Вы заявлены как участник конференции «Педагог XXI века». Подтвердите участие! Подтвердить→
Конкурс разработок «Пять с плюсом» январь 2020
Добавляйте свои материалы в библиотеку и получайте ценные подарки
Конкурс проводится с 1 января по 31 января

Разработка проблемного модуля "Четырехугольники"

В данной разработке представлен проблемный модуль "Четырехугольники". Проблемный модуль «Четырехугольники» в процессе обучения может применяться для представления учебного материала в сжатом виде; основным дидактическим материалом при проведении уроков с применением проблемно-модульной технологии; для обобщающего повторения темы «Четырехугольники»; как справочный материал для учащихся.
Просмотр
содержимого документа

Конструирование проблемного модуля по теме «Четырехугольники»  школьного курса математики

Проблемный модуль «Четырехугольники» в процессе обучения может применяться для представления учебного материала в сжатом виде; основным дидактическим материалом при проведении уроков с применением проблемно-модульной технологии; для обобщающего повторения темы «Четырехугольники»; как справочный материал для учащихся.

У каждого учебного элемента есть свое краткое обозначение (оно записывается в левом верхнем углу блока, например, ТБ-1) и название.

Условные обозначения блоков проблемного модуля:  БВ – блок входа, БА – блок актуализации, ИБ – исторический блок, ПБ – проблемный блок, ТБ – теоретический блок, БП – блок применения, БО – блок обобщения, БГ – блок генерализации, БУ – блок углубления, БС – блок стыковки, ТТ – текущий тест, БВ – блок выхода.

Иногда в одном учебном элементе могут содержаться материалы нескольких блоков. В таком случае краткие обозначения блоков соединяются знаком «+». Например, запись «ТБ-1 + БП-1» означает, что в учебном элементе объединены теоретический блок-1 и блок применения-1 .

Далее опишем блоки проблемного модуля «Четырехугольники».

 

Блок актуализации

Дидактическая цель:

  • актуализировать прежние знания, навыки и умения непосредственно связанные с темой «Четырехугольники» (многоугольники, диагональ, периметр, сумма углов выпуклого многоугольника, виды и свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей, свойство прямоугольного треугольника с углом 30°).

 

Блок входа.

Входная контрольная работа.

Дидактическая цель:

  • оценить уровень готовности учащихся к изучению проблемного модуля  «Четырехугольники»;
  • проверить знания учащихся по темам «Многоугольники» и «Параллельные прямые», выявить пробелы в знаниях.

Входная контрольная работа представлена в двух вариантах и состоит из 6 заданий. Первые два вопроса – в форме теста, остальные четыре вопроса требуют развернутого ответа.

Входная контрольная работа проводится с целью оценки уровня готовности учащихся к изучению проблемного модуля  «Четырехугольники». Если при выполнении заданий у учащихся возникают трудности или ошибки, то они вместе с учителем заново повторяют материал, представленный в блоке актуализации. А если проблем с контрольной работой не будет, то учащийся приступает к изучению модуля «Четырехугольники».

 

Исторический блок

Дидактическая цель:

  • сделать краткий обзор в историю четырехугольников;
  • выявить успехи и ошибки в изучении четырехугольников в древние времена.

В этом блоке проводится краткий экскурс в историю четырехугольников. Этот материал будет полезным для учащихся, интересующихся математикой.

 

Проблемный блок

Дидактическая цель:

  • мотивировать учащихся к изучению четырехугольников.

В этом блоке ставится проблемный вопрос в форме сказки о выборе царя четырехугольников. Ответ на этот вопрос учащиеся будут искать на протяжении всего модуля, а в конце модуля в блоке стыковки они будут сравнивать свои ответы с правильным ответом.

 

Теоретический блок-1 и блок применения-1

Четырехугольники

Дидактическая цель:

  • изучить выпуклые и невыпуклые четырехугольники и их элементы, теорему о сумме углов выпуклого четырехугольника;
  • применять теоретические знания на практике при решении задач.

В этом блоке рассматриваются выпуклые и невыпуклые четырехугольники и их элементы, теорема о сумме углов выпуклого четырехугольника, предлагаются задачи на применение полученных знаний. 

 

Теоретический блок-2 и блок применения-2

Параллелограмм

Дидактическая цель:

  • изучить определение параллелограмма;
  • изучить свойства параллелограмма;
  • изучить признаки параллелограмма;
  • применять теоретические знания на практике при решении задач.

В этом блоке дается определение параллелограмму, рассматриваются его свойства и признаки, предлагаются задачи на применение полученных знаний. 

 

Теоретический блок-3 и блок применения-3

Трапеция

Дидактическая цель:

  • изучить определение трапеции;
  • рассмотреть виды трапеций;
  • изучить теорему о средней линии трапеции;
  • применять теоретические знания на практике при решении задач.

В этом блоке дается определение трапеции, рассматриваются равнобедренные и прямоугольные трапеции, средняя линия трапеции и предлагаются задачи на применение полученных знаний. 

 

Теоретический блок-4 и блок применения-4

Прямоугольник

Дидактическая цель:

  • изучить определение прямоугольника;
  • изучить свойства прямоугольника;
  • изучить признак прямоугольника;
  • применять теоретические знания на практике при решении задач.

В этом блоке дается определение прямоугольнику, рассматриваются его свойства и признак, предлагаются задачи на применение полученных знаний. 

 

Теоретический блок-5 и блок применения-5

Ромб

Дидактическая цель:

  • изучить определение ромба;
  • изучить свойства ромба;
  • применять теоретические знания на практике при решении задач.

В этом блоке дается определение ромбу, рассматриваются его свойства, предлагаются задачи на применение полученных знаний. 

 

Теоретический блок-6 и блок применения-6

Квадрат

Дидактическая цель:

  • изучить определение квадрата;
  • изучить свойства квадрата;
  • применять теоретические знания на практике при решении задач.

