АВ=3 см, ВС=4 см, АС=5 см, а угол наклона бокового ребра к плоскости основания составляет 30О.

Задание 10. Все ребра правильной призмы ABCDA1B1C1D1 равны между собой. Найдите расстояние от вершины В до плоскости АВ1С, если площадь боковой грани призмы равно 27 см2.


Вариант 3

Задание 1. Укажите тип призмы, изображенной на рисунке…

D:\моя\Математика\Стереометрия\Рисунки\Призма\призма-6.jpg

1) правильная; 2) прямая; 3) шестигранная; 4) шестиугольная.

Задание 2. Высоту призмы можно найти по формуле…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Задание 3. Найти длину бокового ребра правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна см и составляет с боковой гранью угол 30О.

Задание 4. Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30О. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.

Задание 5. В основании прямой призмы лежит прямоугольник со сторонами 4 см и 5см. Чему равна длина бокового ребра призмы, если площадь ее боковой поверхности равна 54 см2?

Задание 6. Площадь полной поверхности прямой четырехугольной призмы, в основании которой лежит прямоугольник со сторонами 4 см и 5 см равна 148 см2. Чему равна высота призмы?

Задание 7. В правильной четырехугольной призме через диагональ основания и середину противолежащего ей бокового ребра проведена плоскость под углом 60О к плоскости основания. Вычислите площадь сечения, если сторона основания равна .

Задание 8. АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма со стороной основания см. Найдите длину отрезка АО, где точка О – точка пересечения диагоналей грани ВСС1В1, если СС1=24 см.

Задание 9. В наклонной треугольной призме АВСDА1В1С1D1 угол между гранями АА1С1С и СС1В1В – прямой. Вычислите площадь грани СС1А1А, если боковое ребро равно 10 см, а площади граней АА1В1В и СС1В1В равны 130 см2 и 120 см2.

Задание 10. АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма, каждое ребро которой равно 8 см. Точка Т1 – середина ребра А1В1. Четырехугольник СС1ТТ1 – сечение призмы плоскостью СС1Т1, которое разбивает ее на две призмы, основания которой прямоугольные треугольники. Найдите расстояние от точки В до плоскости СС1Т1.


Вариант 4

Задание 1. Укажите тип призмы, изображенной на рисунке…

D:\моя\Математика\Стереометрия\Рисунки\3призма.jpg

1) правильная; 2) прямая; 3) треугольная; 4) четырехугольная.

Задание 2. В основании правильной четырехугольной призмы лежит…

1) прямоугольник; 2) равносторонний треугольник;

3) ромб; 4) квадрат.

Задание 3. Найти длину бокового ребра правильной треугольной призмы, если длина стороны основания равна 5 см, а площадь боковой поверхности 60 см2.

Задание 4. Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30О. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.

Задание 5. В основании прямой призмы лежит равносторонний треугольник со стороной 2 см. Чему равна площадь боковой поверхности призмы, если ее боковое ребро равно стороне основания?

Задание 6. Вычислите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее высота равна стороне основания, а диагональ основания равна 2 см.

Задание 7. В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник со сторонами 5 см, 5 см и 8 см. Через большую сторону нижнего основания призмы и середину противоположного бокового ребра проведена плоскость, образующая угол 60О с основанием призмы. Вычислите площадь сечения.

Задание 8. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 точка О – середина ребра СС1. Найдите расстояние от вершины D до прямой А1О, если АВ= см, АА1= см.

Задание 9. В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно перпендикулярны, а их общее ребро, отстоящее от двух других боковых ребер на 12 см и 35 см, равно 24 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Задание 10. В основании прямой призмы ABCА1В1С1 (АА1ВВ1СС1) лежит равнобедренный треугольник, у которого АВ=ВС=15 см и угол АВC равен 30О. Высота призмы равна 10 см. Найдите расстояние от точки А до плоскости, проведенной через точки В, С и А1.


Вариант 5

Задание 1. Укажите тип призмы, изображенной на рисунке…

D:\моя\Математика\Стереометрия\Рисунки\7-6-2.jpg

1) прямая; 2) наклонная; 3) треугольная; 4) равнобедренная.

Задание 2. В основании правильной треугольной призмы лежит…

1) равнобедренный треугольник;

2) квадрат;

3) равносторонний треугольник;

4) прямоугольный треугольник.

Задание 3. Найдите сторону основания правильной шестиугольной призмы, если ее высота равна 5 см, а площадь боковой грани 15 см2.

Задание 4. В правильной четырехугольной призме диагонали DB1 и BD1 перпендикулярны. Найдите угол между диагоналями А1С и В1D.

Задание 5. Вычислите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, если сторона основания равна 3 см, а диагональ боковой грани равна 5 см.

Задание 6. В основании прямой призмы лежит треугольник со сторонами 29, 25 и 36 см. Найдите полную поверхность призмы, если ее высота равна 10 см.

Задание 7. В прямой треугольной призме стороны оснований равны 10, 17 и 21 см, а высота призмы 18 см. Найдите площадь сечения, проходящего через боковое ребро и меньшую высоту основания призмы.

Задание 8. АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма со стороной основания см. Найдите длину отрезка ВО, где точка О – точка пересечения диагоналей грани АСС1А1, если СС1=16 см.

Задание 9. Основанием наклонной призмы ABCА1В1С1 является равнобедренный треугольник АВС, АС=АВ=13 см, ВС=10 см. Проекцией вершины А является точка пересечения медиан треугольника АВС. Найдите угол наклона бокового ребра призмы к основанию, если площадь грани СС1В1В= см2.

Задание 10. АВСА1В1С1 – прямая призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник АВС (АСВ=90О). Вычислите расстояние от точки пересечения диагоналей грани АА1В1В до плоскости АА1С1С, если АВ=5 см и АС=3 см.


Пирамида

Вариант 1

Задание 1. Укажите тип пирамиды, изображенной на рисунке …

D:\моя\Математика\Стереометрия\Рисунки\4пирамида.jpg

1) правильная; 2) треугольная; 3) четырехугольная; 4) наклонная.

Задание 2. Площадь боковой грани пирамиды находится по формуле…

1) , где а – сторона основания, h – высота пирамиды;

2) , где а – сторона основания, h – длина бокового ребра;

3) , где а – сторона основания, h – высота грани, проведенная к стороне основания.

Задание 3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O – центр основания, S – вершина, SO=4, АС=6. Найдите боковое ребро SA

Задание 4. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна 4 см, а апофема – 5 см.

Задание 5. Вычислите площадь диагонального сечения правильной четырехугольной пирамиды, если ее высота равна 4 см, а сторона основания см.

Задание 6. Чему равна площадь полной поверхности правильной пирамиды, длина бокового ребра которой равна 5 см, а основанием служит квадрат с длиной стороны 6 см?

Задание 7. Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно 8 см, сторона основания 4 см. Через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, перпендикулярная к нему. Найдите площадь сечения.

Задание 8. Длины сторон оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 5 см и 3 см. Ребро усеченной пирамиды имеет длину см. Найдите площадь ее полной поверхности.

Задание 9. Площадь основания треугольной пирамиды равна 12 см2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если двугранные углы при ее основании равны 60О.

Задание 10. В основании пирамиды МАВС лежит правильный треугольник АВС, боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания, и МВ:АВ=. На ребре МС взяты точки Р1, Р2 и Р3, такие, что СР1=Р1Р2=Р2Р3=Р3М. Найдите угол, который образует с плоскостью грани МВС прямая АР1.

Вариант 2

Задание 1. Укажите тип пирамиды, изображенной на рисунке …

D:\моя\Математика\Стереометрия\Рисунки\Пирамида\22.jpg

1) правильная; 2) шестиугольная; 3) прямая; 4) наклонная.

Задание 2. Боковая поверхность правильной пирамиды равна…

1) произведению высоты пирамиды на площадь боковой грани;

2) произведению высоты пирамиды на ее площадь основания;

3) произведению апофемы на периметр основания;

4) произведению апофемы на полупериметр основания.

Задание 3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, SB=10, высота SO=6. Найдите длину отрезка AC.

Задание 4. В основании пирамиды лежит прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Найдите боковую поверхность пирамиды, если ее боковые ребра равны 5 см.

Задание 5. Найдите длину бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды, если ее высота равна 4 см, а сторона основания - см.

Задание 6. Найдите площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна 3 см, а апофема – 4 см.

Задание 7. В правильной треугольной пирамиде длина стороны основания равна 8 см. Боковое ребро составляет с основанием угол 45о. Найдите площадь сечения, проведенного через боковое ребро и высоту пирамиды.

Задание 8. Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 7 см. Вычислите длину бокового ребра пирамиды, если длины сторон ее оснований равны 2 см и 10 см.

Задание 9. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник, у которого длина основания равна 12 см, а боковой стороны – 10 см. Боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы величиной 45о. Найдите длину высоты пирамиды.

Задание 10. В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник АВС, боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания и SB:AB=. На ребре SC взяты точки М1, М2 и М3 такие, что СМ1=М1М2=М2М3=М3S. Найти угол, который образует с плоскостью грани SBC прямая АМ1.

Вариант 3

Задание 1. Укажите тип пирамиды, изображенной на рисунке …

D:\моя\Математика\Стереометрия\Рисунки\Пирамида\f1.jpg

1) неправильная; 2) четырехугольная; 3) усеченная; 4) наклонная.

Задание 2. Площадь полной поверхности пирамиды находится по формуле…

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Задание 3. Вычислите высоту правильной четырехугольной пирамиды, если ее апофема равна 10 см, а сторона основания – 16 см.

Задание 4. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна 6 см, а длина бокового ребра – 5 см.

Задание 5. Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найти длину высоты пирамиды.

Задание 6. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 8 и высота равна 3

Задание 7. Основанием пирамиды, высота которой равна 2 дм, а боковые ребра равны друг другу, является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через диагональ основания параллельно боковому ребру.

Задание 8. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде длины сторон оснований равны 5 см и 15 см. вычислите площадь полной поверхности пирамиды, если площадь диагонального сечения пирамиды равна см2.

Задание 9. Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция, основания которой 3 см и 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если двугранные углы при ее основании равны 30O.

Задание 10. В основании пирамиды MABCD лежит квадрат. Боковая грань МАВ перпендикулярна плоскости основания и является правильным треугольником. На ребре MB взята точка Р - середина этого ребра. Найдите угол, который образует с плоскостью основания пирамиды прямая АР.


Вариант 4

Задание 1. Укажите тип пирамиды, изображенной на рисунке …

D:\моя\Математика\Стереометрия\Рисунки\Пирамида\f3.jpg

1) правильная; 2) треугольная; 3) четырехугольная; 4) наклонная.

