[Только до 13 августа!] Масштабные летние олимпиады по школьным предметам Выбрать олимпиаду→
Конкурс разработок «Пять с плюсом» июль 2021
Добавляйте свои материалы в библиотеку и получайте ценные подарки
Конкурс проводится с 1 июля по 31 июля

Проект"Математика на клетчатой бумаге"

Проект по математике,который выполнила ученица 8 класса,полезен для подготовке к ОГЭ по геометрии.В материале использованы задания , для расчета площадей различных геометрических фигур, используя клетчатую бумагу или палетку. А также формула Пика,как один из методов расчета площадей.
библиотека
материалов
Содержание слайдов
Номер слайда 1

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 15 ПРОЕКТ на тему «Площадь фигуры на клетчатой бумаге» (математика) ученицы 8 «А «класса Ежова Юлия Алексеевна Руководитель проекта: учитель, математики Родионова Ольга Сергеевна

Номер слайда 2

Введение

Номер слайда 3

Методы расчета площади многоугольников. Мы заметили, что площади одних и тех же фигур можно находить различными способами. В быту мы часто сталкиваемся с задачами нахождения площади. Например, найти площадь пола, который придется покрасить. Любопытно ведь, чтобы купить необходимое количество обоев для ремонта, нужно знать размеры комнаты, т.е. площадь стен. Вычисление площади квадрата, прямоугольника и прямоугольного треугольника не вызвало у нас затруднений . В жизни часто приходится находить площадь геометрической фигуры неправильной формы. Как это сделать? Наверное, проще всего разбить его на прямоугольные треугольники и прямоугольники, площади которых нетрудно вычислить по формулам.

Номер слайда 4

Способ - разбиение Задача 1. Использованный нами способ несложен, но очень громоздок, кроме того он годится не для всяких многоугольников. Решение: 1) SBDCE =1 * 3 = 3 (кв. ед.) 2) SBDC = SBDCE : 2 = 3 : 2 = 1,5 (кв. ед.) 3) SACE = SAKCE : 2 = 1 * 1 : 2 = 0,5 (кв. ед.) 4) SABC = SBACE - (SBDC + SACE) = = 3 - (1,5 + 0,5) = 1 (кв. ед.) Ответ: 1 кв. ед.

Номер слайда 5

Способ – достраивание Решение: 1) SABF =3 * 2 : 2 = 3 (кв. ед.) 2) SACD =2 * 1 : 2 = 1 (кв. ед.) 3) SCBE =1 * 1 : 2 = 0,5 (кв. ед.) 4) SCEDF =1 * 1 = 1 (кв. ед.) 5) SABC = SABF - (SBCE + SACD + SCEFD) = 3 - (0,5 + 1 + 1) = 0,5 (кв. ед.) Ответ: 0,5 кв. ед. Решение: S1 = 4 * 7 – ((4 * 7 : 2) + (2 * 4 : 2)) = 28 – 18 = 10 (кв. ед.) S2 = 2 * 1 : 2 = 1 (кв. ед.) S3 = 5 * 1 : 2 = 2,5 (кв. ед.) S4 = 5 * 3 = 15 (кв. ед.) S5 = 2 * 3 : 2 = 3 (кв. ед.) S6 = 3 * 3 : 2 = 4,5 (кв. ед.) S7 = 2 * 3 : 2 = 3 (кв. ед.) SФ = S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 + + S7 = 10 + 1 + 2,5 + 15 + 3 + 4,5 + 3 = 39 (кв. ед.) Ответ: 39 кв. ед. Задача №2 Задача №3

Номер слайда 6

Георг Александр Пик (10. 09. 1859 – 13. 07. 1942) Георг Александр Пик – австрийский математик. Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика — Неванлинны, лемма Шварца — Пика. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника.

Номер слайда 7

Алгоритм вычисления площади многоугольника с помощью формулы Пика: Алгоритм вычисления площади многоугольника с помощью формулы Пика: 1) Отметить внутренние и граничные узлы. 2) Считаем количество внутренних узлов, граничных узлов. 3) Находим площадь фигуры по формуле: S = В + Г : 2 - 1. Задача 4 Вычислим площадь фигуры по формуле Пика В = 1 , Г = 8 S = 1 + 8 : 2 – 1 = 4 (кв. ед.) Ответ: 4 (кв. ед.)

