Практическое занятие «Вычисление площадей и объемов».

ПЗ № 7. Вычисление площадей и объемов. Цель: закрепление теоретических знаний по теме и приобретение практических навыков работы с инструментами, вычислительных навыков; изучить вычисление объемов многогранников, вычисление площадей и объемов; сформировать умение работать по плану, научить студентов обобщать, углублять уже известный материал; переносить знания в новые ситуации. Структура урока: 1. Вводно-мотивационная часть(Организационный момент, указания по работе с УК). 2. Основная часть урока (работа по УК) 3. Рефлексивно-оценочная часть урока.
Скачать материал
Просмотр
содержимого документа

ПЗ № 7. Вычисление площадей и объемов.

Цель: закрепление теоретических знаний по теме и приобретение практических навыков работы с инструментами, вычислительных навыков; изучить вычисление объемов многогранников, вычисление площадей и объемов; сформировать умение работать по плану, научить студентов обобщать, углублять уже известный материал; переносить знания в новые ситуации.

Структура урока:

1. Вводно-мотивационная часть(Организационный момент, указания по работе с УК).

2. Основная часть урока (работа по УК)

3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

 

Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:

  • pyramid2.gifА)Пример 1.  Высота правильной треугольной пирамиды     4 см, а ее   апофемы 8 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 
    Решение:  Исходя из того, что MK = 8, MO = 4, синус угла OKM равен  MO/MK = 1/2 , откуда угол равен  arcsin 1/2 = 30 °. 

Откуда  KO / MK = cos 30° ,  KO / 8 = cos 30° ,

KO = 8 cos 30° .KO = 8/2 = 4 .
Тогда по свойству равностороннего треугольника 

 КО = r = a/6.    4 = a /6 , a = 24. 
Теперь, зная размер основания боковой грани и ее апофему, найдем площадь боковой грани как площадь равнобедренного треугольника: Sт = 1/224 8 = 12 8 = … см2 .
Откуда площадь боковой поверхности пирамиды S = 3 Sт = 3 96 = … см2 . 
Ответ: 288 см2.

Пример 2.  Дано: усеченная  правильная пирамида, n = 3, h = 4, a1= 16 , a2= 10 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2  = 16  : 2  = 16 : 2 = …, r2= a2 / 2  = 10  : 2  = 10 : 2 = … ,

l2 = h2  +  (r2    r1)2, l2 = 42  +  (5  8)2  = 16 + 9 = …,   l  = … Sn =  /4 (a12 +  a22)  +  1,5 l(a1 +  a2) .

Sn =  /4 ((16 )2 +  (10 )2)  +  1,5 5(16  +  10 ) =   /4 (768 +  300)  +  1,5 5 =  =267  + 195   =   .

 Ответ: 462 

Пример 3.  Дано: усеченная  правильная пирамида, n = 4, h = 3, a1= 16,  a2= 8 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2= 16: 2= …, r2= a2 / 2= 8  : 2  = …,

l2 = h2  +  (r2  r1)2, l2 = 32  +  (4  8)2  = 9 + 16 = …,   l  = ….

Sn = (a12 +  a22)  +  2 l(a1 +  a2)  .Sn = (162 +  82)  +  2 5(16 +  8) = 320 + 240 = …  .

Ответ: 560

Пример 4. Дано: усеченная  правильная пирамида, n = 6, h = 2, a1= 2 , a2= 6 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

 Решение: r1= a1 / 2  = 2  : 2  =  , r2= a2 / 2  = 6  : 2  = 3 ,

l2 = h2  +  (r2 r1)2, l2 = 22  +  (  )2  = 4 + 12 = …,   l  = ….

Sn =3  /2 (a12 +  a22)  +  3 l(a1 +  a2)  .Sn =3  /2 (22 +  62)  +  3 4(2 +  6) = …   +   .

Ответ: 60   + 96 

Пример 5. Дано: усеченная  правильная пирамида, n = 4, h = 3, r1=2,  r2= 6 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: l2 = h2  +  (r2  r1)2, l2 = 32  +  (6    2)2  = 9 + 16 = …,   l  = ….

Sn = 4 (r12 +  r22)  +  4 l(r1 +  r2)  . Sn = 4 (22 +  62)  +  2 5(2 + 6) = 160 + 80 = …  .

Ответ: 240.

  • В)Пример 1.  Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро,

перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.
Решение: Каждая грань прямоугольного параллелепипеда –прямоугольник.

