Презентация "Дискретная случайная величина"

Презентацию можно использовать при проведении лекции и практического занятия по теме "Дискретная случайная величина", "Числовые характеристики дискретной случайной величины".
Скачать материал
Просмотр
содержимого документа

ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

    Случайной величиной называют переменную величину, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.

    Пример. Число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости, есть случайная величина, она может принимать одно из значений:

1,2,3,4,5,6.  

ОБОЗНАЧЕНИЕ

   Случайные величины обозначаются прописными буквами: X, Y, Z.

   Возможные значения случайных величин обозначаются строчными буквами: x, y, z.

    Пример. Число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости, есть случайная величина, она может принимать одно из значений:

1,2,3,4,5,6.  

ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ

ВЕЛИЧИНА

   Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случайной величиной.

    Пример. Число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости, есть дискретная случайная величина, она может принимать одно из значений: 1,2,3,4,5,6.  

СУММА СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

    Под суммой случайных величин X и Y понимают случайную величину Z = X + Y, возможные значения которой состоят из сумм возможных значений X и Y .

    Под произведением  случайных величин X и Y понимают случайную величину Z = X ·Y, возможные значения которой состоят из произведений  возможных значений X и Y .

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ

СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

    Указанный перечень возможных значений случайной величины и их вероятностей называют законом распределения дискретной случайной величины.

Х

х1

х2

х3

xn-1

xn

р

p1

p2

p3

pn-1

pn

    p1+p2+p3+…+pn=1

    Пример.    В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 100 000 руб., 10 выигрышей по 10 000 руб. и

100 выигрышей по 100 руб. при общем числе билетов 10 000. Найти закон распределения случайного выигрыша Х для владельца одного лотерейного билета 

 

         Х

0

100

10 000

100

000

р

0,9889  

0,01

0,001

0,0001

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

    Закон распределения:

Х

х1

х2

х3

xn-1

xn

р

p1

p2

p3

pn-1

pn

    Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называют сумму произведений всех возможных значений величины Х на соответствующие вероятности:

    Пример.    В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 100 000 руб., 10 выигрышей по 10 000 руб. и

100 выигрышей по 100 руб. при общем числе билетов 10 000. Найти закон распределения случайного выигрыша Х для владельца одного лотерейного билета 

 

         Х

0

100

10 000

100

000

р

0,9889  

0,01

0,001

0,0001

    М(Х)=21 руб. есть справедливая цена одного лотерейного билета.

Теорема. Математическое ожидание дискретной случайной величины Х приближённо равно среднему арифметическому всех её значений.

 

Х

 

х1

х2

х3

xn-1

xn

m

m1

m2

m3

mn-1

mn

    m – количество раз, которые приняли значения х.

СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

1.  Математическое ожидание постоянной величины С равно этой величине

2.  Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. М(СХ)=СМ(Х)

3.  Математическое ожидание суммы двух случайных величин Х и Y равно сумме их математических ожиданий: M(X+Y)=M(X)+M(Y) 

СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ

ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

    Определение. Случайные величины Х и Y называют независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое возможное значение приняла другая величина

4.  Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XY)=M(X)·M(Y) 

5.  Математическое ожидание разности двух случайных величин равно разности их математических ожиданий: M(X-Y)=M(X)-M(Y) 

Пример 

    Найти математическое ожидание случайной величины Z=X+2Y, если известны

математические ожидания случайных величин X и Y: М(Х)=5, M(Y)=3.

    Решение.

M(Z)=M(X+2Y)=M(X)+M(2Y)=M(X)+2M(Y)= =5+2·3=11.

Пример

     Независимые случайные величины заданы законами распределения:

Х

1

2

 

Y

0,5

1

р

0,2

0,8

р

0,3

0,7

    Найти математическое ожидание случайной величины XY

    Решение.

М(Х)=1·0,2+2·0,8=1,8

М(Y)=0,5·0,3+1·0,7=0,85

М(XY)=M(X)·M(Y)=1,8·0,85=1,53 ОТКЛОНЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Х 

Случайная  величина  задана  законом  распределения:                                                 

        Х

1

2

3

р

0,2

0,3

0,5

Х-М(Х)

-1,3

-0,3

0,7

    М(Х)=1·0,2+2·0,3+3·0,5=2,3

1-2,3=-1,3

2-2,3=-0,3

3-2,3=0,7

 

Х -М(Х) – отклонение случайной величины Х от её математического ожидания

ДИСПЕРСИЯ  СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ  Х  

Случайная  величина  задана  законом  распределения:                                                 

        Х

1

2

3

р

0,2

0,3

0,5

Х-М(Х)

-1,3

-0,3

0,7

1,69

0,09

0,49

D(X)=1,69·0,2+0,09·0,3+0,49·0,5=0,61 – дисперсия случайной величины Х

Информация о публикации
Загружено: 29 мая
Просмотров: 1572
Скачиваний: 36
Елфимова Наталья Александровна
Математика, СУЗ, Презентации