Задание 2. В правильной пирамиде отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром ее основания, является…

1) медианой; 2) высотой; 3) биссектрисой; 4) апофемой.

Задание 3. Вычислите длину основания правильной четырехугольной пирамиды, если ее апофема равна 3 см, а длина бокового ребра – 5 см.

Задание 4. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна 4 см, а апофема – 5 см.

Задание 5. Длина бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды равна 5 см, длина диагонали ее основания равна 6 см. Вычислите площадь диагонального сечения пирамиды.

Задание 6. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Задание 7. Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна 20 см, а длина бокового ребра – 36 см. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины двух противолежащих сторон основания и параллельной боковому ребру.

Задание 8. Высота правильной усеченной четырехугольной пирамиды равна см, боковое ребро - см, сторона большего основания – 4 см. Найти площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

Задание 9. В треугольной пирамиде длины сторон основания равны 13 см, 14 см и 15 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если каждый из двугранных углов при ребрах основания равен 60О.

Задание 10. В основании пирамиды МАВС лежит правильный треугольник АВС, боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания, и МВ:АВ=1. На ребре МС взяты точки Р1, Р2 и Р3, такие, что СР1=Р1Р2=Р2Р3=Р3М. Найдите угол, который образует с плоскостью грани МВС прямая АР2.


Вариант 5

Задание 1. Укажите тип пирамиды, изображенной на рисунке …

D:\моя\Математика\Стереометрия\Рисунки\Пирамида\55.jpg

1) правильная; 2) треугольная; 3) четырехугольная; 4) пятиугольная.

Задание 2. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется…

1) медианой; 2) высотой; 3) апофемой; 4) биссектрисой.

Задание 3. Найдите высоту правильной четырехугольной пирамиды, если диагональ основания равна 6 см, а длина бокового ребра – 5 см.

Задание 4. Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна 60 см2. Чему равна апофема пирамиды, если сторона основания равна 4 см?

Задание 5. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды составляет с плоскостью основания угол 30О. Вычислите высоту пирамиды, если площадь диагонального сечения равна см2.

Задание 6. Основанием пирамиды DABC является треугольник со сторонами АС=13 см, АВ=15 см, СВ=14 см. Боковое ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Задание 7. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60О. Через сторону основания проведена плоскость под углом 30О к плоскости основания. Найдите площадь сечения, если сторона основания равна 12 см.

Задание 8. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде площадь диагонального сечения равна см2. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если длины сторон ее оснований равны 4 см и 10 см.

Задание 9. Высота правильной треугольной пирамиды равна см, величина двугранного угла при основании равна 60О. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Задание 10. В основании пирамиды лежит трапеция ABCD с прямым углом при вершине В и отношением сторон АВ:ВС:AD=1:1:2. Боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания и SB=AB. На ребре AD взята точка Р – середина этого ребра. Найдите угол, который образует прямая SD с секущей плоскостью, проходящей через точку Р, перпендикулярно прямой SC.


Правильные многогранники

Вариант 1

Задание 1. Укажите тип правильного многогранника, изображенного на рисунке…

D:\моя\Геометрия10-11\геометрия-11\4.jpg

1) икосаэдр; 2) октаэдр; 3) гексаэдр; 4) тетраэдр.

Задание 2. Многогранник, изображенный на рисунке относится к…

D:\моя\Геометрия10-11\Тела Пуансо - 4 шт\тела Пуансо-2.jpg

1) телам Пуансо; 2) телам Архимеда; 3) телам Платона.

Задание 3. Вычислите площадь полной поверхности куба, если его ребро равно 2 см.

Задание 4. Объем куба равен 27. Найдите площадь его поверхности.

Задание 5. Вычислить объем куба, если площадь его полной поверхности равна 54 см2.

Задание 6. Ребро октаэдра равно см. Найдите расстояние между двумя его противолежащими вершинами.

Задание 7. В кубе АВСDА1В1С1D1 через середины ребер А1D1, D1D и вершину В1 проведено сечение. Найти площадь сечения, если длина ребра куба равна см.

Задание 8. В кубе центры оснований соединены с центрами боковых граней. Найдите ребро куба если поверхность полученного октаэдра равна см2.

Задание 9. Центры граней тетраэдра служат вершинами нового тетраэдра. Найдите отношение их полных поверхностей.

Задание 10. На ребрах В1С1, C1D1 и АА1 куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р, Q и R - середины этих ребер. Через точку О - центр грани ABCD - и прямую PQ проведена секущая плоскость. Найдите площадь сечения куба плоскостью, параллельной плоскости OPQ и проходящей через точку R, если ребро куба равно 8 см.


Вариант 2

Задание 1. Укажите тип правильного многогранника, изображенного на рисунке …

D:\моя\Геометрия10-11\геометрия-11\2.jpg

1) додекаэдр; 2) тетраэдр; 3) гексаэдр; 4) икосаэдр.

Задание 2. Многогранник, изображенный на рисунке относится к …

D:\Математика\тесты\11 класс\05. Правильные многогранники\5-4.jpg

1) телам Пуансо; 2) телам Архимеда; 3) телам Платона.

Задание 3. Найдите объем тетраэдра, если его ребро равно 3 см.

Задание 4. Объем куба равен 81. Найдите его диагональ.

Задание 5. Найдите площадь полной поверхности икосаэдра, если площадь одной его грани равна 4 см2.

Задание 6. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 2 см. Найти расстояние между прямыми AD1 и В1С.

Задание 7. Найдите ребро тетраэдра DABC, если площадь сечения, проходящей через центр грани АВС параллельно грани BDC равна см2.

Задание 8. В кубе центры оснований соединены с центрами боковых граней. Вычислить длину ребра куба, если поверхность полученного октаэдра равна см2.

Задание 9. Два тетраэдра соединены двумя гранями так, что образуют двойную пирамиду. Центры шести боковых граней этой пирамиды приняты за вершины прямой треугольной призмы. Вычислить объем полученной призмы, если ребро тетраэдра равно см.

Задание 10. В тетраэдре DABC точка М – середина ребра AD. Найдите площадь грани DBC, если площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно этой грани, равна 31 см2.


Вариант 3

Задание 1. Укажите тип правильного многогранника, изображенного на рисунке …

D:\моя\Геометрия10-11\геометрия-11\1.jpg

1) тетраэдр; 2) додекаэдр; 3) икосаэдр; 4) гексаэдр.

Задание 2. Многогранник, изображенный на рисунке относится к …

D:\Математика\тесты\11 класс\05. Правильные многогранники\8.jpg

1) телам Пуансо; 2) телам Архимеда; 3) телам Платона.

Задание 3. Найдите объем октаэдра, если его ребро равно см.

Задание 4. Найдите сторону тетраэдра, если его полная поверхность равна см2.

Задание 5. Чему равна сторона икосаэдра, если площадь грани равна см2?

Задание 6. Ребро правильного октаэдра равно см. Найдите расстояние между противоположными гранями.

Задание 7. Найдите ребро тетраэдра DABC, если площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через центр грани ABC перпендикулярно к ребру AD равна см2.

Задание 8. Найдите отношение объема куба к объему тетраэдра, ребро которого равно диагонали грани куба.

Задание 9. Найдите объем пирамиды, вершина которой совпадает с вершиной тетраэдра с ребром см., а основанием является сечение, проведенное перпендикулярно через середину ребра.

Задание 10. На ребрах В1С1 и C1D1 куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р и Q - середины этих ребер. Через точку О - центр грани ABCD - и прямую PQ проведена секущая плоскость. Найдите площадь сечения куба плоскостью, параллельной плоскости OPQ и проходящей через точку D1, если ребро куба равно 8 см.


Вариант 4

Задание 1. Укажите тип правильного многогранника, изображенного на рисунке …

D:\моя\Геометрия10-11\геометрия-11\6.jpg

1) октаэдр; 2) тетраэдр; 3) додекаэдр; 4) гексаэдр.

Задание 2. Многогранник, изображенный на рисунке относится к …

D:\Математика\тесты\11 класс\05. Правильные многогранники\5-6.jpg

1) телам Пуансо; 2) телам Архимеда; 3) телам Платона.

Задание 3. Найдите объем тетраэдра, если его ребро равно см.

Задание 4. Найдите сторону икосаэдра, если площадь полной поверхности равна см2.

Задание 5. Чему равна сторона икосаэдра, если его площадь полной поверхности равна см2?

Задание 6. Найти расстояние между серединами двух скрещивающихся ребер куба, полная поверхность которого равна 36 см2.

Задание 7. Чему равно ребро октаэдра, если площадь его диагонального сечения равна 256 см2?

Задание 8. Найти объем общей части двух кубов, если один из них получен поворотом на 90О другого куба вокруг оси, проходящей через среднюю линию одной из его граней. Ребро куба равно 4 см.

Задание 9. Через каждое ребро тетраэдра проведена плоскость, параллельная противоположному ребру. Найдите отношение объема полученного параллелепипеда к объему тетраэдра.

Задание 10. Точки О и F – середины ребер DB и АС тетраэдра DABC соответственно. Точка лежит на ребре DB так, что DK:КВ=1:3. Вычислите площадь полной поверхности тетраэдра, если прямая, проходящая через точку К и параллельная отрезку OF, пересекает поверхность тетраэдра в точке Р, РК=2 см.


Вариант 5

Задание 1. Укажите тип правильного многогранника, изображенного на рисунке …

D:\моя\Геометрия10-11\геометрия-11\3.jpg

1) октаэдр; 2) тетраэдр; 3) икосаэдр; 4) додекаэдр.

Задание 2. Многогранник, изображенный на рисунке относится к …

D:\моя\Геометрия10-11\Готовое\Правильные многогранники\рисунки 1-7\тела Пуансо-3.jpg

1) телам Пуансо; 2) телам Архимеда; 3) телам Платона.

Задание 3. Найдите объем октаэдра, если его сторона равна 3 см.

Задание 4. Найдите сторону октаэдра, если его полная поверхность равна см2.

Задание 5. Найдите площадь полной поверхности додекаэдра, если площадь одной его грани равна 10 см2.

Задание 6. На ребре куба ABCDA1B1C1D1 взята точка Р – середина ребра, длина ребра куба равна 4 см. Найдите расстояние между прямой B1D1 и прямой PD.

Задание 7. Вычислить объем куба ABCDA1BlClD1, если площадь треугольника СDA1 равна см2.

Задание 8. Вершины многогранника являются центрами граней куба. Найдите объем куба, если объем многогранника равен 12.

Задание 9. Центры граней тетраэдра служат вершинами нового тетраэдра. Найти отношение их объемов.