В этом блоке дается определение квадрату, рассматриваются его свойства, предлагаются задачи на применение полученных знаний. 

 

Текущий тест

Текущая контрольная работа.

Дидактическая цель:

  • проверить уровень приобретенных знаний учащимися об основных видах четырехугольников (параллелограмм, трапеция, прямоугольник, ромб, квадрат), их свойствах и признаках;
  • выявить пробелы и недостатки в знаниях учащихся об основных видах четырехугольников (параллелограмм, трапеция, прямоугольник, ромб, квадрат), их свойствах и признаках.

Текущая контрольная работа представлена в двух вариантах и состоит из 12 заданий. Задания даны в форме теста. Эта контрольное тестирование проводится после изучения темы «Четырехугольники» (первые шесть теоретических блоков), но до начала изучения темы «Площадь четырехугольников». Учащиеся, которые выполняют тест без затруднений и ошибок, продолжают изучение модуля. А у кого возникают трудности, они выполняют работу над ошибками.

 

Теоретический блок-7 и блок применения-7

Площадь квадрата и прямоугольника

Дидактическая цель:

  • изучить правило и формулу нахождения площади квадрата;
  • изучить правило и формулу нахождения площади прямоугольника;
  • применять теоретические знания на практике при решении задач.

В этом блоке даются формулы вычисления площадей квадрата и прямоугольника, предлагаются задачи на применение полученных знаний. 

 

Теоретический блок-8 и блок применения-8

Площадь параллелограмма и трапеции

Дидактическая цель:

  • рассмотреть основание параллелограмма и высоту, опущенную на это основание;
  • рассмотреть основание трапеции и высоту, опущенную на это основание;
  • изучить правило и формулу нахождения площади параллелограмма;
  • изучить правило и формулу нахождения площади трапеции;
  • применять теоретические знания на практике при решении задач.

В этом блоке даются формулы вычисления площадей параллелограмма и трапеции, предлагаются задачи на применение полученных знаний. 

 

Теоретический блок-9 и блок применения-9

Площадь ромба

Дидактическая цель:

  • изучить два правила и формулы нахождения площади ромба;
  • применять теоретические знания на практике при решении задач.

В этом блоке даются формулы вычисления площади ромба, предлагаются задачи на применение полученных знаний. 

 

Блок обобщения

«Дерево» видов четырехугольников

Дидактическая цель:

  • обобщить знания по четырехугольникам;
  • рассмотреть взаимосвязь четырехугольников;
  • повторить свойства и признаки четырехугольников.

В этом блоке обобщаются знания по классификации четырехугольников, рассматривается взаимосвязь четырехугольников.

 

Блок генерализации

Параллелограмм, трапеция, прямоугольник, квадрат, ромб и их свойства и признаки. Формулы вычисления площадей.

Дидактическая цель:

  • закрепить знания о параллелограмме, его свойствах и признаках;
  • закрепить знания о трапеции, равнобедренной и прямоугольной трапеции;
  • закрепить знания о прямоугольнике, его свойствах и признаке;
  • закрепить знания о ромбе, его свойствах;
  • закрепить знания о квадрате, его свойствах;
  • отличать параллелограмм, трапецию, прямоугольник, ромб, квадрат друг от друга;
  • повторить формулы нахождения площадей параллелограмма, трапеции, прямоугольника, ромба, квадрата.

В этом блоке обобщается весь теоретический материал, изученный в проблемном модуле «Четырехугольники».

 

Блок углубления и блок применения-10

Дидактическая цель:

  • изучить правило и формулу нахождения площади любого выпуклого четырехугольника, у которого известны все стороны и диагонали.

В этом блоке рассматривается правило и формула Бертшнайдера нахождения площади любого выпуклого четырехугольника, у которого известны все стороны и диагонали. Предлагаются две задачи на применение данной формулы. Материал, представленный в этом блоке, будет полезен учащимся, заинтересованных математикой.

 

Блок стыковки

Дидактическая цель:

  • поиск ответа на вопрос, поставленный в проблемном блоке.

В этом блоке, опираясь на материал, изученный в модуле  «Четырехугольники», дается ответ на вопрос, поставленный в проблемном блоке. 

 

Блок выхода

Итоговая контрольная работа.

Дидактическая цель:

  • проверить уровень приобретенных знаний учащимися по модулю «Четырехугольники»;
  • выявить пробелы и проблемы учащихся по изученному модулю.

Итоговая контрольная работа представлена в четырех вариантах, каждый вариант состоит из четырех задач. Во всех задачах нужно найти площади четырехугольников, но для этого также надо знать их свойства и признаки.

Эта контрольная работа является выходной. Если учащийся выполняет эту работу без затруднений и ошибок, то считается, что он изучил модуль очень хорошо и может приступать к изучению нового модуля. Если наоборот, возникли трудности и ошибки, учащийся должен повторить модуль вместе с учителем, акцентируя внимание на тех местах, где у него возникли проблемы и выполнить работу над ошибками.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Тематическое планирование проблемного модуля «Четырехугольники»

Блоки

Кол-во часов-18

Требования к знаниям и умениям учащихся

БА-1

БВ-1

Блок актуализации

Блок входа (контрольная работа)

1

-Знать: определение многоугольника и его элементов (смежные и несмежные стороны, вершины, стороны, соседние вершины, диагональ, периметр), формулу нахождения суммы углов выпуклого многоугольника, названия и свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных сторон третьей;

-Уметь: различать выпуклые и невыпуклые многоугольники, применять знания на практике

 

ИБ-1

ПБ-1

Работа над ошибками

Исторический блок

Проблемный блок

1

-Уметь: выделять главное из предложенного материала

ТБ-1+БП-1

Теоретический блок и блок применения («Четырехугольники»)

