ПЗ. Исследование функции с помощью производной. Нахождение наибольшего, наименьшего значения и экстремальных значений функции.

Задание: 1)Перепишите и заполните пропуски 2)Решить задание ( по примерам) 3)Решить задание
Скачать материал
Просмотр
содержимого документа

ПЗ № 31. Исследование функции с помощью производной. Нахождение наибольшего, наименьшего значения и экстремальных значений функции.

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Исследовать и построить график функции:

Решение:

  1. D (f) = R, т.к. f -многочлен.
  2. Выясняем, является ли функция f четной или нечетной. - функция ни четная, ни нечетная.
  3. Функция непериодическая.
  4. Находим точки пересечения графика с осями координат:

а) с осью ОХ: у=0 получаем точки (0;0), (3;0)

б) с осью ОУ: х=0 получаем точки (0;0)

  1. Найдем производную функции:
  2. Найдем критические точки: , т.е. ,х = … или х = ...

Отмечаем эти точки 0 и 2 на числовой прямой, и определяем знак производной в каждом промежутке.                                                                                                          +                

6(−  1) −  3(−  1)2 = −  6 −  3 = −  9 < 0                                                 

                                                                                                                          0                 2                    х

Значит, в промежутках и функция убывает и (0;2) – функция возрастает. 

х = 0 - точка минимума, т.к. производная меняет знак с минуса на плюс.

Вычислим уmin=

х = 2 – точка максимума, т.к. производная меняет знак с плюса на минус.

Вычислим уmax= .

7.Составляем таблицу для внесения всех данных

x

0

(0;2)

2

 

0

+

2

 

f(x)

0

 

4

 

 

min

 

max

 

   8. Строим график функции.

 

Пример 2. Сколько корней имеет уравнение: ?

Решение: Рассмотрим функцию р(x) =

1) Найдем область определения функции D(р) = (−img3.gif (67 bytes); img3.gif (67 bytes)).

2) Найдем производную р' (x) = x 3 − 3x 2 – x + 3.

3) Найдем критические точки и промежутки возрастания и убывания функции:

р' (x) = 0 <=> x 3 − 3x 2 – х + 3= 0 <=> x 2 (х − 3) − (х − 3) = 0 <=> (х − 3) ( x 2 − 1) = 0 <=>

х1=3, х2= 1, х3= − 1. Получим три критические точки, они разбивают координатную прямую на четыре промежутка. Определим знак производной на этих промежутках:

р ' (4) = 1 ·15 > 0

 

 

 

р(x) возрастает на интервалах [1; 1] и [3; +http://festival.1september.ru/articles/581739/img3.gif);

р(x) убывает на (http://festival.1september.ru/articles/581739/img3.gif ; 1] и [1; 3].

4) Найдем точки экстремума и экстремумы функции:

х = − 1 min р min = 1/4 + 1 − 1/2 − 3= 0,25 + 1 – 0,5 – 3 = 1,25 – 3,5 =  − … < 0, 

x = 1 max р max = 1/4 − 1 − 1/2 + 3 = 0,25 – 1 – 0,5 + 3 = 2 – 0,25=… > 0,

х = 3 min р min = 81/4 − 27 − 9/2 + 9 = 20,25 – 27 – 4,5 + 9 = 29,25 – 31,5 =

 =  − … < 0.

Строим эскиз графика.

Из рисунка видно, что многочлен имеет 4 корня, следовательно, уравнение имеет 4 решения.

Ответ: уравнение имеет 4 решения.

Пример 3. Найдите точки экстремума функции и определите их характер y= x 4 8x2.

Решение: y = x 4 8x2  , D(y) = R , y = (x 4 8x2) = 4x 3 – 16x,  y = 0,

4x 3 – 16x = 0, 4x(x2 4) = 0, 4x(x2) (x2) = 0,  х1= 0, х2 = 2, х3 = 2 – это стационарные точки.

                                                                           

 

                                   2                0                  2                    х

Функция убывает на  (– ;2,  на 0; 2.  Функция возрастает на – 2; 0, на 2; +).

х3 = …, х2 = … – это точки минимума.  х1= … – это точка максимума.

Ответ: х3 = 2, х2 = 2– это точки минимума, х1= 0 – это точка максимума.

Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у(x) = 2x3  12x2 18x  3  на отрезке [– 1;2] .

Решение: 1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:

 

х1= 1, х2 = 3 – критические точки. х1= 1 . х2= 1 .Вычислим значение функции в нужной точке:

2)Вычислим значения функции  на концах отрезка:

3) Среди чисел выбираем наибольшее и наименьшее.

Ответ:  

Пример 5. Число 24 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.

Решение: Пусть х – первое слагаемое, тогда (24-х) – второе слагаемое.                                                        Сумма квадратов этих чисел    По условию задачи   Рассмотрим функцию   Она на интервале  (0;24) непрерывна и дифференцируема. Найдем критические точки

 Это значение единственное, поэтому первое число – 12, второе – 12.   Ответ: 24=12+12.  
2)Решить задание  ( по примерам):

  1. Исследуйте функцию и постройте ее график.
  2. Сколько корней имеет уравнение: ?
  3. Найдите точки экстремума функции а)  y = x 4 2x2 , б) y =  x2 4x3 ,
    в) y = 2x5 10x4 40x3 5 и определите их характер.
  4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  f(x) = x3 3x2 – 72x  90 на                                 отрезке  [– 4;5] .
  5. Число 12 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.

3)Решить задание : 1.Найдите точки экстремума функции

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x4  4x2  8 на отрезке [– 1;2] .

  1. Найти максимальное и минимальное значения функции f(x) = на  отрезке  [– 8;0] .
  2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  f(x) = 2x312x2 – 30x 9 на                                отрезке  [– 4;2] .
  3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке [1;4];
Информация о публикации
Загружено: 16 апреля
Просмотров: 774
Скачиваний: 7
Зайцева Светлана Егоровна
Прочее, Прочее, Разное