Задание 10. На ребрах В1С1 и C1D1 куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р и Q - середины этих ребер. Через точку О - центр грани ABCD - и прямую PQ проведена секущая плоскость. Найдите площадь сечения куба плоскостью, параллельной плоскости OPQ и проходящей через точку С1, если ребро куба равно 8 см.


Объем параллелепипеда

Вариант 1

Задание 1. Чему равен объем тела, изображенного на рисунке, если ребро куба равно 2 см?

D:\мое\Математика\Геометрия 11\Тесты\Объемы\06. Объем параллелепипеда\1.jpg

Задание 2. Найдите объем фигуры, изображенной на рисунке …

D:\Стереометрия\объемы\5.PNG

Задание 3. Чему равна высота прямоугольного параллелепипеда, если его объем 60 см3, а стороны основания равны 2 см и 3 см?

Задание 4. Найдите объем куба, если площадь заштрихованной фигуры равна 8 см2.

D:\Геометрия\Параллелепипед\задача12.jpg

Задание 5. Вычислите объем параллелепипеда, если его высота равна 4 см, а в основании – квадрат с диагональю 3 см.

Задание 6. Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол 45°, а с боковой гранью угол 30°. Высота параллелепипеда равна 4 см. Найдите его объем.

Задание 7. Основанием наклонного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1 служит квадрат ABCD. Все ребра параллелепипеда равны между собой, А1АВ=А1АD=60°. Площадь диагонального сечения BB1D1D равна см2. Найдите объем параллелепипеда.

Задание 8. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб с углом 60°. Через сторону основания и середину противолежащего бокового ребра проведена плоскость под углом 45° к плоскости основания. Площадь сечения равна 18 см2. Найдите объем параллелепипеда..

Задание 9. Основание прямого параллелепипеда - ромб, длина стороны которого равна 4 см. Острый угол ромба равен 30°. Вычислите площадь полной поверхности параллелепипеда, если его объем равен 48 см3.

Задание 10. В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагонали BD1 и А1С взаимно перпендикулярны и равны 6 см и 8 см, АВ=3 см. Найдите объем параллелепипеда.

Вариант 2

Задание 1. Чему равен объем тела, изображенного на рисунке, если ребро куба равно 3 см?

D:\мое\Математика\Геометрия 11\Тесты\Объемы\06. Объем параллелепипеда\7-4.jpg

Задание 2. Найдите объем фигуры, изображенной на рисунке …

D:\Математика\Стереометрия\объемы\3.PNG

Задание 3. Найдите площадь основания параллелепипеда, если его высота 4 см, а объем - 24 см2.

Задание 4. Найдите объем куба, если площадь заштрихованной фигуры равна см2.

D:\мое\Математика\Геометрия 11\Тесты\Объемы\06. Объем параллелепипеда\9-8.jpg

Задание 5. В основании прямого параллелепипеда лежит параллелограмм со сторонами 1 и 4 и острым углом 60О. Большая диагональ параллелепипеда имеет длину . Найдите объем параллелепипеда.

Задание 6. Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDAlB1C1Dl - квадрат ABCD. Вычислите объем параллелепипеда, если диагональ его боковой грани наклонена к плоскости основания под углом 30°, а ее длина 10 см.

Задание 7. Основание наклонного параллелепипеда ромб, длина стороны которого равна 3 см, a АBD=60°. Вычислите площадь диагонального сечения AA1C1C, если оно перпендикулярно плоскости основания, а объем параллелепипеда равен 18 см3.

Задание 8. Вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, если площадь диагонального сечения равна 20 см2, а стороны основания 3 см и 4 см.

Задание 9. Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 - квадрат, сторона которого в три раза меньше его бокового ребра. Вычислите объем если площадь поверхности параллелепипеда равна 56 см2.

Задание 10. В прямоугольном параллелепипеде диагонали трех граней, выходящие из одной вершины, равны 7 см,. 8 см и 9 см. Найдите объем параллелепипеда.


Вариант 3

Задание 1. Чему равен объем тела, изображенного на рисунке, если ребро куба равно 5 см?

D:\мое\Математика\Геометрия 11\Тесты\Объемы\06. Объем параллелепипеда\7.jpg

Задание 2. Найдите объем фигуры, изображенной на рисунке …

D:\Стереометрия\объемы\6.PNG

Задание 3. Чему равно ребро куба, если его объем 64 см3?

Задание 4. Найдите объем куба, если площадь заштрихованной фигуры равна см2.

D:\мое\Математика\Геометрия 11\Тесты\Объемы\06. Объем параллелепипеда\6-8.jpg

Задание 5. Вычислите объем куба, если его диагональ равна см.

Задание 6. В основании прямого параллелепипеда лежит параллелограмм со сторонами длиной 1 и 4 и острым углом в 60О. Большая диагональ параллелепипеда имеет длину 5. Найдите его объем.

Задание 7. Основание наклонного параллелепипеда - квадрат ABCD, длина стороны которого равна 2 см. Диагональное сечение AA1C1C перпендикулярно плоскости основания, а его площадь равна 4 см2. Вычислите объем параллелепипеда.

Задание 8. Диагональ основания прямоугольного параллелепипеда равна 4 см, а угол между диагоналями 30°. Плоскость сечения, проведенного через диагональ основания и противолежащую ей вершину верхнего основания, составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите объем параллелепипеда.

Задание 9. Основанием прямого параллелепипеда служит прямоугольник, длины сторон которого равны 2 см и 3 см. Найдите площадь его большей боковой грани, если объем параллелепипеда равен 24 см3.

Задание 10. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагональ B1D составляет с плоскостью основания угол в 45О, а двугранный угол A1B1BD равен 60О. Найдите объем параллелепипеда, если диагональ основания равна 12 см.

Вариант 4

Задание 1. … Чему равен объем тела, изображенного на рисунке, если ребро куба равно 2 см?

D:\мое\Математика\Геометрия 11\Тесты\Объемы\06. Объем параллелепипеда\10-4.jpg

Задание 2. Найдите объем фигуры, изображенной на рисунке …

D:\Стереометрия\объемы\2.PNG

Задание 3. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого равны 11 см и 12 см, а высота параллелепипеда равна 15 см.

Задание 4. Найдите объем куба, если площадь заштрихованной фигуры равна 8 см2.

D:\Математика\тесты\11 класс\2. Объемы\6.jpg

Задание 5. Объем параллелепипеда равен 36 см3. Найдите его высоту, если в основании параллелепипеда лежит квадрат с диагональю см.

Задание 6. Длины сторон основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 см и 4 см, а его диагональ наклонена к плоскости основания под углом 45°. Вычислите объем параллелепипеда.

Задание 7. Основание наклонного параллелепипеда - ромб ABCD, длины его диагоналей BD и AC равны 4 см и 8 см. Вычислите площадь сечения параллелепипеда плоскостью BA1D, если объем параллелепипеда равен 160 см3, а проекция вершины A1 на плоскость основания совпадает с точкой пересечения диагоналей ромба.

Задание 8. Вычислить объем параллелепипеда ABCDA1BlClD1, если в его основании квадрат со стороной 3 см, а площадь фигуры DCB1A1 равна 15 см2.

Задание 9. Основание прямого параллелепипеда - параллелограмм с острым углом 30°. Вычислите объем параллелепипеда, если площади его боковых граней равны 40 см2 и 60 см2, а длина бокового ребра - 10 см.

Задание 10. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 18 см и составляет угол в 30О с плоскостью боковой грани и угол в 45О с боковым ребром. Найдите объем параллелепипеда.

Вариант 5

Задание 1. Чему равен объем тела, изображенного на рисунке, если ребро куба равно 1 см?

D:\мое\Математика\Геометрия 11\Тесты\Объемы\06. Объем параллелепипеда\6-4.jpg

Задание 2. Найдите объем фигуры, изображенной на рисунке…

D:\Стереометрия\объемы\1.PNG

Задание 3. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 8 см, 12 см и 18 см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему этого параллелепипеда.

Задание 4. Найдите объем куба, если площадь заштрихованной фигуры равна см2.

D:\мое\Математика\Геометрия 11\Тесты\Объемы\06. Объем параллелепипеда\5-8.jpg

Задание 5. Длина диагонали боковой грани прямого параллелепипеда равна 10 см, а площадь квадрата, который служит основанием параллелепипеда, равна 64 см2. Вычислите объем параллелепипеда.

Задание 6. Основанием прямого параллелепипеда служит параллелограмм, стороны которого 4 см и 6 см. Один из его углов равен 30°. Диагональ меньшей боковой грани составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите объем параллелепипеда.

Задание 7. Основанием наклонного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1 служит квадрат. Все ребра параллелепипеда равны между собой, А1АВ=А1АD=60°. Площадь диагонального сечения BB1D1D равна см2. Найдите объем параллелепипеда.

Задание 8. Длина стороны основания прямого параллелепипеда равна 5 см. Через нее и противолежащую ей сторону верхнего основания проведено сечение под углом 15о к плоскости основания. Вычислите объем параллелепипеда, если площадь сечения 10 см2.

Задание 9. Основание прямого параллелепипеда - ромб, длина стороны которого равна 4 см. Острый угол ромба равен 30°. Вычислите объем параллелепипеда, если площадь полной поверхности равна 112 см2.

Задание 10. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если АС1=13 см, BD=12 см и ВС1=11 см.

Объем призмы

Вариант 1

Задание 1. Укажите тип призмы, изображенной на рисунке…

D:\моя\Математика\Стереометрия\Рисунки\7-1-2.jpg

1) прямая; 2) четырехугольная; 3) пятиугольная; 4) наклонная.

Задание 2. Объем наклонной призмы равен…

1) произведению площади перпендикулярного сечения на высоту призмы;

2) произведению площади диагонального сечения на длину бокового ребра;

3) произведению площади перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Задание 3. Найдите объем призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями 6 см и 8 см, а высота призмы равна 3 см.

Задание 4. Найдите высоту призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями 6 см и 8 см, если объем призмы равен 72 см3.

Задание 5. Найдите объем призмы, если в ее основании лежит трапеция, площади параллельных боковых граней равны 20 см2 и 40 см2, а расстояние между ними 6 см.

Задание 6. Найдите объем правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ образует с плоскостью боковой грани угол 30О, а длина стороны основания равна .

Задание 7. Основание призмы - треугольник, длины сторон которого равны 2 см, 3 см и 3 см. Длина бокового ребра призмы равна 12 см, и оно наклонено к плоскости основания под углом 45°. Вычислите объем призмы.

Задание 8. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 см. Площадь сечения, проведенного через один из катетов основания и противолежащую вершину верхнего основания, равна 7,5 см2. Найдите объем призмы.