1

-Знать: определение выпуклого четырехугольника и его элементов (вершины, стороны, противоположные стороны и углы, диагональ) Кабарынкы дүртпочмакның билгеләмәсен һәм аның элементларын (түбәләре, яклары, капма-каршы яклары, диагональләре) күрсәтә, кабарынкы һәм батынкы дүртпочмакларны аера белү;

-Уметь: различать выпуклые и невыпуклые четырехугольники, применять знания на практике

ТБ-2+ БП-2

Теоретический блок и блок применения («Параллелограмм»)

2

-Знать: определение, свойства, признаки параллелограмма;

- Уметь: различать параллелограммы на чертеже, доказывать свойства и признаки параллелограмма, применять знания на практике

ТБ-3+ БП-3

Теоретический блок и блок применения («Трапеция»)

2

-Знать: определение трапеции, равнобедренной и прямоугольной трапеции, средней линии трапеции;

- Уметь: различать трапеции на чертеже, отличать виды трапеции, доказывать теорему о средней линии трапеции, применять знания на практике

ТБ-4+ БП-4

Теоретический блок и блок применения («Прямоугольник»)

1

-Знать: определение, свойства, признак прямоугольника;

- Уметь: различать прямоугольники на чертеже, доказывать свойства и признак прямоугольника, применять знания на практике

ТБ-5+ БП-5

Теоретический блок и блок применения («Ромб»)

1

-Знать: определение и свойства ромба;

- Уметь: различать ромбы на чертеже, доказывать свойства ромба, применять знания на практике -

ТБ-6+ БП-6

Теоретический блок и блок применения Квадрат»)

1

-Знать: определение и свойства квадрата;

- Уметь: различать квадраты на чертеже, доказывать свойстваквадрата, применять знания на практике

ТТ-1

Текущий тест по теме «Четырехугольники»

1

-Знать: определения, свойства, признаки видов четырехугольников;

- Уметь: отличать виды четырехугольников друг от друга, применять знания на практике

ТБ-7+ БП-7

Теоретический блок и блок применения («Площадь квадрата и прямоугольника»)

1

-Знать: правило и формулу нахождения площади квадрата и прямоугольника;

- Уметь: применять знания на практике

ТБ-8+ БП-8

Теоретический блок и блок применения («Площадь параллелограмма»)

2

-Знать: определение основания и высоты параллелограмма и трапеции, правило и формулу нахождения площади параллелограмма и трапеции;

- Уметь: применять знания на практике

ТБ-9+ БП-9

Теоретический блок и блок применения («Площадь ромба»)

1

-Знать: правило и формулу нахождения площади ромба;

- Уметь: применять знания на практике

БО-1

ГБ-1

Блок обобщения

Блок генерализации

1

-Знать: определения, свойства, признаки основных видов четырехугольников;

- Уметь: систематизировать изученное по модулю «Четырехугольники»

БУ-1+БП-10

БС-1

Блок углубления и блок применения («Площадь четырехугольника»)

Блок стыковки

1

-Знать: формулу Бретшнайдера вычисления площади;

- Уметь: систематизировать и подытожить знания, полученные в ходе изучения проблемного модуля «Четырехугольники»

БВ-1

Блок выхода (Контрольная работа)

1

-Знать: определения, свойства, признаки основных видов четырехугольников, правила и формулы нахождения площади основных видов четырехугольников;

- Уметь: применять знания на практике


 

Разработка блоков проблемного модуля «Четырехугольники»

Блок актуализации проблемного модуля «Четырехугольники»

БА-1

Блок актуализации

 

АВ и ВС, ВС и СD, CD и DE, ... – смежные стороны

АВ и СD, FG и DE, ... – несмежные стороны

А, В, С, D, Е, F, G – вершины многоугольника

АВ, ВС, СD, DЕ, ЕF, FG, GА – стороны многоугольника

А и В, В и С, ...,  G и А – соседние вершины

АС – диагональ

Соседние вершины – вершины многоугольника, лежащие на одной стороне Диагональ – отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины многоугольника

Периметр – сумма длин всех сторон многоугольника

 

 

-выпуклый, -  невыпуклый многоугольник

Сумма углов выпуклого многоугольника

 

 

 

   a || b

– накрест лежащие углы

– односторонние  углы

– соответственные  углы

 

            

 

 

 

 

 

Блок входа проблемного модуля «Четырехугольники»

БВ-1

Контрольная работа

I вариант

1. Выберите правильные утверждения для нижепредставленных фигур:

а) 1-выпуклый многоугольник

б) 2-невыпуклый многоугольник

в) 4-невыпуклый многоугольник

г) 2-не является многоугольником 

д) 4-не является многоугольником 

е) 3-выпуклый четырехугольник

2.  Выберите правильную формулу для треугольника АВС:

а)б) в)

3.  Сколько диагоналей можно провести из одной вершины выпуклого шестиугольника?

4. Напишите формулу суммы углов выпуклого многоугольника.

5. Вычислите сумму углов невыпуклого пятиугольника.

6. Выберите среди углов, образованных при пересечении параллельных прямых a и b третьей прямой, накрест лежащие углы.

II  вариант

1. Выберите правильные утверждения для нижепредставленных фигур:

а) 3-выпуклый четрыхегольник

б) 4-невыпуклый многоугольник 

в) 2-не является многоугольником

г) 2-невыпуклый многоугольник

д) 4- не является многоугольником 

е) 1-выпуклый четрыхегольник

2.  Выберите правильную формулу для треугольника АВС:

а) б)   в)

3. Сколько диагоналей можно провести из одной вершины выпуклого восьмиугольника?

4. Напишите формулу суммы углов выпуклого многоугольника.

5. Вычислите сумму углов невыпуклого шестиугольника.

6. Выберите среди углов, образованных при пересечении параллельных прямых a и b третьей прямой, односторонние углы.

 

 

Исторический блок проблемного модуля «Четырехугольники»

ИБ-1

Исторический блок

В исторических документах Древнего Египта и Вавилона упоминается о таких видах четырехугольников, как квадрат, прямоугольник, равнобедренная и прямоугольная трапеция.