Пусть SABCD= a b = 12 , тогда АА1= h = 4, т.к. АА1   АВСD

Используем формулу объема прямоугольного параллелепипеда: V = a b h   , V = 12 4 = ...

Ответ: 48 см3.

Пример 2.  Объем прямоугольного параллелепипеда равен 12. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной  этому ребру.

Решение: Пусть АА1   АВСD, V = 12 , АА1= h = 3.

Найдём SABCD. Используем формулу объема прямоугольного параллелепипеда  V = a b h, где SABCD= a b, S ABCD 3 = 12,S ABCD = 12 : 3 =  ...  Ответ: 4 см2.

Пример 3.  Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.

Решение: a = 4,   b = 2,  d = 6. Найдем V.

Формула диагонали       прямоугольного параллелепипеда:

d2 = a2 + b2 + h2 ,  16 + 4 + h2 = 36,  h2 = … ,    h = ...                                                                           

Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = abh ,   V = 4 2 4 = ...  Ответ: 32 см3.

Пример 4.  Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ и высоту.

Решение:  a = 3,   b = 2. Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = abh ,   3 . 2 . h = 36,

image2366h = 36, h = ...,  V = 36.  Найдем d.   d2 = 9 + 4 + 36,  d2 = 49,  d = ...  Ответ: 7 и 6 см.                                                                                                            
Пример 5.  Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, диагональ 
D1B = 18 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром (рис. ). Найти: V.

 Решение: BC1 - проекция D1B на плоскость боковой грани BB1С1С,
поэтому D1BC1 = 30°, D1BB1= 45°.
Рассмотрим ΔD1C1B:  D1C1B = 90° (рис.). ∠В = 30°. => D1C1 = 18 : 2 = … см.
Рассмотрим ΔD1B1B - прямоугольный: BB1= 18 cos 45° = 18 : 2 = … см.
Диагональ (d) и измерения (а, b, с) прямоугольного параллелепипеда связаны соотношением:
d2 = a2 + b2 + h2 ,  182 = 92 + (9)2 + B1C12 ,(ΔD1B1B: B1B =D1 B1). 
B1C12 = 182 – 92  (9)2  = 324 – 81– 81 2 = 81, B1C1 = …см. V = 99 9 = … см3.   
Ответ: V = 729см3.

Пример 6.  Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 3 и 4. Найти его объём, если высота равна длине диагонали его основания.

Решение: BD - диагональ основания прямоугольного параллелепипеда. BD2 =  АВ2 + АD2,
BD2 = 32 + 42 = 9 + 16 = …, BD = …, h = 5. V = 345 = … см3.                               
Ответ: 60 см3.

Пример 7.  Найти объём прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания 2 и 3, а диагональ параллелепипеда .

http://compendium.su/mathematics/geometry11/geometry11.files/image1813.jpgРешение: d2 = a2 + b2 + h2 ,  ()2 = 22 + 32 + h2 ,  h 2 =  38 – 49  = 25,  h = ...  V = 23 5 = … см3.
Ответ:  30 см3.

  • С)Пример 1.  Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма,                                                                                                                                  АС = ВС, ACB = 90°, BN = NA, CNC1 = 45°, CC1 = 6 (рис.).   Найти: V.                                                                                     Решение: V = Sh ,  S = BC2 : 2, BC2 = BN2 + CN2 , BN =CN
    (ΔABC – прямоугольный,AC =BC), ΔC1CN – прямоугольный,    CNC1 = 45°, 
    CC1 = CN= 6, BC2 =2CN2  = 2 62 = 236 = …, BC = 6 , 
    V = (62 6 : 2 = 36 6  = … см3.    Ответ:216см3.                                                                                                                       
  • http://compendium.su/mathematics/geometry11/geometry11.files/image1709.jpgПример 2.  Дано: ABCDА1В1С1D1 - прямая призма,  ABCD - ромб, BAD = 60° (рис.).    ВВ1 = 2, B1DB = 45°.    Найти: V.                                                                                      Решение:  Sp = AB AD sin 60°. ΔABD – равносторонний( AB = AD,BAD = 60° ).
    AB = BD = AD.  ΔB1DB –прямоугольный ,
    B1DB = 45°. => ΔB1DB – равнобедренный, ВВ1 = ВD = 2,  
    V =  AB AD sin 60° BB1= BB13 sin 60°  =  23   / 2   = … см3.

Ответ: 4 см3. 

http://compendium.su/mathematics/geometry11/geometry11.files/image1715.jpgПример 3.  Дано: ABCDFM...M1 - правильная шестиугольная призма. AD1 = 8 см - наибольшая диагональ.AD1D = 30°(рис.).