Задание 9. Основанием прямой четырехугольной призмы служит прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Вычислите объем призмы, если площадь ее диагонального сечения равна 30 см2.

Задание 10. Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция, основания которой равны 8 см и 4 см. Через большее основание трапеции и середину противолежащего бокового ребра проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол 45О. Площадь сечения равна 36 см2. Найдите объем призмы.

Вариант 2

Задание 1. Укажите тип призмы, изображенной на рисунке…

D:\моя\Математика\Стереометрия\Рисунки\Призма\призма-6.jpg

1) прямая; 2) правильная; 3) шестигранная; 4) шестиугольная.

Задание 2. Объем прямой призмы равен…

1) произведению площади основания на длину бокового ребра;

2) произведению площади перпендикулярного сечения на высоту призмы;

3) произведению площади диагонального сечения на длину бокового ребра.

Задание 3. Найти объем призмы, если ее высота 10 см, а в основании – треугольник со сторонами 29, 36 и 25 см.

Задание 4. Найдите высоту призмы, если ее объем равен 40 см3, а основанием служит параллелограмм со сторонами 4 см и 5 см и углом между сторонами 30О.

Задание 5. Найдите объем прямой треугольной призмы, если площади двух боковых граней равны 3 и 4, угол между сторонами основания, через которые проходят эти боковые грани, равен 30О, а длина бокового ребра 1.

Задание 6. Найдите объем правильной шестиугольной призмы наибольшая диагональ которой имеет длину 4 и составляет с боковым ребром призмы угол 30О.

Задание 7. Основание призмы - равносторонний треугольник. Длина бокового ребра призмы равна 4 см, и оно наклонено к плоскости основания под углом 60°. Вычислите объем призмы, если перпендикулярная проекция одной из вершин верхнего основания является центром нижнего основания.

Задание 8. Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция, основания которой равны 8 см и 4 см. Через большее основание трапеции и середину противолежащего бокового ребра проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол 45°. Площадь сечения равна 36 см2. Найдите объем призмы.

Задание 9. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 см. Площадь сечения, проведенного через один из катетов основания и противолежащую вершину верхнего основания, равна 7,5 см2. Найдите объем призмы.

Задание 10. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4 см. Площадь сечения, проведенного через другой катет и противолежащую ему вершину верхнего основания, равна 15 см2. Найдите объем призмы, если длина ее бокового ребра равна 3 см.

Вариант 3

Задание 1. Укажите тип призмы, изображенной на рисунке…

D:\моя\Математика\Стереометрия\Рисунки\7-6-2.jpg

1) прямая; 2) наклонная; 3) треугольная; 4) равнобедренная.

Задание 2. Если в основании призмы лежит параллелограмм, то площадь основания равна…

1) S=ab, где а и b – стороны параллелограмма;

2) S=2(a+b), где а и b – стороны параллелограмма;

3) S=ah, где a – сторона параллелограмма, h – высота, проведенная к этой стороне.

Задание 3. Найти объем призмы, если ее основанием служит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 2 см, а высота призмы равны 6 см.

Задание 4. Найдите высоту прямой призмы, если ее объем 100 см3, а в основании прямоугольник со сторонами 2 см и 5 см.

Задание 5. Площадь поверхности правильной треугольной призмы равен 14 см2. Вычислить объем призмы, если ее высота 2 см.

Задание 6. Найдите объем прямой призмы – основание которой равнобедренный треугольник с углом 90О при вершине. Диагональ грани, противоположной данному углу равна 4 см и составляет с плоскостью основания угол 30О.

Задание 7. В наклонной треугольной призме основанием служит правильный треугольник со стороной, равной 4 см. Одна из его вершин проектируется в центр нижнего основания. Боковые ребра призмы составляют с основанием угол 60°. Найдите объем призмы.

Задание 8. В правильной шестиугольной призме площадь наибольшего диагонального сечения равна 36 см2, а расстояние между двумя противолежащими боковыми гранями 9 см. Найдите объем призмы.

Задание 9. Основание прямой призмы - ромб, площади диагональных сечений призмы равны 30 см2 и 40 см2. Вычислите объем призмы, если известно, что площадь ее основания равна 24 см2.

Задание 10. В правильной четырехугольной призме сумма площадей оснований равна площади ее боковой поверхности. Вычислите объем призмы, если диаметр окружности, описанной около сечения призмы плоскостью, проходящей через две вершины нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания, равен 3 см.

Вариант 4

Задание 1. Укажите тип призмы, изображенной на рисунке…

D:\моя\Математика\Стереометрия\Рисунки\параллеп.jpg

1) прямая; 2) наклонная; 3) прямоугольная; 4) четырехугольная.

Задание 2. Если в основании призмы лежит равнобедренный треугольник, то площадь основания равна…

1) S=ah, где a – основание треугольника, h – высота, проведенная к основанию;

2) S=, где a – основание треугольника, h – высота, проведенная к основанию;

3) S=a2sin, где a – основание треугольника, - угол между сторонами.

Задание 3. Вычислить объем правильной шестиугольной призмы со стороной основания 2 см и высотой см.

Задание 4. Найдите высоту призмы, если ее объем 8 см3, а основанием служит прямоугольный треугольник с углом 45º и гипотенузой см.

Задание 5. Найдите площадь большей боковой грани призмы, если ее основанием служит прямоугольный треугольник с катетами 4 см и 3 см, а объем призмы равен 36 см3.

Задание 6. Найдите объем правильной шестиугольной призмы ABCDFEA1B1C1D1F1E1 диагонали B1F и B1E которой равны соответственно см и см.

Задание 7. Основанием наклонной призмы служит параллелограмм со сторонами 3 и 6 и острым углом 45О. Боковое ребро призмы имеет длину и наклонено к плоскости основания под углом 30О. Найдите объем призмы.

Задание 8. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4 см. Площадь сечения, проведенного через другой катет и противолежащую ему вершину верхнего основания, равна 15 см2. Найдите объем призмы, если длина ее бокового ребра равна 3 см.

Задание 9. В правильной шестиугольной призме площадь наибольшего диагонального сечения равна 36 см2, а расстояние между двумя противолежащими боковыми гранями 9 см. Найдите объем призмы.

Задание 10. Основание прямой призмы - равнобедренный треугольник. Радиус окружности, описанной около треугольника основания, равен 4 см, а угол при его основании равен 30°. Вычислите объем призмы, если ее боковое ребро равно боковой стороне треугольника, служащего основанием призмы.

Вариант 5

Задание 1. Укажите тип призмы, изображенной на рисунке…

D:\моя\Математика\Стереометрия\Рисунки\7-7-2.jpg

1) правильная; 2) прямая; 3) треугольная; 4) четырехугольная.

Задание 2. Объем призмы вычисляется по формуле…

1) , где Sосн – площадь основания, l – длина бокового ребра

2) , где Sосн – площадь основания, h – высота призмы

3) , где Sосн – площадь основания, h – высота призмы

Задание 3. Основанием призмы служит параллелограмм со сторонами 4 см и 5 см, угол между сторонами равен 30О. Вычислить объем призмы, если ее высота равна 4 см.

Задание 4. Найдите площадь основания призмы, если ее объем равен 50 см3, а высота – 5 см.

Задание 5. Найдите объем правильной треугольной призмы, если ее боковая грань – квадрат площадью 12 см2

Задание 6. Найдите объем правильной четырехугольной призмы, сторона основания которой равна 5 см., а угол между пересекающимися диагоналями двух смежных граней 60О.

Задание 7. В наклонной треугольной призме основанием служит правильный треугольник со стороной, равной 4 см. Одна из его вершин проектируется в центр нижнего основания. Боковые ребра призмы составляют с основанием угол 60О. Найдите объем призмы.

Задание 8. Основание прямой призмы - ромб, площади диагональных сечений призмы равны 30 см2 и 40 см2. Вычислите объем призмы, если известно, что площадь ее основания равна 24 см2.

Задание 9. Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция АВСD со сторонами АВ=СD=13 см, ВС=11 см и АD=21 см. Площадь ее диагонального сечения равна 180 см2. Определить объем призмы.

Задание 10. В правильной четырехугольной призме радиус окружности, описанной около диагонального сечения, равен см. Вычислите объем призмы, если известно, что боковое ребро призмы в два раза больше стороны основания.


Объем пирамиды

Вариант 1

Задание 1. Укажите тип пирамиды, изображенной на рисунке…

D:\моя\Математика\Стереометрия\Рисунки\4пирамида.jpg

1) правильная; 2) треугольная; 3) четырехугольная; 4) наклонная.

Задание 2. Объем пирамиды находится по формуле…

1) ;

2) ;

3) .

Задание 3. Найдите объем пирамиды, если в основании пирамиды лежит квадрат со стороной 2 см, а ее высота равна 3 см.

Задание 4. Основание пирамиды — треугольник, длины двух сторон которого равны 2 см и 6 см, а угол между этими сторонами 30О. Объем пирамиды равен 3 см3. Найдите высоту пирамиды.

Задание 5. Основание пирамиды - квадрат со стороной см. Вычислите объем пирамиды, если длина каждого бокового ребра пирамиды равна 5 см.

Задание 6. Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна см, а ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60О. Вычислите объем пирамиды.

Задание 7. Длины сторон оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 2 см и 10 см, а длина бокового ребра - см. Вычислите объем пирамиды.

Задание 8. Основание пирамиды - прямоугольный треугольник. Боковые ребра пирамиды равны. Боковые грани, проходящие через катеты, составляют с плоскостью основания углы 30О  и 60О . Найти объем пирамиды, если ее высота равна 3 см.

Задание 9. Основанием пирамиды DABC является треугольник, в котором АВ=20 см, АС=29 см, ВС=21 см. Грани DAB и DAC перпендикулярны к плоскости основания, а грань DBC составляет с ней угол в 60О. Найдите объем пирамиды.

Задание 10. Основанием четырехугольной пирамиды SABCD служит прямоугольник ABCD. Точка F лежит на ребре SC, причем SF:SC=2:3 Чему равно значение 9V:V1, если V1 – объем пирамиды, а V – объем верхней части пирамиды, отсеченной плоскостью, проходящей через точки A, D и F?

Вариант 2

Задание 1. Укажите тип пирамиды, изображенной на рисунке…

D:\моя\Математика\Стереометрия\Рисунки\Пирамида\f3.jpg

1) правильная; 2) треугольная; 3) четырехгранная;
4) равносторонняя.

Задание 2. Объем усеченной пирамиды находится по формуле…

1) ;

2) ;

3) .

Задание 3. Найдите объем пирамиды, если в основании пирамиды лежит прямоугольник со сторонами 2 см и 3 см, если высота пирамиды 4 см.

Задание 4. Объем правильной шестиугольной пирамиды равен 12 см3. Найдите сторону основания пирамиды, если ее высота пирамиды см.