Номер слайда 8

Задача про кузнечиков В одном научном журнале. приведена «задача про кузнечиков», «Кузнечики» сидели в узлах клетчатой бумаги в вершинах простого треугольника (Простой треугольник – треугольник не имеющий внутренних узлов) его площадь всегда равна 0,5 кв. см «Кузнечик» мог прыгнуть через одного из двух других в узел других клеток. Спрашивалось в каких тройках точек могут оказаться «кузнечики» после нескольких прыжков, и как изменится их площадь. Изначально по условию задачи кузнечики сидели так: После одного прыжка треугольник мог стать таким: (по условию может прыгать один кузнечик так, чтобы в треугольнике не было внутренних узлов, а два других оставались на месте) А после ещё одного таким: Но если мы посчитаем площадь всех этих треугольников, то мы заметим, что она всегда была равна 0,5 кв. ед., из этого следует что сколько бы кузнечики не прыгали, площадь треугольника останется одной, значит в результате прыжков кузнечиков всегда будет получаться простой треугольник (имеющий площадь 0,5 кв. ед.).

Номер слайда 9

Формула Пика для окружностей Решение по формуле Пика В1= 21 В2 = 9 Г2 = 16 Г2 = 12 SБК = 21 + 16 : 2 – 1 = 28 (кв. ед.) SМК = 9 + 12 : 2 – 1 = 14 (кв. ед.) Sкол = 28 – 14 = 14 (кв. ед.) Ответ: 14 (кв. ед.) Многие считают, что формула Пик а не подходит для нахождения площади окружности, но это не так. Правда есть маленькая неточность, но нам не нужно вычислять площадь до десяти тысячных долей. Вычислим площадь кольца Известно, что площадь кольца равна разности площадей внешнего и внутренне

Номер слайда 10

Практическое применение Формулы Пика 1.Работа с палеткой Решение. В = 99, Г = 62 Масштаб 1 : 400 1 см2 = 16 м2 Находим площадь одного этажа магазина в квадратных сантиметрах. 99 + 62 : 2 – 1 = 129 см2 129 см2 = 129 * 16 = 2064 м2  Ответ: 2064 м2.  Настоящая площадь – 3222 м2 2.Вычислить площадь озера Сиг Осташковского района Тверской области Решение Масштаб 1: 50000 В = 46, Г = 11   46 + 11 : 2 - 1 = 51,5 см2 51,5 * 50000 = 2575000 см2= = 25,75 км2 Ответ: 25,75 км2   Мы получили приближённый результат. Настоящая площадь озера - 26,4 км2

Номер слайда 11

Заключение Проанализировав способы решения задач на вычисление площадей, можно сделать следующие выводы: 1. Формула Пика даёт быстрое и простое решение задач на нахождение площади фигуры на клетчатой бумаге, вершины которой лежат в узлах решётки, то есть нахождения площадей многоугольников. 2. Основное условие для применения формулы Пика: у многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге (решётке), должны быть только целочисленные вершины, то есть они обязательно должны находиться в узлах решётки. 3. Использование формулы Пика для нахождения площади кругового сектора или кольца нецелесообразно, так как она даёт приближённый результат. 4 . Формула Пика не применяется для решения задач в пространстве.   При помощи формулы Пика легко вычислить площадь многоугольника на плоскости даже самой причудливой формы.

Номер слайда 12

Источники информации: 1. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант» 1974 год, номер 12. 2. Формула Пика http://turboreferat.ru/geometry/formula-pika/10094-52632-page1.html 3. Математика, которая мне нравится http://hijos.ru/2011/12/30/georg-aleksandr-pik-1859-1942/ 4. Образовательный портал «Решу ЕГЭ» https://ege.sdamgia.ru 5. «Математические этюды» www.etudes.ru/ru/etudes/pick-theorem/ 6. Дидактическая библиотека http://gorinalw.3dn.ru/OSNOVA/osnova-3-2013.pdf

Номер слайда 13

Спасибо за внимание!

Информация о публикации
Загружено: 15 февраля
Просмотров: 2556
Скачиваний: 14
Родионова Ольга Сергеевна
Геометрия, 8 класс, Презентации

Проверьте знания своих учеников интересными заданиями

Красочные наградные дипломы и сертификаты для участников, свидетельства и благодарности каждому учителю, ежемесячный розыгрыш ценных призов!

Скачать материал