Презентация к уроку "Числовые последовательности. Геометрическая прогрессия"

Презентацию можно использовать на уроках алгебры и при подготовке учащихся к ГИА.
Скачать материал
библиотека
материалов
Содержание слайдов
Номер слайда 1

Геометрическая прогрессия Подготовка к ГИАУчитель математики МБОУ «Гимназия №35»Г. Махачкала. Хуриялова Патимат Муртазалиевна

Номер слайда 2

Задача. Ежедневно каждый болеющий гриппомможет заразить четырех окружающих. Составьте последовательность иопределите, сколько людей будут болеть на шестой день?

Номер слайда 3

1, 4, 16, 64, 256, 1024….. 𝑏1,𝑏2,𝑏3, 𝑏4,𝑏5,𝑏6,…Ответ: 1024 

Номер слайда 4

Числовую последовательность, все члены которой отличны от 0 и каждый член , начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q, называется геометрической прогрессией. q-знаменатель геометрической прогрессииbn+1=bn•q𝑞=𝑏𝑛+1𝑏𝑛,  

Номер слайда 5

,- члены геометрической прогрессии𝒃𝟏, 𝒃𝟐,𝒃𝟑,…,𝒃𝒏 Если q>1 и первый член положительный, тогеометрическая прогрессия являетсявозрастающей. Если 0

Номер слайда 6

Формула n-го члена геометрической прогрессииbn=b1•qn-1 Формула суммы п-первых членов геометрической прогрессии       𝑺𝒏=𝒃𝟏•(𝒒𝒏−𝟏)𝒒−𝟏. q≠1  𝑺𝒏=𝒃𝒏•𝒒−𝒃𝟏𝒒−𝟏=𝒃𝟏•𝒒𝒏−𝟏•𝒒−𝒃𝟏𝒒−𝟏 = 𝒃𝟏•𝒒𝒏−𝒃𝟏𝒒−𝟏 , т.е. 

Номер слайда 7

Характеристическое свойство геометрической прогрессии. Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена(кроме первого и последнего) равен произведению предыдущего и последующего членов.⇔среднее геометрическое предыдущего и последующего членов прогрессии

Номер слайда 8

Формулыbn=b1•qn-1 𝒒=𝒃𝒏+𝟏𝒃𝒏,  bn+1=bn•q𝑺𝒏=𝒃𝟏•(𝒒𝒏−𝟏)𝒒−𝟏 q≠1  

Номер слайда 9

Задача 1. (№ 341326 Банк заданий ФИПИ)Последовательность  (an) задана формулой an = . Сколько членов этой последовательности больше 2? Решение. Необходимо решить неравенство: an >2, т.е. 𝟕𝟒𝒏+𝟏 >2, 𝟕𝟒𝒏+𝟏 -2>0, 𝟕𝟒−𝟐•(𝒏+𝟏)𝒏+𝟏 >0,так как nЄN, то , 1≤ Значит 35 членов данной последовательности больше 2. Ответ: 35. Задача 2. (№ 311353 Банк заданий ФИПИ)Геометрическая прогрессия  (bn)  задана формулой  n  - го члена . Укажите четвертый член этой прогрессии. Решение. Четвертый член геометрической прогрессии найдем, подставив в формулу вместо n число 4, т.е. =2 =2 Ответ:-54. 

Номер слайда 10

Задача 3. В прогрессии: …-6;x;-24;-48;…Найдите x. Решение. 1) Так как , то = =12, но эта последовательность монотонно убывающая, поэтомуx=-12. 2) Члены геометрической прогрессии образуются по формуле  или , где - множитель, на который изменяется следующий член прогрессии по сравнению с предыдущим. Вычислим данный множитель, зная два подряд идущих члена прогрессии: ,Тогда значение x найдем по формуле Ответ: -12.

Номер слайда 11

Задание 4  (№ 314618 Банк заданий ФИПИ) В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии. В ответе запишите первый, второй и третий члены прогрессии без пробелов. Решение. По условию    =75, =150. Запишем этиравенства в виде системы уравнений через первый член изнаменатель прогрессии и далее решим систему: 𝑏1+𝑏1∗𝑞=75𝑏1∗𝑞+𝑏1∗𝑞2=150⇔ 𝑏1+𝑏1∗𝑞=75𝑞∗(𝑏1+𝑏1∗𝑞)=150⇔𝑏1+𝑏1∗𝑞=75𝑞∗75=150⇔3𝑏1=75𝑞=2⇔𝑏1=25𝑞=2𝑏2=25∗2=50, 𝑏3=50∗2=100. Ответ: 2550100 ⇔

Номер слайда 12

Задача 5.( № 341198 Банк заданий ФИПИ)Дана геометрическая прогрессия (bn), для которой b5 = −14, b8 = 112. Найдите знаменатель прогрессии. Решение. 1) По формуле n –го члена геометрической прогрессии bn=b1•qn-1 , зная, что b5 = −14 и b8 = 112, получим систему уравнений. Решим систему, разделив второе уравнение на первое:b5 = b1•𝑞5−1, b8 = 𝑏1 •𝑞8−1 ;−14=𝑏1 •𝑞4112=𝑏1 •𝑞7  ⇔112−14=𝑏1 •𝑞7𝑏1 •𝑞4⇔𝑞3=-8⇔q=-2.2) Для m,n из множества N, таких, что m>n, справедливо равенство 𝒒𝒎−𝒏= 𝒃𝒎𝒃𝒏. 𝑞8−5 = 𝑏8𝑏5, 𝑞3=112−14=−8, т.е. 𝑞3=−8, откуда 𝑞=−2. Ответ: -2. 