Задание 5. Вычислите объем правильной треугольной пирамиды, если длина стороны ее основания равна см, а длина бокового ребра - 4 см.

Задание 6. Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равна 16 см2. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину высоты пирамиды и параллельной плоскости боковой грани.

Задание 7. Найдите объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если длины сторон оснований равны и , а острый угол грани равен 60О.

Задание 8. Основанием пирамиды служит треугольник с длинами сторон 2 см, см и 2 см. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 60о. Найти объем пирамиды.

Задание 9. Длина стороны основания правильной треугольной пирамиды равна 6, двугранный угол при основании равен 45О. Найдите объем пирамиды.

Задание 10. Основанием четырехугольной пирамиды SABCD служит прямоугольник ABCD. Точка F лежит на ребре SC, причем SF:SC=1:6. Чему равно значение 72V:V1, если V1 – объем пирамиды, а V – объем нижней части пирамиды, отсеченной плоскостью, проходящей через точки A, D и F?


Вариант 3

Задание 1. Укажите тип пирамиды, изображенной на рисунке…

D:\моя\Математика\Стереометрия\Рисунки\Пирамида\55.jpg

1) шестиугольная; 2) пятиугольная; 3) четырехугольная;
4) треугольная.

Задание 2. Площадь основания правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле…

1) ;

2) ;

3) .

Задание 3. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна 12 см, а в основании лежит правильный треугольник со стороной 13 см.

Задание 4. В основании пирамиды лежит квадрат. Объем пирамиды равен 36 см3, ее высота 4 см. Чему равна сторона основания пирамиды?

Задание 5. Найдите объем пирамиды, если основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник с меньшим катетом см и острым углом 30О и высота пирамиды равна гипотенузе основания.

Задание 6. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды составляет с плоскостью основания угол 45О, а площадь диагонального сечения равна 36.

Задание 7. Найдите объем усеченной пирамиды, основаниями которой служат равнобедренные треугольники с углом 60О при вершине. Высоты треугольников равны 3 см и 4 см, а высота пирамиды равна см.

Задание 8. Основанием пирамиды служит ромб со стороной равной см, и углом 30О. Боковые грани, проходящие через стороны острого угла ромба, перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к нему под углом 60О. Найдите объем пирамиды.

Задание 9. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если длина стороны ее основания равна , а двугранный угол при основании равен 60О.

Задание 10. Основанием четырехугольной пирамиды SABCD служит прямоугольник ABCD. Точка F лежит на ребре , причем :=2:5. Чему равно значение 25V:V1, если V1 – объем пирамиды, а V – объем верхней части пирамиды, отсеченной плоскостью, проходящей через точки A, D и F?


Вариант 4

Задание 1. Укажите тип пирамиды, изображенной на рисунке…

D:\моя\Математика\Стереометрия\Рисунки\Пирамида\f1.jpg

1) правильная; 2) прямая; 3) усеченная; 4) прямоугольная.

Задание 2. Площадь треугольника по трем его сторонам находится по формуле…

1) S=, где a, b и c – стороны треугольника, p – периметр;

2) S=p(p-a)(p-b)(p-c), где a, b и c – стороны треугольника, p – полупериметр;

3) S=, где a, b и c – стороны треугольника, p – полупериметр.

Задание 3. Найдите объем пирамиды, если основанием треугольной пирамиды служит прямоугольный треугольник с гипотенузой длиной 8 см и острым углом 45О и высота пирамиды равна 3 см.

Задание 4. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 18 см3. Вычислите высоту пирамиды, если площадь ее основания равна 9 см2.

Задание 5. Найдите объем пирамиды, если все ребра правильной четырехугольной пирамиды имеют длину см.

Задание 6. В тетраэдре ребра равны см. Через середину ребра проведена перпендикулярная ему плоскость. Найдите объем пирамиды, вершина которой совпадает с вершиной тетраэдра, а основанием является полученное сечение.

Задание 7. Найдите объем усеченной пирамиды, если ее высота равна , а основаниями служат прямоугольные треугольники с углом 60О и гипотенузами 6 и 4.

Задание 8. Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см. Вычислите объем пирамиды, если угол между апофемами смежных боковых граней равен 60О.

Задание 9. Основанием пирамиды является ромб со стороной 6 см. каждый из двугранных углов при основании равен 45О. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна 1,5 см.

Задание 10. Основанием четырехугольной пирамиды SABCD служит прямоугольник ABCD. Точка F лежит на ребре , причем СF:=5:7. Чему равно значение , если V0 – объем пирамиды, а V – объем верхней части пирамиды, отсеченной плоскостью, проходящей через точки A, D и F?

Вариант 5

Задание 1. Укажите тип пирамиды, изображенной на рисунке…

D:\моя\Математика\Стереометрия\Рисунки\4пирамида.jpg

1) четырехугольная; 2) правильная; 3) треугольная; 4) наклонная.

Задание 2. Площадь равностороннего треугольника находится по формуле…

1) ;

2) ;

3) .

Задание 3. Высота правильной треугольной пирамиды равна см. Вычислить объем пирамиды, если длина стороны ее основания равна 2 см.

Задание 4. Найдите сторону основания правильной четырехугольной пирамиды, если ее объем равен 16 см3, а высота 3 см.

Задание 5. Найдите объем пирамиды, если основание пирамиды – равнобедренный треугольник, длина основания которого равна 6 см, высота – 9 см, а длина каждого бокового ребра равна 13 см.

Задание 6. Вычислите площадь диагонального сечения правильной четырехугольной пирамиды, если ее объем равен 24 см3, а длина стороны основания равна см.

Задание 7. Найдите объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равна 6 см и 4см, а площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, равна 15 см2.

Задание 8. Основанием четырехугольной пирамиды является прямоугольник с диагональю длиной см и углом 60О между диагоналями. Каждое из боковых ребер образует с плоскостью основания угол 45О. Найти объем пирамиды.

Задание 9. Основанием пирамиды служит ромб со стороной см и острым углом 60О. Найдите объем пирамиды, если ее двугранные углы при ребрах основания равны 45О.

Задание 10. Основанием четырехугольной пирамиды SABCD служит прямоугольник ABCD. Точка F лежит на ребре SB, причем SF:SB=1:4. Чему равно значение , если V0 – объем пирамиды, а V – объем нижней части пирамиды, отсеченной плоскостью, проходящей через точки A, D и F?

Цилиндр

Вариант 1

Задание 1. Используя рисунок, укажите высоту цилиндра…

1) AO; 2) AB; 3) AD; 4) AC.

Задание 2. Объем цилиндра вычисляется по формуле…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Задание 3. Площадь основания цилиндра равна 144 см2. Чему равен радиус основания цилиндра?

Задание 4. Объем цилиндра равен 175 см3. Радиус основания – 5 см. Найдите высоту цилиндра.

Задание 5. Чему равна площадь осевого сечения цилиндра, если длина окружности основания цилиндра равна 4, а высота цилиндра 2 см?

Задание 6. Высота цилиндра равна 12 см, а радиус основания равен 10 см. цилиндр пересечен плоскостью, параллельной его оси так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости.

Задание 7. Развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой квадрат, площадь которого равна 76π. Найдите площадь основания цилиндра.

Задание 8. Диаметр основания цилиндра равен 1 м, высота цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Задание 9. Площадь полной поверхности цилиндра равны 264 см2. Образующая цилиндра на 4 см больше диаметра его основания. Найдите длину диагонали осевого сечения цилиндра.

Задание 10. Цилиндр образован вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Найдите объем цилиндра, если площадь этого прямоугольника 12 см2, а длина окружности, описанная точкой пересечения диагоналей прямоугольника равна 4 см.


Вариант 2

Задание 1. Используя рисунок, укажите радиус основания цилиндра …

1) AB; 2) OS; 3) AD; 4) OB.

Задание 2. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Задание 3. Высота цилиндра 4 см, радиус основания – 3 см. Чему равна площадь основания цилиндра?

Задание 4. Объем цилиндра равен 90 см3. Вычислите радиус основания цилиндра, если его высота 10 см.

Задание 5. Площадь осевого сечения цилиндра равна 60 см2, а его высота – 10 см. Вычислите радиус основания цилиндра.

Задание 6. Высота цилиндра равна 10 дм. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удаленной на 9 дм от нее, равна 240 дм2. Найдите радиус цилиндра.

Задание 7. Высота цилиндра равна длине окружности его основания. Найдите объем цилиндра, если площадь развертки боковой поверхности цилиндра равна .

Задание 8. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 5π см2. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Задание 9. Площадь полной поверхности цилиндра равна 80 см2. Площадь боковой поверхности равна половине полной поверхности. Вычислите радиус окружности, описанной около осевого сечения цилиндра.

Задание 10. Объем цилиндра равен см3. Через образующую цилиндра проведены два взаимно перпендикулярных сечения, периметры которых равны 18 см и 36 см. Найдите разность площадей данных сечений.


Вариант 3

Задание 1. Используя рисунок, укажите диаметр основания цилиндра …

1) AB; 2) OB; 3) BC; 4) OS.

Задание 2. Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле…

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Задание 3. Чему равен радиус основания цилиндра, если площадь основания равна 81 см2?

Задание 4. Высота цилиндра 4 см, радиус основания – 3 см. Найдите объем цилиндра.

Задание 5. Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м2, а площадь основания – 5 м2. Найдите высоту цилиндра.

Задание 6. Площадь осевого сечения цилиндра равна 4 см2. Вычислите площадь сечения плоскостью, параллельной его оси и проходящей от прямой, содержащей ось, на расстоянии, равном половине радиуса основания.

Задание 7. Развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой квадрат со стороной . Найдите объем цилиндра.

Задание 8. Чему равна площадь боковой поверхности цилиндра, если его высота 4 см, а радиус основания равен 3 см?

Задание 9. Прямоугольник со сторонами длиной и вращается вокруг меньшей стороны. Найдите площадь полной поверхности фигуры вращения.

Задание 10. Развертка боковой поверхности цилиндра прямоугольник c диагональю см и составляющей угол 60O с основанием. Чему равно произведение V, если V – объем цилиндра?


Вариант 4

Задание 1. Используя рисунок, укажите образующую цилиндра …

1) AO; 2) BC; 3) OS; 4) AB.

Задание 2. Площадь основания цилиндра вычисляется по формуле…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Задание 3. Чему равен диаметр основания цилиндра, если длина окружности основания равна 15?

Задание 4. Объем цилиндра равен 32 см3. Высота цилиндра – 2 см. Найдите радиус основания цилиндра.