Найти: V.                                                                                                                               
Решение: V= S0 · h. h = DD1 в ΔADD1, D = 90°. D1 = 30°,                                        

DD1 = AD1 · cos 30°.  DD1 =  8   / 2 = … ,  AD = AD1 : 2 = 8 : 2 = … см,
OD = OC = CD = AD : 2 = 4 : 2 = … см,
S0 = 6S ΔOCD = 6   / 4) a2 =    6   / 4) 22 = 6 см.  V =  6 = 6 43  =  … см3.                                   

Ответ: 72 см3.   

image270Пример 4. Дана трапеция, S(BB1C1C) = 8 см2, S(AA1D1D) = 12см2, BH = 5 см (рис.).Найти: Vnp.                                                                                                      
Решение:1)Расстояние между параллельными плоскостями ВВ1С1 и AA1D1 есть длина перпендикуляра ВН, который является высотой трапеции ABCD. 

2) Обозначим верхнее основание трапеции - а, нижнее - b, высоту призмы h, тогда  S(BB1C1C) = ah,  8 = ah, a = 8 / h, S(AA1D1D) = bh , 12 =  bh,      b = 12 / h, 

3) S0 = (AD + BC)BH : 2  =( a + b ) BH : 2 = (8 /  h + 12 / h) 5 : 2 = … / h,

4) V= S0 · h. V= 50 /  h · h = … см3.   Ответ: 50 см3.                   

  • Д)Пример 1.  В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 9 см. Сторона основания 4 см. Найдите объем пирамиды.

Решение: V= 1/3 S0 · h. V= 1/3 a2 · h = 1/3· 42·9 = 1/3 ·  16 · 9 = 16 · 3 = … см3. Ответ: 48см3. 

Пример 2.  a) Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 27 см3, высота 9 см. Найти сторону основания.

Решение: V= 1/3 S0 · h. V= 1/3 a2 · h,  a2  = 3V : h = 3 · 27 : 9 = 3 · 3 = ... ,  a = … см.

image288Ответ: 3 см.

б) Объем пирамиды равен 56 см3, площадь основания 14 см2. Чему равна высота?

Решение: V= 1/3 S0 · h.  h = 3 V :  S0  = 3 ·  56 : 14  = 3 · 4 =   см.

Ответ: 12 см.

Пример 3.  Дано: ABCD - правильная пирамида.

 АВ = a = 3; AD = 2 (рис.).Найти: a) Socн.; б) АО; в) DO; г) V.

 Решение:

а) S0  = 0,25 · a2  = 0,25 · 32 =  2,25   (используем формулу для вычисления площади правильного треугольника). 

б) AO = R = 2/3h = 1/3 a  (формула радиуса описанной окружности через сторону правильного треугольника). AO = 1/3 · 3 = .

image289в) DO2 = AD2 – AO2, (по теореме Пифагора).

DO2 = (2)2 – ()2 = 4 · 3 – 3 = … , DO = h =  3.

г)  V= 1/3 S0 · h. V= 1/3 · 2,25 · 3 =  см3.

Ответ: a) Socн. = 2,25 см2; б) АО = см; в) DO = 3см; г) V = 2,25 см3 .

Пример 4. Дано: ABCDF - правильная пирамида. 

FCO = 45°; FO = 2 (рис.). Найти: a) Socн.; б) V. 

Решение:

1) Рассмотрим ΔFOC: O = 90°, C = 45°, значит, F = 45°. Следовательно, ΔFOC - равнобедренный, ОС ≈ FO = h= 2.

2) АС = 2OС = 4. d = AC = AD (по свойству диагонали квадрата, d2 = 2а2).

Тогда  AD = AC /   = 4 / = 2 .

3) ABCD - квадрат (пирамида правильная). S0 = AD2 = (2)2 = 2 · 4 = ...

С-634)  V= 1/3 S0 · h. V= 1/3 · 8 · 2 = 16/3 5,3. Ответ: a) 8; 6) 5,3.

Пример 5.  Дано: ABCA1B1C1 – усеченная пирамида. ΔАВС  – прямоугольный,  
AB = 18 дм, BC = 24 дм,  AA1 = BB1 = СС1 = 12,5 дм, k = 0,5. Найти V.