Номер слайда 13

Задание 6 (ОГЭ, Математика. Числовые последовательности). Дана геометрическая прогрессия (𝑏𝑛) , знаменатель которой равен 5, 𝑏1 =  25. Найдите сумму первых 6 её членов. Решение.1. (по формуле) Воспользуемся формулой суммы n-первых членов геометрической прогрессии: 𝑆𝑛=𝑏1•(𝑞𝑛−1)𝑞−1. Так как нам нужно найти сумму шести первых членов, подставив вместо b1=25, q=5, n=6, получим: 𝑺𝟔=25•(56−1)5−1=25•(15625−1)5−1=25•156244=25•3906=1562,4.2. Если необходимо просуммировать небольшое количество членов, то можно воспользоваться и методом "в лоб". Для этого сначала вычислим все 6 членов, далее найдем их сумму.𝑏1 =  25,                         𝑏2=𝑏1•𝑞,𝑏2= 25•5=2,𝑏3=𝑏2•𝑞,𝑏3=2•5=10,𝑏4=𝑏3•𝑞,𝑏4=10•5=50,𝑏5=𝑏4•𝑞,𝑏5=50•5=250,𝑏6=𝑏5•𝑞,𝑏6=250•5=1250. 𝑺𝟔=25+2+10+50+250+1250=1562,4. Ответ: 𝟏𝟓𝟔𝟐,𝟒. 

Номер слайда 14

Задача 7( Решу ОГЭ -2020, Математика). Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: -256; 128; -64; … Найдите сумму первых семи её членов. Решение. Зависимость членов геометрической прогрессии можно записать так: 𝑏𝑛+1=𝑏𝑛•𝑞 Тогда: 𝑏2=𝑏1•𝑞, 128=-256•𝑞, 𝑞 =128−256=−12=-0,5. Сумму первых семи членов геометрической прогрессии можно вычислить по формуле или методом "в лоб", вычислив недостающие члены прогрессии и сложить их: 1) по формуле: 𝑺𝒏=𝒃𝟏•(𝒒𝒏−𝟏)𝒒−𝟏, 𝑺𝟕=𝒃𝟏•(𝒒𝟕−𝟏)𝒒−𝟏,𝑆7=−256•((−12)7−1)−12−1=−256•(−1128−1)−32=2+256−32=−258•23=−𝟏𝟕𝟐. Второй способ на следующем слайде  

Номер слайда 15

Второй способ…в" лоб": найдем значение знаменателя геометрической прогрессии из формулы𝑏𝑛+1=𝑏𝑛•𝑞 , 𝑞=𝑏𝑛+1𝑏𝑛, 𝑞=128−256=−12=-0,5. 𝒃𝟏 = -256𝒃𝟐=128,𝒃𝟑=−64,𝑏4=𝑏3•𝑞, 𝒃𝟒=−64•(−0,5)=32,𝑏5=𝑏4•𝑞, 𝒃𝟓=32•−0,5=−16,𝑏6=𝑏5•𝑞, 𝒃𝟔=−16•−0,5=8,𝑏7=𝑏6•𝑞, 𝒃𝟕=8•−0,5=−4.𝑺𝟕=−256+128+−64+32+−16+8+−4=−172. Ответ: -172 

Номер слайда 16

Номер слайда 17

Задача 8 (НРК). По данным экологов, один житель создает в среднем 0,5 кг мусора в день!!! В Республике Дагестан проживает 3 110 858 жителей(данные Росстата -2020). Подсчитайте, сколько оставляем мусора после себя за год??? Решение. 0,5 кг мусора в день - один человек, тогда за год: 365•0,5=182,5 (кг). 3 110 858 жителей Республики Дагестан оставляют ежегодно после себя 182,5•3 110 858=567 731 585 кг≈567 732 (т). Ответ: 567 732 тонн мусора!!!!! 

Номер слайда 18

Чистота нашей планеты зависит от нас!!!!

Номер слайда 19

Задачи для самостоятельного решения. 1. Чему равен знаменатель геометрической прогрессии (bn), если b3 = -3, а b8 = -96?2. Каждый курильщик выкуривает в среднем 8 сигарет в сутки. После выкуривания одной сигареты в легких оседает 0,0002 грамма никотина и табачного дегтя. С каждой последующей сигаретой это количество увеличивается в два раза. Составьте последовательность и определите, сколько граммов никотина будет оседать в легких после выкуривания 8 сигареты.

Номер слайда 20

МАТЕМАТИКА УСТУПАЕТСВОИ КРЕПОСТИ ЛИШЬ СИЛЬНЫМ И СМЕЛЫМ А. П. Конфорович

Информация о публикации
Загружено: 30 мая
Просмотров: 584
Скачиваний: 9
ХУРИЯЛОВА ПАТИМАТ МУРТАЗАЛИЕВНА
Математика, 9 класс, Презентации