Термин “Параллелограмм” в геометрию был введен Евклидом. Древние математики знали некоторые виды параллелограмма и  их свойства. Но в учебниках геометрии точные теоретические сведения о параллелограмме и его видах (квадрат, прямоугольник, ромб) были написаны в XVII в..

Древние греки “Трапецией” называли стол (застолье, трапеза). До XVIII в. все четырехугольники, которые не являлись параллелограммом, назывались трапециями.

Примерно 5000 лет назад вавилоняне для вычисления площади земельного участка в форме прямоугольника или трапеции использовали квадрат. Так как квадрат – симметричная фигура, у которой все стороны равны, все углы равны и прямые. Их легко строить и любую фигуру можно покрыть квадратом таким образом, чтобы не осталось пустоты. Для вычисления площади паралелограмма они заменяли его равновеликим прямоугольником, а прямоугольник – квадратом.

Египтяне вычисляли площадь четырехугольников, используя формулу . Но эта формула справедлива не для всех четырехугольников.

В XVI-XVII вв. русские математики пользовались ошибочными формулами вычисления площадей. Площадь прямоугольника вычислялась следующим образом: сначала из прямоугольника выделяли самый большой квадрат, оставшуюся часть делили на маленькие квадраты, и определяли, какую часть большого квадрата они составляют. В результате получали правильный ответ, но такой способ нахождения площади занимал много времени. Площадь трапеции вычисляли двумя способами: умножая длину большего основания на полусумму оснований;   умножая длины боковых строн на полусумму оснований.

Также существовало ошибочное правило: «фигуры с равными периметрами имеют равные площади».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проблемный блок проблемного модуля «Четырехугольники»

ПБ-1

Четырехугольники

 

Изучение основных видов четырехугольников и их свойств.

 

Однажды все четырехугольники решили выбрать царя. Собрались, каждый высказал свое мнение, но, долго спорив, так и не смогли прийти к единому мнению. Тогда прямоугольник высказал идею: “Давайте завтра все соберемся и отправимся Царство Четырехугольников. Кто дойдет первым, пусть он и будет нашим царем”. В следующий день они отправились в Царство. Через некоторое время на их пути возник дремучий Лес. Он поставил условие: “Меня пройдут только те, у кого сумма всех углов равна 360°”. Некотороые четырехугольники смогли пройти через лес и продолжили свое путешествие. Пройдя некоторое расстояние на их пути опять возникло препятствие – Гора. Она сказала, что забраться на нее смогут только те, у которых противоположные углы попарно параллельны. Некоторые четырехугольники остались у подножия горы, а некоторые продолжили путь. Через некторое время они подошли к Реке. Проплыть через реку смогли не все, а только те, у которых все углы равны. Наконец они добрались до Царства. Охранники дворца пропустили только тот четырехугольник, у которого диагонали пересекаются под прямым углом. В итоге он и был выбран царем чытерхугольников. Вопрос: Кто царь четырехугольников?

 

Порядок решения проблемы:

1) Изучить основные виды и свойства четырехугольников, используя теоретичские блоки (ТБ-1 – ТБ-6) проблемного модуля «Четырехугольники».

2)  Постепенно проверяя четырехугольники на соответствие требованиям, найти правильный ответ в блоке стыковки (БС) проблемного модуля «Четырехугольники».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теоретический блок-1 и блок применения-1 проблемного модуля «Четырехугольники»

ТБ-1 + БП-1

Четырехугольники

 

 

 

 

 

АВСD – выпуклый четырехугольник

А, В, С, Dвершины

АВ, ВС, СD, DA – стороны

АВ и СD, DA и ВС – противолежащие стороны

АС, ВD – диагонали

 

 

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.

 

 

KLMN – невыпуклый четырехугольник

 

Для классной работы:

№1. Периметр четырехугольника равен 60 см, а одна из сторон длинне других на 3 мм, 4 мм, 5 мм. Найти стороны четырехугольника.

№2. Найти углы выпуклого четырехугольника, если они равны между собой.

№3. Периметр четырехугольника равен 66см. Известно, что одна сторона длинне второй на 8 см, короче третьей на 8 см, четвертая сторона  длиннее второй в три раза. Найти стороны данного четырехугольника.

 

Для домашней работы:

№4. Найти углы выпуклого четрыехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теоретический блок-2 и блок применения-2 проблемного модуля «Четырехугольники»

ТБ-2 + БП-2

Параллелограмм

 

Параллелограмм – это четыехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

АВ||CD, BC||DA

 

Свойства параллелограмма

1°. В параллелограммда противолежащие стороны и противолежащие углы равны.

и 

 

Доказательтво:

Дано:

АВСD-параллелограмм

АС-диагональ

Доказать:

 

AB=CD     BC=AD

Доказательство:

ABC=∆ADC  (по II признаку:,

(накрест лежащие углы), АС-общая сторона) AB=CD, BC=AD,

2°. У параллелограмм диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

АС, BD – диагонали

 

Доказательтво:

Дано:

АВСD-параллелограмм

Доказать:

AО=ОC   BО=ОD

Доказательство:

∆AОВ=∆СОD (по II признаку: , ( накрест лежащие углы) АВ=СD) AO=OC, BO=OD

 

Признаки параллелограмма

1°. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

АВСD параллелограмм

 

Доказательство:

Дано:

Доказать:

АВСD-параллелограмм

Доказательство:

∆ABC=∆ADC  (по I признаку:

(накрест леж.углы), АВ=СD, AC-общая сторона)

Но- накрест леж.углы ВС||AD

АВСD параллелограмм

2°. Если в четырехугольнике противолежащие  стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

АВСD параллелограмм

 

Доказательство:

Дано:

Доказать:

АВСD-параллелограмм

Доказательство:

∆ABC=∆ADC  (по III признаку: AB=CD, BC=AD,AC- общая сторона)

- накрест леж.углы AВ||CD

АВСD –параллелограмм (по I признаку)

3°. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пеерсечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

 

АВСD параллелограмм

 

Доказательство:

Дано:

 AО=ОC   BО=ОD

Доказать:

АВСD-параллелограмм

Доказательство:

∆AОB=∆СОD  (по I признаку: AО=ОC, BО=ОD,   (вертикальные углы)) АВ=СD,

- накрест леж.углы AВ||CD

АВСD –параллелограмм (по I признаку)

 

Для классной работы:

№1. Периметр параллелограмма равен 66 см. а) Найти стороны параллелограмма, если: а) одна сторона длиннее другой на 5 см; б) разность длин двух сторон равен 11 см.