Задание 5. Радиус основания цилиндра равен 3 см, а его высота – 8 см. Вычислите радиус окружности, описанной около осевого сечения цилиндра.

Задание 6. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 60О. Образующая цилиндра равна 10 см, расстояние от оси до секущей плоскости равно 2 см. Найдите площадь сечения.

Задание 7. Развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник, в котором диагональ составляет угол 60O со стороной, равной высоте цилиндра. Чему равна диагональ прямоугольника, если объем цилиндра равен см3?

Задание 8. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 90 см2. Высота цилиндра равна 5 см. Чему равен радиус основания цилиндра?

Задание 9. Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288π см2. Найдите высоту цилиндра.

Задание 10. Два равных цилиндра, высоты которых больше их диаметров, расположены так, что их оси пересекаются под прямым углом и точка пересечения осей равноудалена от оснований цилиндров. Найдите объем общей части этих цилиндров, если радиус каждого равен 1 см.


Вариант 5

Задание 1. Используя рисунок, укажите ось цилиндра …

1) AD; 2) AB; 3) OS; 4) OB.

Задание 2. Площадь диагонального сечения цилиндра вычисляется по формуле…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Задание 3. Площадь основания цилиндра равна 36 см2. Чему равен диаметр основания?

Задание 4. Вычислите высоту цилиндра, если его объем 160 см3, а диаметр основания равен 8 см.

Задание 5. Найдите диагональ осевого сечения цилиндра, если радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота – 4 м.

Задание 6. В цилиндре, высота которого 6 см, а радиус основания 5 см, проведено сечение, параллельное его оси. Вычислите расстояние от прямой, на которой лежит ось цилиндра, до плоскости сечения, если длина диагонали сечения равна 10 см.

Задание 7. Высота цилиндра равна радиусу его основания. Площадь развертки боковой поверхности цилиндра равна 1002 см2. Найдите площадь основания цилиндра.

Задание 8. Площадь основания цилиндра равна 20 см2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения наклонена к плоскости основания под углом 45О.

Задание 9. Найдите отношение площади полной поверхности цилиндра к площади полной поверхности, если осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник ABCD, в котором AB:AD=1:2.

Задание 10. Цилиндр образован вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Найдите объем цилиндра, если площадь прямоугольника равна 20 см2, а длина окружности, описанной точкой пересечения его диагоналей равна 12 см.


Конус

Вариант 1

Задание 1. Используя рисунок, укажите высоту конуса …

D:\моя\В работе\Геометрия 11\10. Конус\конус1.jpg

1) ОТ; 2) АО; 3) АВ; 4) ТВ.

Задание 2. Объем конуса вычисляется по формуле…

1) , где R – радиус основания конуса, Н – высота конуса;

2) , где R – радиус основания конуса, Н – высота конуса;

3) , где R – радиус основания конуса;

4) , где R – радиус основания конуса, Н – высота конуса.

Задание 3. Длина образующей конуса равна 10 см, а высота конуса – 6 см. Вычислите радиус основания конуса.

Задание 4. Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник. Найдите его площадь, если радиус основания конуса равен 5 см.

Задание 5. Радиус основания конуса равен 3 см, высота – 4 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Задание 6. Радиус основания конуса равен 6, а его высота равна 8. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 4. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

Задание 7. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор с центральным углом 120О и хордой см. чему равно значение , если V – объем конуса.

Задание 8. Площадь боковой поверхности конуса равна 80 см2. Через середину высоты конуса проведена плоскость, перпендикулярная к высоте. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося усеченного конуса.

Задание 9. Прямоугольный треугольник с катетами длиной см и см вращается вокруг меньшего катета. Найти площадь полной поверхности фигуры вращения.

Задание 10. Ромб с диагоналями и вращается вокруг большей диагонали. Найдите объем фигуры вращения.


Вариант 2

Задание 1. Используя рисунок, укажите радиус конуса …

D:\моя\В работе\Геометрия 11\10. Конус\конус1.jpg

1) ОТ; 2) АО; 3) АВ; 4) ТВ.

Задание 2. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле…

1) , где R – радиус основания конуса, L –образующая конуса;

2) , где R – радиус основания конуса, L – образующая конуса;

3) , где R – радиус основания конуса, H – высота конуса;

4) , где R – радиус основания конуса.

Задание 3. Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найдите образующую конуса.

Задание 4. Площадь осевого сечения конуса равна 50 см2, а высота конуса – 10 см. Вычислите радиус основания конуса.

Задание 5. Высота конуса равна 8 см, площадь боковой поверхности конуса - 60 см2. Найдите радиус основания конуса.

Задание 6. Радиус основания конуса с вершиной Р равен 4, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки А и В, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:5. Найдите площадь сечения конуса плоскостью АВР.

Задание 7. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор с центральным углом 90О и хордой см. Чему равно значение , если V – объем конуса.

Задание 8. Равнобедренная трапеция с основаниями 2 см и 3 см и острым углом 60О вращается вокруг меньшего основания. Вычислить объем полученной фигуры вращения.

Задание 9. Прямоугольный треугольник вращается вокруг катета длиной 6 см. Найдите длину другого катета, если площадь полной поверхности конуса равна 144 см2.

Задание 10. Развертка боковой поверхности конуса представляет собой полукруг радиуса 2 см. Найти объем конуса.

Вариант 3

Задание 1. Используя рисунок, укажите диаметр конуса …

D:\моя\В работе\Геометрия 11\10. Конус\конус1.jpg

1) ОТ; 2) АО; 3) АВ; 4) ТВ.

Задание 2. Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле…

1) , где R – радиус основания конуса, L –образующая конуса;

2) , где R – радиус основания конуса, L –образующая конуса;

3) , где R – радиус основания конуса, H – высота конуса;

4) , где R – радиус основания конуса.

Задание 3. Высота конуса равна см. Угол между высотой и образующей конуса – 30О. Найдите радиус основания конуса.

Задание 4. Радиус основания конуса равен 2 см, а его высота – 5 см. Вычислите площадь осевого сечения конуса.

Задание 5. Радиус основания конуса 9 см, а площадь боковой поверхности– 369 см2. Вычислите площадь его осевого сечения конуса.

Задание 6. Высота конуса равна 8 дм. На каком расстоянии от вершины конуса надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь полученного сечения была равна половине площади основания?

Задание 7. Развертка боковой поверхности конуса представляет собой треть круга радиуса см. Найдите площадь основания конуса.

Задание 8. Объем усеченного конуса равен 268 см3. Вычислите площадь боковой поверхности конуса, если длина диагонали осевого сечения равна 15 см, а сумма радиусов оснований – 9 см.

Задание 9. Площадь осевого сечения конуса равна 0,6 см2. Высота конуса равна 1,2 см. Вычислите площадь полной поверхности конуса.

Задание 10. Высота конуса равна 6 см. Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с центральным углом 120О. Найдите объем конуса.


Вариант 4

Задание 1. Используя рисунок, укажите образующую конуса …

D:\моя\В работе\Геометрия 11\10. Конус\конус1.jpg

1) ОТ; 2) АО; 3) АВ; 4) ТВ.

Задание 2. Площадь осевого сечения конуса вычисляется по формуле …

1) , где R – радиус основания конуса, Н – высота конуса;

2) , где R – радиус основания конуса, L – образующая конуса;

3) , где R – радиус основания конуса, Н – высота конуса;

4) , где L – образующая конуса, Н – высота конуса.

Задание 3. Высота конуса равна 15 см, диаметр основания равен 16 см. Найдите образующую конуса.

Задание 4. Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник, площадь которого равна 25 см2. Найдите радиус основания конуса.

Задание 5. Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площадь боковой поверхности образованного при этом вращении конуса.

Задание 6. Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающего дугу в 60О, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол в 30О.

Задание 7. Вычислите площадь основания конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор, радиус которого равен 9 см, а дуга равна 120О.

Задание 8. Длина диагонали осевого сечения усеченного конуса равна 17 см, а его высота – 15 см. Длина проекции образующей на плоскость основания равна 2 см. Вычислите объем усеченного конуса.

Задание 9. Равносторонний треугольник вращается вокруг высоты длиной . Найдите площадь полной поверхности фигуры вращения.

Задание 10. Дан равнобедренный треугольник АВС (ВС=ВА=5 см, АС=6 см). Вычислите объем тела, образованного вращением этого треугольника вокруг стороны АС.


Вариант 5

Задание 1. Используя рисунок, укажите высоту осевого сечения конуса …

D:\моя\В работе\Геометрия 11\10. Конус\конус1.jpg

1) ОТ; 2) АО; 3) АВ; 4) ТВ.

Задание 2. Площадь основания конуса вычисляется по формуле …

1) , где R – радиус основания конуса, Н – высота конуса;

2) , где R – радиус основания конуса;

3) , где R – радиус основания конуса, Н – высота конуса;

4) , где R – радиус основания конуса.

Задание 3. Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углов в 60О. Найдите радиус основания конуса.

Задание 4. Диаметр основания конуса равен 12, а длина образующей - 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Задание 5. Площадь основания конуса равна 9 см2. Образующая конуса – 6 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Задание 6. Через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 120О, проведено сечение, составляющее с плоскостью основания угол в 45О. Найдите площадь сечения, если радиус основания равен 4 см.

Задание 7. Вычислите центральный угол развертки боковой поверхности конуса, если его высота равна 8 см, а радиус основания равен 6 см.

Задание 8. Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 см и 4 см, образующая – 5 см. Найдите площадь полной поверхности усеченного конуса.

Задание 9. Равнобедренный треугольник с длиной основания и высотой вращается вокруг высоты. Найдите площадь полной поверхности фигуры вращения.

Задание 10. Радиус основания конуса равен см. Две взаимно перпендикулярные образующие делят площадь боковой поверхности конуса в отношении 1:2. Найдите объем конуса.


Сфера

Вариант 1

Задание 1. Используя рисунок, укажите диаметр сферы…

D:\моя\В работе\Геометрия 11\11. Шар\шар1.jpg

1) АС; 2) ОМ; 3) СТ; 4) АВ.

Задание 2. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется…

1) радиусом сферы;

2) хордой сферы;

3) диаметром сферы.

Задание 3. Найдите площадь сферы радиусом 15 см.

Задание 4. Длина большой окружности сферы равна 20 см. Чему равен радиус сферы?

Задание 5. Площадь сечения сферы плоскостью равна 9 см2. Найдите радиус сферы, если плоскость расположена на расстоянии 4 см от центра сферы.

Задание 6. Точки А и В сферы расположены симметрично от ее центра О. Вычислите площадь сферы, если расстояние между точками А и В равно 8 см.

Задание 7. Вершины треугольника АВС лежат на сфере радиуса 13 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=6 см, ВС=8 см, АС=10 см.

