[Уже через 7 дней!] Итоговая онлайн-конференция «Образовательные методики и технологии 2020/21» Подтвердить участие→
Конкурс разработок «Пять с плюсом» декабрь 2020
Добавляйте свои материалы в библиотеку и получайте ценные подарки
Конкурс проводится с 1 декабря по 31 декабря

ПЗ № 1. Выполнение действий над матрицами. Вычисление определителей второго и третьего порядка. Решение систем линейных уравнений.

ПЗ-1-ТЕХМАШ-ЗО ПЗ № 1. Выполнение действий над матрицами. Вычисление определителей второго и третьего порядка. Решение систем линейных уравнений. Теоретическая часть. Лекции. Практическая часть. 1) Опорный конспект. 2)Задание
Просмотр
содержимого документа

ПЗ № 1. Выполнение действий над матрицами. Вычисление определителей второго и третьего порядка. Решение систем линейных уравнений. 

Теоретическая часть. Лекции.

Практическая часть. 1) Опорный конспект.

Пример 1. Даны матрицы

  и    .Построить матрицу С = 2А – 3В + АТ.

Решение: 

-+=.

Пример 2. Найти произведение матрицы

на  матрицу .

Решение: 

т.е. .

Пример 3.а)Вычислить определитель матрицы: а) ,

б) Вычислить определитель : .

Решение:  а)(А) = .

б) Вычислим по правилу Саррюса

= 1 · (– 1) . (– 5)  + ( – 2) · ( – 4) ·0 + 4 · (– 3) ·3 – 0 · (– 1) ·3 – 4 · (– 2) · (– 5)

– (– 3) · (– 4) ·1= 5 + 0   36 + 0   40   12 =  – 83.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений  матричным методом

Решение: Найдем определитель матрицы А

Следовательно, матрица А имеет  обратную матрицу.

Обратная матрица А-1 определяется по формуле  

 

где Аij – алгебраические дополнения элементов ij данной матрицы А.

 Найдем алгебраические дополнения для элементов матрицы:

 

;.

Обратная матрица имеет вид              

Необходимо сделать проверку: А-1А=Е.

, где

с11= 91+(–16)( –4)+1(–1) =72; c12 = 92+(–16)1+1(–2) = 0; c13 = 93+(–16)2+15 = 0;

с21=181+8(–4)+( –14)( –1) = 0;c22 = 182+81+(–14)( –2) = 72; c23 = 183+82+(–14)5 = 0;

с31 = 91+0(–4)+9(–1) = 0; c32 = 92+01+9(–2) = 0; c33 = 93+02+95 = 72.

Т.е. .

Найдем  теперь решение системы Х=А-1В

(Необходимо сделать проверку по исходной системе уравнений).

Ответ: х1= –2, х2= –1, х3= 4.

Пример 5. Решить систему по формулам Крамера.  
 

Решение: Решим систему по формулам Крамера.


, значит, система имеет единственное решение.

 

 

 

Ответ: x1 =  5, x2 =  -1, x3 =  1.

Пример 6. Исследовать систему и решить ее методом Гаусса, если она совместна

Решение:  Дана неоднородная линейная система из 4-х уравнений с 4-мя неизвестными (m=n=4).

1) Определим, совместна или нет система (*). Вычисляем для этого ранги расширенной и основной матриц системы: Rg(A,B) и RgA.

(привели матрицу (A,B) к матрице (A,B), имеющую ступенчатую форму).

Итак, Rg(A, B) = Rg(A, B) = 4, RgA= RgA =  4 RgA= Rg(A,B) = 4. Следовательно система (*) совместна. Т.к. Rg A= n (n = 4) система имеет  единственное решение.

Найдем все решения системы (*). Для этого перейдем к следующей

эквивалентной системе.

,

где все неизвестные - базисные.

Решая систему (**), как систему из 4-х уравнений с 4-мя неизвестными, найдем x1, x2, x3, x4. Из последнего уравнения   имеем  x4 = 2.

Тогда из третьего уравнения найдем  x3 =  26х454 = 5254= 2.

Из второго уравнения найдем   x2 =  313x4 + 47 = 1826 + 47=44 + 47 = 3.

Из первого уравнения находим х1 = x2 + 4x39x4 + 22 = 3818 + 22 =1.

Проверка.

Подставим найденные значения неизвестных во все уравнения системы (*).

  решение найдено верно.

Ответ: х1 =1, х2 = 3, х3 = 2, х4 = 2.

2)Задание: 

  1. Даны матрицы А и В. Найти С = 2А + 3В.  .
  2. Вычислить определители:

 

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ;

 

  1. С помощью правила треугольников вычислить определители:

 

а) ; б) ; в) ; г) .

  1. Решить систему матричным способом.

  1. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

  1. Решить систему  методом Гаусса:

Информация о публикации
Загружено: 22 сентября
Просмотров: 65
Скачиваний: 1
Зайцева Светлана Егоровна
Прочее, Прочее, Разное
Скачать материал