№2. Периметр параллелограмма АВСD равен 50 см га, , а перпендикуляр ВН, опущенный к стороне CD равен 6,5 см. Найти стороны параллелограмма.

№3. Биссектриса одного из углов  параллелограмма делит его сторону на два отрезка длиной 7 см и 14 см. Найти переиметр параллелограмма.

№4. Найти углы параллелограмма АВСD, если:  а) б) ; в) ; г) ; д) , .

№5.  В параллелограмме АВСD и - острый.  Из вершин B и D к стороне АС проведены перпендикуляры ВК и DM . Доказать, что BMDK – параллелограмм.

№6. Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. Середины отрезков ОА, ОВ, ОС и OD являются вершинами четырехугольника KLMN. Доказать, что KLMN – параллелограмм.

№7. На диагонали BD параллелограмма АВСD отмечены точки P и Q, так, что PB=QD. Доказать, что APCQ – параллелограмм.

 

Для домашней работы:

№8. Периметр параллелограмма равен 66 см. Найти стороны параллелограмма, если одна сторона длиннее другой в два раза.

№9. В параллелограмме MNPQ к стороне MQ проведен перепендикуляр . Точка H лежит на стороне MQ. Известно, что MH=3 см, HQ=5 см, . Найти углы и стороны параллелограмма.

№10. На сторонах AB, BC, CD, DA четырехугольника ABCD отмечены точки M, N, P, Q таким образом, что AM=CP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA. Доказать, что четырехугольники ABCD и MNPQ являются параллелограммами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теоретический блок-3 и блок применения-3 проблемного модуля «Четырехугольники»

ТБ-3 + БП-3

Трапеция

Трапеция – это четрехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

ВС||DA

ВС, DA – основания,

АВ, СD – боковые стороны

Прямоугольная трапеция

Равнобедренная трапеция

 

Средняя линия трапеции – отрезов, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Она параллельна основаниям и равна их полусумме.

MN||BC, MN||AD
 

 

Для классной работы:

№1. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС , . Найти углы В и D трапеции.

№2. Доказать, что в равнобедренной трапеции: а) углы при основаниях равны; б) диагонали равны.

№3. В прямоугольной трапеции один угол равен 60°, основания равны 4 и 7 см. Найти большую сторону трапеции.

№4. Построить равнобедренную трапецию ABCD по основанию AD, углу А,  и боковой стороне АВ.

№5. Построить прямоугольную трапецию ABCD по основаниям, и перпендикулярной стороне АD.

№6. Средняя линия трапеции равна 28 см, меньшее основание равно 18 см. Найти большее основание этой трапеции.

№7. Перпендикуляр, проведенный из тупого угла равнобедренной трапеции делит его основание на два отрезка длиной 4 и 10 см. Найти среднюю линию трапеции.

Для домашней работы:

№6. В прямоугольной трапеции угол α=45°, основания равны 10 и 15 см. Найти меньшую боковую сторону трапеции.

№7. Один угол равнобедренной трапеции равен 68°. Найти остальные углы трапеции.

№8. Построить равнобедренную трапецию ABCD по основанию ВС, диагонали ВD и боковой стороне АВ.

 Теоретический блок-4 и блок применения-4 проблемного модуля «Четырехугольники»

ТБ-4 + БП-4

 Прямоугольник

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.

АВ||CD, BC||DA

 

Свойства прямоугольника

1°. Противолежащие стороны прямоугольника равны.

АВ=СD, BC=DA

2°. Диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

3°. Диагонали прямоугольника равны.

АС=BD

 

Доказательство:

Дано:

АВСD-прямоугольник

Доказать:

АС=BD

Доказательство:

∆BAD=∆CDA (по I признаку:CD=ВА, AD-общий катет) АС=BD

 

Признак прямооугольника

Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник

прямоугольник

Доказательство:

Дано:

АС=BD,  АВСD-параллелограмм

Доказать:

АВСD-прямоугольник

Доказательство:

1) ∆BAD= ∆CDA (по III признаку: АС=BD, CD=ВА, AD-общая сторона)

2) АВСD-параллелограмм,

3)АВСD-выпуклый четырехугольник

2),3) прямоугольник

 

Для классной работы:

№1. Доказать, что если в параллелограмме один угол прямой, то этот параллелограмм является прямоугольником.

№2. В прямоугольнике АВСD турыпочмаклыгында биссектриса угла А делит сторону ВС на отрезки длиной 45,6 см и 7,85 см. Найти периметр прямоугольника.

№3. Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О.  Доказать, что треугольники АОD и АОВ – равнобедренные.

№4. Построить прямоугольник по: а) двум смежным сторонам; б) стороне и диагонали; в) диагонали и углу между диагоналями.

 

Для домашней работы:

№5. В прямоугольнике АВСD турыпочмаклыгында биссектриса угла А делит сторону на отрезки длиной 2,7 дм и 4,5 дм. Найти периметр прямоугольника.

№6. Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О.  Найти периметр треугольника АОВ, если известно, что , АС=12 см

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теоретический блок-5 и блок применения-5 проблемного модуля «Четырехугольники»

ТБ-5 + БП-5

Ромб

 

 

 

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

АВ||CD, BC||DA

АВ=ВC=СD=DA

 

 

Свойства ромба

1°. Противолежащие углы ромба равны.