Задание 8. Точка М – середина отрезка АВ, концы которого лежат на сфере радиусом 50 см с центром в точке О. Найдите длину отрезка ОМ, если АВ=40 см.

Задание 9. Сфера касается всех сторон равнобедренной трапеции. Точка касания делит боковую сторону трапеции на части 4 см и 9 см. Вычислите радиус сферы, если расстояние от центра сферы до плоскости трапеции равно 8 см.

Задание 10. Плоскость перпендикулярная диаметру сферы, делит его на отрезки, длины которых 1 см и 3 см. Вычислите отношение площадей частей сферы, на которые плоскость разбивает сферу.


Вариант 2

Задание 1. Используя рисунок, укажите радиус сферы…

D:\моя\В работе\Геометрия 11\11. Шар\шар1.jpg

1) АС; 2) ОВ; 3) СТ; 4) АВ.

Задание 2. Большая окружность – это окружность…

1) максимального радиуса;

2) радиус которой равен радиусу сферы;

3) радиус которой равен диаметру сферы.

Задание 3. Диаметр сферы равен 12 см. Чему равна площадь сферы?

Задание 4. Найдите площадь большой окружности, если радиус сферы равен 7 см.

Задание 5. Сфера радиуса 10 см пересечена плоскостью, находящейся на расстоянии 8 см от центра. Вычислите площадь сечения сферы данной плоскостью.

Задание 6. Плоскость пересекает сферу по окружности радиуса 3 см. Вычислите площадь сферы, если расстояние от центра сферы до секущей плоскости равно 4 см.

Задание 7. Стороны треугольника касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если его стороны равны 10 см, 10 см и 12 см.

Задание 8. Точка М – середина отрезка АВ, концы которого лежат на сфере радиусом 15 мм с центром в точке О. Найдите длину отрезка ОМ, если АВ=18 мм.

Задание 9. Сфера радиусом 15 см касается сторон равнобедренной трапеции, параллельные стороны которой равны 16 см и 36 см. На каком расстоянии от плоскости трапеции находится центр сферы?

Задание 10. Плоскость, перпендикулярная диаметру сферы, делит его на отрезки 4 см и 16 см. Вычислите длину линии пересечения сферы и плоскости.


Вариант 3

Задание 1. Используя рисунок, укажите радиус большого круга сферы…

D:\моя\В работе\Геометрия 11\11. Шар\шар1.jpg

1) АС; 2) ОМ; 3) СТ; 4) АВ.

Задание 2. Любая плоскость пересекает сферу по…

1) кругу;

2) прямой;

3) окружности.

Задание 3. Найдите площадь сферы, если ее диаметр равен 8 см.

Задание 4. Найдите длину большой окружности, если радиус сферы равен 4 см.

Задание 5. Диаметр сферы равен 26 см. Вычислите длину линии пересечения сферы с плоскостью, удаленной от ее центра на расстояние 5 см.

Задание 6. Площадь сечения сферы, проходящего через ее центр, равна 9 см2. Найдите площадь сферы.

Задание 7. Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13 см, ВС=14 см, СА=15 см.

Задание 8. Точка М – середина отрезка АВ, концы которого лежат на сфере радиусом 10 дм с центром в точке О. Найдите длину отрезка АВ, если ОМ=60 см.

Задание 9. Секущая плоскость проходит через конец диаметра сферы радиуса 2 см так, что угол между диаметром и плоскостью равен 30О. Найдите длину окружности, получившейся в сечении.

Задание 10. Диаметр сферы разделен на три части в отношении 1:3:2, и через точки деления проведены перпендикулярные ему плоскости. Вычислите радиус сферы, если сумма площадей сечений равна 52 см2.


Вариант 4

Задание 1. Используя рисунок, укажите центр сферы…

D:\моя\В работе\Геометрия 11\11. Шар\шар1.jpg

1) С; 2) А; 3) О; 4) В.

Задание 2. Прямая проходящая через центр сферы называется ее…

1) осью;

2) радиусом;

3) хордой.

Задание 3. Найдите площадь сферы, радиус которой равен 6 см.

Задание 4. Площадь большой окружности сферы равна 64 см2. Чему равен радиус сферы?

Задание 5. Плоскость пересекает сферу по окружности радиуса 3 см. Вычислите расстояние от центра сферы до секущей плоскости, если радиус сферы равен 5 см.

Задание 6. Точки А и В расположены на сфере с центром в точке О так, что ОАОВ. Вычислите площадь сферы, если расстояние между точками А и В равно 16 см.

Задание 7. Вершины равностороннего треугольника АВС лежат на сфере радиуса 10 см. Вычислите радиус окружности, описанной около этого треугольника, если расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно 8 см.

Задание 8. Расстояние между точками А и В сферы равно 8 см. Чему равен радиус сферы, если отрезок АВ, перпендикулярный радиусу делит его в отношении 3:2 считая от центра?

Задание 9. Через точку А, лежащую на сфере, радиус которой равен 10 см, проведена плоскость. Угол между этой плоскостью и радиусом, проведенным в точку А, равен 60О. Вычислите длину линии пересечения сферы с плоскостью.

Задание 10. Сечения сферы параллельными плоскостями имеют длины 20 см и 48 см. Вычислите радиус сферы, если расстояние между плоскостями равно 14 см, а центра сечений лежат на одном радиусе.


Вариант 5

Задание 1. Используя рисунок, укажите радиус сечения сферы плоскостью, не проходящей через центр сферы…

D:\моя\В работе\Геометрия 11\11. Шар\шар1.jpg

1) ОМ; 2) ОА; 3) СА; 4) ТС.

Задание 2. Сфера - это фигура, состоящая из всех точек пространства, удаленных от данной точки…

1) на расстоянии меньше заданного;

2) на заданном расстоянии;

3) на расстоянии больше заданного.

Задание 3. Диаметр сферы равен 8 см. Чему равна его поверхность?

Задание 4. Длина большой окружности сферы равна 20 см. Чему равен диаметр сферы?

Задание 5. Вычислите радиус сферы, если ее центр О находится на расстоянии 4 см от центра С окружности, полученной в сечении, а радиус этой окружности равен 3 см.

Задание 6. Радиусы двух параллельных сечений сферы равны 9 см и 12 см. Расстояние между секущими плоскостями равно 3 см. Найдите площадь сферы.

Задание 7. Вершины прямоугольного треугольника АВС (АСВ=90О, АС=8 см, ВС=6 см) лежат на поверхности сферы с центром в точке О. Вычислите радиус сферы, если расстояние от ее центра до плоскости треугольника АВС равно см.

Задание 8. Точки F и Т лежат на лучах ОС и OD соответственно так, что каждый из отрезков OF и ОТ равен диаметру сферы. Найдите длину отрезка FT, если радиус сферы равен 1 см, а угол COD=60О.

Задание 9. Сфера радиуса см касается всех сторон прямоугольного треугольника ABD (ADB=90О), длины сторон которого 3 см, 4 см и 5 см. Вычислите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника.

Задание 10. В сфере проведены два взаимно перпендикулярных сечения на расстоянии 8 см и 12 см от центра. Вычислите радиус сферы, если длина общей хорды сечений равна 18 см.


Шар

Вариант 1

Задание 1. Используя рисунок, укажите радиус шара…

D:\моя\В работе\Геометрия 11\11. Шар\шар.jpg

1) АВ; 2) ОС; 3) ОА; 4) СТ.

Задание 2. Объем шарового сегмента вычисляется по формуле…

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Задание 3. Радиус шара равен 7 см. Чему равна площадь его поверхности?

Задание 4. Площадь сферического сегмента равна 40 см2. Чему равен радиус сегмента, если его высота 4 см?

Задание 5. Расстояние от центра шара радиуса 12 см до секущей плоскости равно 8 см. Найдите площадь сечения.

Задание 6. Сечение шара двумя параллельными плоскостями, между которыми лежит центр шара, имеют площади 144 см2 и 252. Вычислите радиус шара, если расстояние между параллельными плоскостями равно 17 см.

Задание 7. Через конец радиуса шара под углом 60о проведена плоскость. Найти объем шара, если площадь полученного сечения равна см2.

Задание 8. Линия пересечения шара с плоскостью, удаленной от центра сферы на 8 см, имеет длину 12 см. Вычислите площадь меньшей из частей шара, на которые плоскость разбивает шар.

Задание 9. Через конец радиуса шара под углом 60О проведена плоскость. Найдите объем шара, если площадь полученного сечения равна .

Задание 10. В шаре радиусом 15 см через его центр просверлено отверстие радиусом 9 см. Найдите объем полученной фигуры.


Вариант 2

Задание 1. Используя рисунок, укажите диаметр шара…

D:\моя\В работе\Геометрия 11\11. Шар\шар.jpg

1) АВ; 2) ОС; 3) ОА; 4) СТ.

Задание 2. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле…

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Задание 3. Чему равен радиус шара, если площадь его поверхности равна 100 см2?

Задание 4. Площадь сферического сегмента высотой 3 см равна 24 см2. Чему равен радиус сегмента?

Задание 5. Шар радиуса 10 см пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 8 см от центра. Вычислите площадь сечения шара данной плоскостью.

Задание 6. Радиус шара 10 см. Две параллельные плоскости расположены по разные стороны от центра шара. Вычислите расстояние между плоскостями, если площади сечений шара данными плоскостями равны 36 см2 и 64 см2.

Задание 7. Плоскость сечения шара делит его радиус, перпендикулярный этой плоскости, в отношении 1:3 (считая от центра). Площадь поверхности шара равна 96. Найдите площадь сечения.

Задание 8. Плоскость делит шар на два сферических сегмента, площади поверхностей которых относятся как 1:4. Найдите площадь поверхности шара.

Задание 9. Радиус круга, полученного при сечении шара плоскостью, вдвое меньше радиуса шара. Найдите объем шара, если площадь сечения равна .

Задание 10. Металлический шар переплавлен в 27 равных между собой шаров. Во сколько раз увеличилась при этом общая поверхность?


Вариант 3

Задание 1. Используя рисунок, укажите радиус сечения шара плоскостью…

D:\моя\В работе\Геометрия 11\11. Шар\шар.jpg

1) АВ; 2) ОС; 3) ОА; 4) СТ.

Задание 2. Площадь сегментной поверхности шара вычисляется по формуле…

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Задание 3. Диаметр шара равен 8 см. Чему равна площадь его поверхности?

Задание 4. Чему равен объем шарового сегмента, если его высота 6 см, а радиус – 8 см?

Задание 5. Площадь сечения шара плоскостью равна 36 см2. Найдите диаметр шара, если плоскость находится на расстоянии 8 см от центра шара.