С-63Решение:   S1 = SABC = 1/2 · AB · BC = 1/2 · 18 · 24 = 9 · 24 = … ,                            
S2 = S(A1B1C1) = 1/2· A1B1 · B1C1 = 1/2 (k · AB) · (k · BC) =                                  
= 1/2· 0,5 · 18 · 0,5 · 24 = 6 · 9 = … ,
S = S1 + S2 + = = 216 + 54 + = 216 + 54 + 54  =  … ,               
V = 1/3 · h · S = 1/3 378 h =  126 h, R 1 =  abc/4S1 , 

c = = = … ,                                                                                                   R1 = = = …,

R2 = R1 : 2 = 7,5; h2 = 12,52 – (15 – 7,5)2 = 12,52 – 7,52  = (12,5 – 7,5) · (12,5 + 7,5) =

=  5 · 20 = … , h = … ,

 V = 126 h = 126 · 10 = …  (дм3).
Ответ: 1260 (дм3).

Пример 6.  усеченная пирамида а) n = 3, а1 = 2, а2 = 5, h = 12, V =?                                                      
Решение: A = 22  + 52 + 2 · 5 = 39,  V = · h · A = · 12 · 39 =    .         Ответ: 39  .

б) n = 4, a1 = 3, a2 = 8, h = 6, V = ?                                                                             
Решение: A = 32 + 82 + 3 · 8 = 97, V = 1/3 · 6 · 97 = 2 · 97 = ...                          

Ответ:  194.

 

 

 

 

 

2)Решить задачи  ( по примерам):

А)

  1. Высота правильной треугольной пирамиды 8 см, а ее   апофемы 16 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 
  2. Дано: усеченная  правильная пирамида, n = 3, h = 8, a1 = 14 ,  a2 = 2 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .
  3. Дано: усеченная  правильная пирамида, n = 4, h = 8, a1 = 16, a2 = 4 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .
  4. Дано: усеченная  правильная пирамида, n = 6, h = 2, a1 = 4 ,  a2 = 8 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .
  5. Дано: усеченная  правильная пирамида, n = 4, h = 3, r1 = 5,  r2 = 9 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

В)

  1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 15. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 6. Найдите объем параллелепипеда.
  2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер   равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной   этому ребру.
  3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 4. Диагональ параллелепипеда равна 13. Найдите объем параллелепипеда.
  4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 6. Объем параллелепипеда равен 108. Найдите его диагональ и высоту.
  5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед,  диагональ    D1B = 12 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром. Найти: V.
  6. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 6 и 8. Найти его объём, если высота равна длине диагонали его основания.
  7. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания   4 и 6, а диагональ параллелепипеда .

С)

  1.   Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АС = ВС,   ACB =90°, BN = NA, CNC1 = 45°, CC1 = 8 (рис.).   Найти: V.
  2.   Дано: ABCDА1В1С1D1 - прямая призма,  ABCD - ромб, BAD = 60° (рис.). ВВ1 = 4,                    B1DB = 45°.  Найти: V.
  3.   Дано: ABCDFM...M1 - правильная шестиугольная призма. AD1 = 16 см - наибольшая диагональ.AD1D = 30° (рис.).  Найти: V. 
  4.   Дана трапеция, S(BB1C1C) = 10 см2, S(AA1D1D) = 14см2, BH = 10 см (рис.). Найти: Vnp. 

Д)

  1.    В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6 см. Сторона основания 5 см. Найдите объем пирамиды.
  2.    a)Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 48 см3, высота 4 см. Найти сторону основания.   б) Объем пирамиды равен 28 см3, площадь основания 4 см2. Чему равна высота?
  3.    Дано: ABCD - правильная пирамида. АВ = a = 6; AD = 4 . Найти: a) Socн.; б) АО; в) DO; г) V.
  4.    Дано: ABCDF - правильная пирамида.  FCO = 45°; FO = 4 . Найти: a) Socн.; б) V. 
  5.    Дано: ABCA1B1C1 – усеченная пирамида. ΔАВС  – прямоугольный,   AB = 12 дм,BC = 16 дм, AA1 = BB1 = СС1 = 13 дм, k = 0,5. Найти V.
  6.   а) n = 3, а1 = 2, а2 = 5, h = 24, V =?, б) n = 4, a1 = 3, a2 = 8, h = 3, V = ?,                                                                                                                                                 

 

 

 

 

 

                                                               

 

 

 

 

 

 

Информация о публикации
Загружено: 20 марта
Просмотров: 323
Скачиваний: 0
Зайцева Светлана Егоровна
Прочее, Прочее, Разное