2°. Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

3°. Диагонали ромба взаимноперпендикулярны и делят его углы пополам.

Доказательство:

Доказать:

Доказательство:

АВСD-ромбВА=АD ∆BAD-равнобедренный.

АВСD-параллелограмм ВО=ОDAO-медиана

∆BAD-равнобедренный AO-биссектриса, высота ,

 

Для классной работы:

№1. Найти периметр ромба АВСD, если известно, что , АС=10,5 см.

2. Построить ромб по: а) двум диагоналям; б) стороне и углу.

№3. В ромбе ABCD угол В равен 54º. Найти угол ВСА.

№4. Найти длину меньшей диагонали ромба, если его сторона равна  47 см, а острый угол равен 60º.

№5. Диагонали ромба равны 8см и 6 см. Найти стороны ромба.

№6. Найти высоту ромба, опущенную из тупого угла, если острый угол ромба равен 60º, а сторона равна 14 см.

 

Для домашней работы:

№7. Диагональ ромба равна его стороне. Найти: а) углы ромба; б) углы между диагоналями и сторонами.

№8. Диагонали ромба пересекаются в точке О. Один из углов ромба равен 50º. Найти углы треугольников,  образованных пересечением диагоналей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теоретический блок-6 и блок применения-6 проблемного модуля «Четырехугольники»

ТБ-6 + БП-6

Квадрат

 

 

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

АВ=ВC=СD=DA

 

Свойства квадрата

1°. Все углы квадрата равны

2°. Диагонали квадрата равны, взаимноперпендикулярны, пересекаются, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

 

Для классной работы:

№1. Доказать, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом.

№2. Является ли четырехугольником, если его диагонали: а) равны и взаимноперпендикулярны; б) взаимноперпендикулярны и имеют общий центр; в) равны, взаимноперпендикулярны и имеют общий центр?

№3. Даны квадрат CDEF и прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, и стороной, равной 12 см.  Две стороны квадрата лежат на катетах, вершина Е лежит на гипотенузе. Найти периметр квадрата.

 

Для домашней работа:

№4. Построить квадрат по: а) стороне; б) диагонали.

 

 

Текущий тест

ТТ-1

Текущее тестирование

 

I вариант

1. Параллелограмм, у которого все углы прямые:

а) трапеция     б)четырехугольник      в) прямоугольник     г) ромб

2. Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны:

а) трапеция     б) параллелограмм     в)  прямоугольник     г) ромб

3. Любой ромб это –

а) трапеция     б) квадрат    в) параллелограмм      г) ромб

4. Один угол равнобедренной трапеции равен 51°. Найти ее остальные углы

А) 109°, 109°, 51°     б) 51°, 51°, 51°     в) 79°, 79°, 51°   г) 129°, 129°, 51°

5. Трапеция, у которой один угол равен 90°:

а)равнобедренная  б)перпендикулярная  в)прямоугольная  г)равносторонняя

6. Периметр параллелограмма равен 68см, одна сторона равна 22см. Найти остальные стороны

а)22см,24см,24см  б)22см,23см,23см  в)22см,12см,12см   г)22см,11см,11см

7. Сторона квадрата равна 5см. Найти его периметр

а) 25 см²     б) 20 см     в) 25 см     г) 20см²

8. Диагонали ... равны

а) ромба     б) параллелограмма      в) трапеции     г)  прямоугольника

9. Квадрат –

а) ромб, у которого диагонали равны

б) параллелограмм, у которого все стороны равны

в) параллелограмм, у которого диагонали равны 

г) прямоугольник,  у которого все углы прямые

10. Выберите правильное утверждение:

а) если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм

б) если  две стороны четырехугольника параллельны и равны, то  этот четырехугольник – ромб

в)  если две стороны четырехугольника равны и два угла прямые, то  этот четырехугольник – прямоугольник  

г)  если  диагонали четырехугольника равны, а один угол прямой, то  этот четырехугольник – квадрат

11. Средняя линия трапеции ... и равна их полусумме

а) перпендикулярна основаниям    б) параллельна основаниям

в) пересекает боковые стороны      г) делит боковые стороны пополам

12. Высота равнобедренной трапеции, опущенной из ее тупого угла, делит его основание на отрезки, равные 15 см и 55 см. Найти основания трапеции.

А) 55 см, 85 см       б)  40 см, 55 см      в) 40 см, 70 см        г) 25 см, 70 см

 

 

II вариант

1. Параллелограмм, у которого все углы прямые:

а) трапеция     б)четырехугольник      в) прямоугольник     г) ромб

2. Четырехугольник, у которого только одна пара противоположных сторон параллельна:

а) трапеция     б) параллелограмм     в)  прямоугольник     г) ромб

3. Любой  прямоугольник это –

а) трапеция     б) квадрат    в) параллелограмм      г) ромб

4. Один угол параллелограмма равен 51°. Найти его остальные углы

А) 109°, 109°, 51°     б)51°, 51°, 51°     в) 79°, 79°, 51°   г)129°, 129°, 51°

5. Трапеция, у которой боковые стороны равны:

а)равнобедренная  б)перпендикулярная  в)прямоугольная  г)равносторонняя

6. Параллелограммның периметры 100 см, бер ягы 10 см. Калган якларны табыгыз

а)10 см,10 см,10см б)10см,35см,35см в)10см, 45см, 45см г)10см,40см,40см

7. Сторона ромба равна 7см. Найти его периметр

а) 49 см²     б) 28 см     в) 49 см     г) 28 см²

8. Диагонали ... взаимноперпендикулярны

а) ромба     б) параллелограмма      в) трапеции     г) прямоугольника

9. Прямоугольник –

а) параллелограмм, у которого все стороны равны

б) параллелограмм, у которого все углы равны

в) четырехугольник, у которого диагонали равны

г) четырехугольник, у которого противоположные стороны равны

10. Выберите правильное утверждение:

а) если  диагонали четырехугольника равны, а один угол прямой, то  этот четырехугольник – прямоугольная трапеция

б) если только две стороны четырехугольника параллельны и равны, то  этот четырехугольник – ромб

в) если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм – прямоугольник

г) если диагонали четырехугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник –ромб

11. Средняя линия трапеции  параллельна ее основаниям и равна...