Задание 6. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на отрезки длиной 4 см и 25 см. Вычислите площадь сечения шара данной плоскостью.

Задание 7. Площадь сечения шара некоторой плоскостью равна 4 см2, а расстояние от центра шара до этой плоскости равно 4 см. Вычислите площадь сферы, которая служит границей данного шара.

Задание 8. Сечение шара плоскостью, находящейся от его центра на расстоянии 12 см, имеет площадь 25 см2. Вычислите площадь большей из частей сферы, на которые плоскость разбивает поверхность шара.

Задание 9. Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объем общей части шаров к объему одного шара?

Задание 10. На отрезке АВ как на диаметре построена полуокружность с центром в точке О, а на отрезках ОА и ОВ построены две полуокружности, расположенные в той же полуплоскости с границей АВ, что и первая. Найдите поверхность тела, которое образовано вращением вокруг АВ фигуры, ограниченной этими тремя полуокружностями, если АВ=20 см.


Вариант 4

Задание 1. Используя рисунок, укажите высоту шарового сегмента…

D:\моя\В работе\Геометрия 11\11. Шар\шар.jpg

1) АВ; 2) ОС; 3) СА; 4) СТ.

Задание 2. Объем шара вычисляется по формуле…

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Задание 3. Чему равен радиус шара, если его объем равен 36 см3?

Задание 4. Чему равен диаметр шара, если площадь его поверхности равна 16 см2?

Задание 5. Шар радиуса 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.

Задание 6. Через точку, делящую радиус шара пополам, проведена секущая плоскость, перпендикулярная этому радиусу. Вычислите площадь получившегося сечения, если радиус шара равен 4 см.

Задание 7. Шар пересечен плоскостью, отстоящей от центра шара на . Найдите площадь сечения, если площадь поверхности шара равна 78.

Задание 8. Определить объем шарового сектора, если радиус окружности его основания равен 9 см, а сегментная поверхность равна 90 см2.

Задание 9. Объем шара равен 36. Найдите объем другого шара, у которого площадь поверхности в 9 раз больше, чем у данного шара.

Задание 10. На отрезке АВ как на диаметре построена полуокружность с центром в точке О, а на отрезках ОА и ОВ построены две полуокружности, расположенные в той же полуплоскости с границей АВ, что и первая. Найдите объем тела, которое образовано вращением вокруг АВ фигуры, ограниченной этими тремя полуокружностями, если АВ=20 см.


Вариант 5

Задание 1. Используя рисунок, укажите радиус шарового сегмента…

D:\моя\В работе\Геометрия 11\11. Шар\шар.jpg

1) АВ; 2) ОС; 3) ОА; 4) СТ.

Задание 2. Объем шарового сектора вычисляется по формуле…

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Задание 3. Чему равен объем шарового сектора, если его радиус 3 см, а высота – 2 см?

Задание 4. Площадь поверхности шара равна 81 см2. Чему равен объем шара?

Задание 5. Диаметр шара 52 см, а секущая плоскость удалена от его центра на 10 см. Вычислите площадь круга, полученного при пересечении шара и плоскости.

Задание 6. В шаре проведены два взаимно перпендикулярных сечения на расстоянии 8 см и 12 см от центра. Вычислите радиус шара, если длина общей хорды сечений равна 18 см.

Задание 7. Площадь сечения шара плоскостью равна 15. Расстояние от секущей плоскости до центра шара равно . Найдите площадь поверхности шара.

Задание 8. Определить высоту шарового сектора, объем которого равен 512 см3, а сегментная поверхность равна 96 см2.

Задание 9. Через точку С, делящую радиус ОА шара пополам, проведена секущая плоскость, перпендикулярная этому радиусу. Вычислите площадь сферы, которая служит границей данного шара, если площадь сечения шара равна 12 см2.

Задание 10. Площадь сечения шара плоскостью в 8 раз меньше площади поверхности шара. Найдите расстояние от плоскости сечения до центра шара, если радиус равен


Ответы

Изображение многогранников

 

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Задание 1

3

2

3

1

4

Задание 2

2

4

4

2

4

Задание 3

4

6

4

3

4

Задание 4

ABCD, A1B1C1D1

ABCD, A1B1C1D1

ABCD, A1B1C1D1

ABCD, A1B1C1D1

ABC, A1B1C1

Задание 5

1; 3

1; 3

1; 2

1; 2

1; 3

Задание 6

2

2

2

2

2

Задание 7

Задание 8

Задание 9

D:\2019\1-1.jpg

D:\2019\1-2.jpg

D:\2019\3 вида\1-3.jpg

D:\2019\3 вида\1-4.jpg

D:\2019\3 вида\1-5.jpg

Задание 10

D:\2019\2 вида\11.jpg

D:\2019\2 вида\13.jpg

D:\2019\2 вида\14.jpg

D:\2019\2 вида\12.jpg

D:\2019\2 вида\15.jpg

 


Аксиомы стереометрии

 

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Задание 1

2; 3

2;

1; 3

1; 4

2; 3

Задание 2

2

3

2

3

1

Задание 3

1; 3

1; 3

2; 3

1; 2

2; 3

Задание 4

2

3

1

4

2

Задание 5

Q; C

R

D

C

AB

Задание 6

B

ABC

A; C

BC

C

Задание 7

28

27

31

40

27

Задание 8

20

5

4

19

5

Задание 9

Если три прямые попарно пересекаются, то у них может быть либо одна общая точка пересечения, либо три. Согласно теореме через три точки, не лежащие на одной прямой можно провести плоскость и притом только одну.

Если через прямую и точку провести произвольную прямую, получим две пересекающиеся. Согласно теореме через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Согласно теореме через три точки не лежащие на одной прямой можно провести плоскость и притом только одну.

По аксиоме существуют точки, принадлежащие  плоскости и не принадлежащие ей. Через две точки можно провести прямую. Поскольку одна точка принадлежит плоскости, прямая пересекает плоскость в этой точке.

Прямые пересекающиеся в точке М лежат в одной плоскости. Прямые, пересекающие данные прямые также лежат в одной плоскости. Эти плоскости совпадают, следовательно, все прямые, не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости.

Задание 10

6

4

8

5

5

 


Построение сечений

 

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Задание 1

1

2

3

1

2

Задание 2

ACC1A1;

BDD1B1

ACC1A1;

BDD1B1

ACC1A1;

BDD1B1

ACC1A1;

BDD1B1

ACS;

DBS

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Задание 6

Задание 7

Задание 8

Задание 9

20

24

12

12

10

Задание 10

20

15

6

120

18

Параллельные прямые в пространстве

 

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Задание 1

2

3

4

3

1

Задание 2

1

3

3

1

2

Задание 3

75О; 105О

10; 18

5; 6

5; 9

3; 4

Задание 4

5

6

3

15

4

Задание 5

22

9

12

6

12

Задание 6

3

15

6

8

20

Задание 7

16

5

3

8

18

Задание 8

Соединим точки В и С с К, получим треугольник ВСК. MN – средняя линия треугольника ВСК. MN||ВС,  ВС||AD, отсюда MN||AD.

TF – средняя линия треугольника А1В1В, следовательно, TF||А1В. Отрезок ОК – средняя линия треугольника А1С1В, значит, ОК||A1В. Отсюда ТF||ОК.

EF – средняя линия треугольника АВ1С, EF||FC. АС||КТ (КТ - средняя линия треугольника ACD). Таким образом, EF||АС и АС||КТ. Отсюда EF||КТ.

А1В1 - средняя линия треугольника ABC, А1В1||AC, C1D1 - средняя линия треугольника ACD, C1D1||АС. А1В1||C1D1, значит, лежат в одной плоскости. Аналогично A1D1||В1С1. Значит, четырехугольник А1В1C1D1 параллелограмм.

Через точку А проведем прямую АМ||а, а||α. Точка Аα, значит, АМα. Аналогично, аβ. Так как, прямые АВ||а, а||β, то  прямая АМβ, то есть совпадает с линией пересечения плоскостей - прямой АВ. Значит, АВ||а.

Задание 9

2

8

2

2

2

Задание 10

3

2

3

2

2

 


Параллельность прямой и плоскости

 

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Задание 1

1

3

2

4

3

Задание 2

1; 4

2; 3

1; 2

2; 4

2; 3

Задание 3

1

2

1

2

2

Задание 4

13

12

9

15

4

Задание 5

12

40

32

24

24

Задание 6

48

12

15

16

1

Задание 7

3

5

3

8

3

Задание 8

1

4

18

6

12

Задание 9

В D1CF точки К и О – середины сторон D1F и D1C соответственно (точка О – середина отрезка D1С). Следовательно, ОК||ВС. В1С1 и ВС – противолежащие стороны параллелограмма. ОК||В1С1. Следовательно, ОК||А1В1С1.

В AB1D отрезок OF средняя линия, следовательно, OF||АВ1. Так как AD=A1D1 и A1D1=B1C1, то AD=В1С1. Кроме того, AD||A1D1 и A1D1||В1С1, следовательно, AD||В1С1. Отсюда АВ1С1D – параллелограмм. АВ1||DC1. OF||AB1, 1||DC1. Следовательно, OF||DC1. DC1DCC1. Отсюда OF||DCC1.

- средняя линия . - середина , следовательно, точка пересечения диагоналей верхнего основания и сечение содержит диагональ . является искомым сечением.

= по двум катетам, поэтому , Отсюда - равнобедренный.

Прямые KL||MN, прямая KLDKL. Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости, MN||DKL.

Прямая m||l и не лежит в плоскостях α и β. Докажем, что m||α, и m||β.

Прямая lα, m||l. Отсюда m||α.

Аналогично, доказывается, что m||β.

Задание 10

180

62

10

180

6

 


Скрещивающиеся прямые

 

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Задание 1

2

1

3

4

2

Задание 2

4

3

1

2

4

Задание 3

2

2

3

2

2

Задание 4

0О

45О

60О

90О

45О

Задание 5

30О

45О

30О

30О

90О

Задание 6

5

3

2

3

4

Задание 7

0

Задание 8

1

4

2

3

2

Задание 9

Задание 10

6

4

2

2

2

Параллельность плоскостей

 

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Задание 1

3

3

4

2

1

Задание 2

3

1

4

1

1

Задание 3

2; 3

1; 3

2; 4

1; 3

3; 4

Задание 4

14

10

10

7

3

Задание 5

18

15

54

6

12

Задание 6

12

18

10

12

17

Задание 7

21

5

3

16

4

Задание 8

24

11

2

9

5

Задание 9

72

16

2

13

19

Задание 10

72

5

8

10

14

 


Перпендикулярность прямой и плоскости

 

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Задание 1

1; 3

1; 2

2; 4

2; 4

1; 3

Задание 2

3

3