а) полусумме оснований                 б) меньшему основанию

в) сумме оснований                         г) произведению оснований

12.  Высота равнобедренной трапеции, опущенной из ее тупого угла, делит его основание на отрезки, равные 13 см и 20 см. Найти основания трапеции.

А) 7 см, 33 см       б)  13 см, 20 см      в) 7 см, 46 см        г) 13 см, 33 см

 

 

 

 

 

Теоретический блок-7 и блок применения-7 проблемного модуля «Четырехугольники»

ТБ-7 + БП-7

Площадь квадрата и прямоугольника

 

 

 

 

Площадь квадрата равна квадрату его стороны: 

 

 

 

Площадь прямоугольника равна произведению

его смежных сторон:

 

Для классной работы:

№1. Найти площадь квадрата, если его сторона равна: а) 1,9 см; б) 0,2 дм; в) м.

№2. Площадь квадрата равна 48 см². Представьте площадь этого же квадрата в: а) квадратных миллиметрах; б) квадратных дециметрах.

№3. Дан прямоугольник со строноами a и b, и площадью S. Найти а) S, если a=см, b=4 см; б) b, если a=40 см, S=504 см².

№4. Найти стороны прямоугольника, если: а) его площадь равна 300см², а одна сторона короче другой в три раза;  б) его площадь равна  24 м², а периметр равен 22 м .

№5. Стену со стронами 3 м и 2,7 м покрывают плиткой, сторона которой равна 15 см. Вычилить количество необходимой плитки.

№6. Два земельных участка окружены забором одинаковой длины. Один участок квадратной формы, а другой – прямоугольной со стронами 160 м и 220 м. Площадь какого участка меньше и на сколько?

 

Для домашней работы:

№7. Найти сторону квадрата, если его площадь равна: а) 36 м²; б) 12 см²; в) 6,25дм².

№8. Как изменится площадь прямоугольника, если: а) увеличить длину каждой стороны в два раза; б) увеличить длину одной пары противоположных сторон в два раза; в) увеличить длину одной пары противоположных сторон в два раза, а длину другой пары уменьшить в два раза?

№9. Найти сторону квадрата, если его площадь равна площади прямоугольника со сторонами 14 см и 56 см.

 

Теоретический блок-8 и блок применения-8 проблемного модуля «Четырехугольники»

ТБ-8 + БП-8

Площадь параллелограмма и трапеции

 

Основанием параллелограмма называют одну из его сторон, а высотой – перпендикуляр, опущенный из любой точки противоположной стороны на прямую, содержащую основание.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту: 

 

Высота трапеции –перпендикуляр, соединяющий ее основания.

Площадь трапеции равен произведению ее высоты на полусумму оснований:

Для классной работы:

№1. Пусть a – основание, h  - высота, S – площадь параллелограмма. Найти: а) S, если  a=23 см, h=20 см; б) a и һ, если S=64см², h=a.

№2. Известно, что один из углов параллелограмма равен 30°, а смежные стороны равны 14 см и 12 см. Найти его площадь.

№3. Сторона параллелограмма равна 9 см. Диагональ, равный 12 см, образует с ней угол в 30°. Найти площадь параллелограмма.

№4. Диагональ параллелограмма равен его стороне. Найти его площадь, если один из углов равен 45°, большая сторона равна 15,2 см. 

№5. Дана трапеция ABCD с основаниями и АD.  Найти площадь трапеции, если: а) ВС=15 см, АD= 23 см, высота ВН=9 см; б) ВС=4 см, АD=20см, АD=16см, А=30°; в) СDВС, ВС=5см, СD= 8 см, АD=13 см.

№6. Две меньшие стороны прямоугольной трапеции равны 6 см, а больший угол равен 135°. Найти площадь трапеции.

Для домашней работы:

№7. Пусть a и b – смежные стороны параллелограмма, и - его высоты. Найти: а) , если a=6 см, b= 10 см, =2 см, >;

б) , если a=20 см, b=30 см, =12 см, >; в) и , если S=54см², a=4,5 см, b=6 см.  

№8. Найти площадь параллелограмма, если один из его углов равен 30°, а высота, опущенная из тупого угла равна 6 см.

№9. Острый угол равнобедренной трапеции равен 45°. Высота, опущенная из тупого угла делит большее основание на две отрезки, равные 2,8 см и 6,8 см. Найти площадь трапеции

 

 

 

Теоретический блок-9 и блок применения-9 проблемного модуля «Четырехугольники»

ТБ-9 + БП-9

Площадь ромба

 

 

 

 

 

Площадь ромба равна произведению его основания на высоту: 

 

или:


 

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

 

Для классной работы:

№1. Сторона ромба равна 8 см га, а один из углов равен 150°. Найти площадь ромба.

№ 2. Сравнить площади квадрата и ромба, не являющегося квадратом. Чья площадь больше?

№3. Найти площадь ромба, если его диагонали равны: а) 5,6 см, 12 см; б) 10,5 дм, 4 дм.

 

Для домашней работы:

№4. Площадь ромба равна 30 м², одна диагональ короче другой в три раза. Найти диагонали ромба.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Блок обобщения проблемного модуля «Четырехугольники»

БО-1

«Дерево» видов четырехугольников

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Блок генерализации проблемного модуля «Четырехугольники»

БГ-1

Четырехугольники

Четырехугольники

Свойства

Признаки

 

Параллелограмм

 

 

1°. АВСD –параллелограмм

 

2°. АВСD –параллелограмм

 

3°. АВСD -параллелограмм

Прямоугольник

АС=BD

 

прямоугольник

Квадрат

АС=BD

 

Ромб

 

Трапеция

                         

Прямоугольная трапеция            Равнобедренная трапеция

Формулы вычисления площадей

 

 

 

 

 

 

 

;

Блок углубления и блок применения-10 проблемного модуля «Четырехугольники»

БУ-1 + БП-10

Площадь четырехугольника

 

 

Если известны стороны и диагонали любого четырехугольника, тогда его площадь можно вычислить, используя формулу Бретшнайдера.

(a,b,c,d – стороны четырехугольника;

 k, mдиагонали)

(pполупериметр четырехугольника, )

 

№1. Стороны прямоугольника равна 3см и 4см. Найти его площадь, используя формулу Бретшнайдера и простую формулу нахождения площади прямоугольника. Сравнить полученные ответы.

№2. Стороны четырехугольника равны a=6 см, b=5 см, c=3см, d=3 см; диагонали k=4см, m=7. Найти его площадь.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Блок стыковки проблемного модуля «Четырехугольники»

БС-1

Четырехугольники

В этом блоке, используя материал, изученный в проблемном модуле, находится ответ на вопрос, поставленный в проблемном блоке.

1 шаг. Четырехугольники бывают невыпуклые и выпуклые (квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, трапеция и любой другой четырехугольник). Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°. Значит, невыпуклые четырехугольники выпадают. Выпуклые четырехугольники продолжают путь.

 

2 шаг. Противоположные стороны попарно параллельны только у квадрата, прямоугольника, параллелограмма, ромба. Выпуклый четырехугольник и трапеция выпадают из списка.

 

3 шаг. Все углы прямые и равны у квадрата и прямоугольника. Параллелограмм и ромб не соответствуют этим требованиям, так как у них равны не все четыре угла, лишь противоположные углы, и они не прямые. Значит, параллелограмм и ромб выпадают, а квадрат и прямоугольник продолжают путь в Царство.

 

4 шаг. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом. Значит, квадрат был выбран Царем четырехугольников.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Блок выхода проблемного модуля «Четырехугольники»

БВ-1

Итоговая контрольная работа

 

I  вариант

II  вариант

1. Диагонали ромба равны 6 см и 10 см. Найти периметр и площадь ромба.

2. Одна сторона прямоугольника равна 10 мм, а другая длиннее первой на 4 мм. Найти площадь прямоугольника.

3. Основания равнобедренной трапеции равны 12 см и 20 см, один угол равен 45°. Найти площадь трапеции.

4.  Периметр параллелограмма равен 48 см, одна сторона равна 8 см, один из углов равен 150°. Найти площадь параллелограмма.

1.  Диагонали ромба равны 8 см и 9 см. Найти периметр и площадь ромба.

2. Стороны параллелограмма равны 10 см и 8 см. Высота, проведенная к большей стороне равна 4 см. Найти высоту параллелограмма, проведенную к его меньшей стороне. 

3.  Основания равнобедренной трапеции равны 16 см и 26 см, один угол равен 135°. Найти площадь трапеции.

4.  Периметр параллелограмма равен 56 см, одна сторона равна 18 см, один из углов равен 150°. Найти площадь параллелограмма.

 

III вариант

IV вариант

1. Диагонали ромба равны 8 см и 10 см. Найти периметр и площадь ромба.

2.  Одна сторона прямоугольника равна 15 см, а другая длиннее первой на 3 см. Найти площадь прямоугольника.

3.  Основания равнобедренной трапеции равны 14 см и 22 см, один угол равен 45°. Найти площадь трапеции.

4. Периметр параллелограмма равен 64 см, одна сторона равна 10 см, один из углов равен 150°. Найти площадь параллелограмма.

1. Диагонали ромба равны 12 см и 14 см. Найти периметр и площадь ромба.

2. Стороны параллелограмма равны 12 см и 8 см. Высота, проведенная к большей стороне равна 6 см. Найти высоту параллелограмма, проведенную к его меньшей стороне. 

3. Основания равнобедренной трапеции равны 10 см и 18 см, один угол равен 135°. Найти площадь трапеции.

4.  Периметр параллелограмма равен 52 см, одна сторона равна 12 см, один из углов равен 150°. Найти площадь параллелограмма.

 

 

 

 

Список использованной литературы

1. Чошанов, М.А. Инженерия обучающих технологий / М.А.Чошанов. – 3-е изд. – М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015. – 239 с. : ил.

2. Атанасян, Л.С. Геометрия. 7-9 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2014 – 383 с. : ил.

3. Погорелов, А.В. Геометрия. 7-9 классы.: Учебник для общеобразовательных учреждений / А.В.Погорелов – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2014 – 240 с. : ил.

4. Шарыгин, И.Ф. Геометрия. 7-9 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений / И.Ф.Шарыгин – М.:Дрофа, 2012 – 462 с. : ил.

5. Атанасян, Л.С. Изучение геометрии в 7-9 классах: Пособие для учителей / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, Ю.А.Глазков и др. – 7-е изд. – М.: Просвещение, 2009 – 255 с. : ил.

7. Атанасян, Л.С. Геометрия. Рабочая тетрадь. 8 класс: Пособие для учащихся общеобразовательных учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, Ю.А.Глазков, И.И.Юдина – 14-е изд. – М.: Просвещение, 2014 – 65 с.

8. Баянова Л. А. Технология модульного обучения в школе [Текст] // Педагогика: традиции и инновации: материалы Междунар. науч. конф. (г. Челябинск, октябрь 2011 г.) .Т. I. Челябинск: Два комсомольца, 2011. С. 107-109.

 

1

 

Информация о публикации
Загружено: 21 ноября
Просмотров: 247
Скачиваний: 3
Тимергалиева Гульфина Фаризовна
Геометрия, 8 класс, Разное
Скачать материал