[20.07 ждём вас!] Конференция «Цифровые компетенции современного педагога» Подтвердить участие→
Конкурс разработок «Пять с плюсом» июль 2021
Добавляйте свои материалы в библиотеку и получайте ценные подарки
Конкурс проводится с 1 июля по 31 июля

Открытый урок по стереометрии: "Параллельность прямых и плоскостей"

Открытый урок содержит технологическую карту по данной теме и сопутствующую презентацию. Объяснение нового материала. Работа в время урока и фронтальная и индивидуальная и в группах. Данный материал можно использовать для студентов 1 курса техникума или колледжа, или учеников 10-х классов.
Просмотр
содержимого документа

Технологическая карта (план) занятия № 22

 

Дисциплина

Математика

Группа

Дата

Тема занятия

Параллельность прямых и плоскостей.

11 М

 

Вид занятия

Теоретическое

Тип занятия

Урок изучения  нового материала.

Цель занятия

Образовательная цель:

1. сформулировать основные понятия, аксиомы и следствия; изучить возможные случаи взаимного расположения прямых в пространстве; формировать навыки чтения чертежей; ввести понятия параллельности прямой и плоскости; изучить признак параллельности прямой и плоскости;.

2. рассмотреть основные отношения; записать в символах словесные формулировки аксиом, следствий, отношения между понятиями и составить модель изображения; рассмотреть параллельность прямых и плоскостей в пространстве; изучить признак параллельности прямой и плоскости; обобщить и систематизировать знания о взаимном расположении прямой и плоскости.

 формировать навыки чтения чертежей.

3. сформулировать  признак и свойства параллельных плоскостей.

Развивающая цель: развивать логическое и аналитическое мышление, развивать умение сравнивать, обобщать, анализировать.

Воспитательная цель: воспитывать познавательную активность, интерес и инициативу

Студент должен знать

Студент должен уметь

Определения и обозначения пересекающихся, параллельных и скрещивающихся прямых; определение параллельности прямой и плоскости, признак и свойство. Определение параллельности плоскостей, признаки и свойства.

  • применять основные определения параллельности прямых и плоскостей, признак и свойства параллельных плоскостей при доказательстве и решении задач.

Показатели оценки

результата обучающегося

  • знание   основных понятий стереометрии
  • умение  использовать определения, свойства и признаки параллельности прямой и плоскости и параллельности плоскостей при решении задач;
  • способность к анализу и синтезу;
  • способность  применять знания на практике;
  • способность ставить цели;
  • способность оценивать качество выполненной работы;
  • способность самостоятельно решать возникающие проблемы;
  • способность искать различные варианты выполнения решений;
  • проявление  инициативности.

Межпредметные связи

Обеспечивающие

дисциплины

Математика

Обеспечиваемые

дисциплины

Геодезия, кадастровое дело.

Средства обучения, оборудование

Технические: ПК, экран, проектор.

Наглядные:  классная доска, карточки, мультимедийная презентация

Применяемые элементы  педагогических технологий

Технология критического мышления,  коллективно-взаимное обучение,

здоровьесберегающая технология, разноуровневое обучение.

Применяемые формы и методы обучения

Формы: индивидуальная, парная, фронтальная.

Методы:

По источнику получения знаний: словесные (диалогический с элементами беседы), наглядные (работа с таблицей, рисунками, слайдами), практические (работа в группах, индивидуальный)    

По характеру познавательной деятельности: проблемный,  частично-поисковый, репродуктивный(воспроизведение действий по применению знаний на практике).

Применяемы формы и методы

контроля

Текущий контроль: фронтальный, индивидуальный опрос, письменный самоконтроль и  самооценки.

Основная

литература

Башмаков М.И.  Математика: учебник для студ. учреждений среднего профессионального образования. 10-е изд;.- М: издательский центр «Академия», 2015.

Башмаков М.И.  Математика: сборник задач профильной направленности для студ. учреждений среднего профессионального образования. 10-е изд;.- М: издательский центр «Академия», 2015.

 

 

содержание занятия

этапа

Этапы занятия, учебные вопросы,

формы и методы обучения

Временная

регламентация

этапа

1

Мотивационно-целевой этап

Организационный этап:  приветствие

1

 

- проверка готовности студентов к занятию,

 

 

- проверка посещаемости;

 

1.2.

Рефлексия

2

 

Рефлексия в начале урока «Красота геометрии. Город в небесах». Настрой на работу (слайд № 2). Связь с будущей профессией.

 

 

Мотивация.

5

 

Формы: фронтальная

Методы: словесный, наглядный.

 

 

Вы  с 7 класса начали знакомиться со школьным курсом геометрии. Ребята, давайте вспомним, что такое геометрия?

- Геометрия – это наука, которая изучает свойства геометрических фигур.

В 7-9 классах вы изучали первый раздел геометрии - планиметрию.

Вспомним, а что же такое планиметрия?

- Планиметрия - раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости.

Ребята, скажите, пожалуйста, а можно ли изучить что-нибудь в пространстве?

А вы не знаете, как  будет называться этот раздел?

Тогда сегодня мы с вами приступим к изучению нового раздела геометрии.

Планиметрия рассматривает свойства фигур на плоскости. Стереометрия – в пространстве. (слайд № 3).

Стереометрия.

Стереометрия – греческое слово. «Стереос» - тело, «метрео» - измерять.

«Историческая справка» (слайд № 4). Выступление студента.

Стереометрия, как и планиметрия, возникла и развивалась в связи с потребностями практической деятельности человека.

Одной из самых первых и самых известных школ была пифагорейская (VI-V вв. до н. э.), названная так в честь своего основателя Пифагора. Для своих философских теорий пифагорейцы использовали правильные многогранники, формы которых придавали элементам первооснов бытия, а именно: огонь – тетраэдр, земля - гексаэдр (куб); воздух – октаэдр; вода – икосаэдр; вся Вселенная, по мнению древних, имела форму додекаэдра.

Более поздняя философская школа – Александрийская – интересна тем, что дала миру знаменитого ученого Евклида, который жил около 300 г. до н.э. В его тринадцати книгах «Начала» впервые было представлено аксиоматическое построение геометрии. На протяжении около двух тысячелетий этот труд остается основой изучения систематического курса геометрии.

 

 

Целеполагание.

Формы: фронтальная.

Методы: проблемный.

1

 

- Тема сегодняшнего урока: Параллельность прямых и плоскостей"

- В соответствии с темой, скажите какие цели мы должны перед собой поставить, чтобы изучить данную тему?

 

1.3

Актуализация опорных знаний.

Формы: фронтальная

Методы: словесный, наглядный..

Задание № 1. Давайте вспомним с какими фигурами мы встречались в планиметрии?

 Учащиеся устно отвечают на вопросы. Дайте определение точки и прямой. (слайд № 5).

Точка, прямая, луч, отрезок, квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм, треугольник, трапеция, круг, окружность.

Точка - место, не имеющее измерения, граница отрезка линии. Математическая точка не имеет размеров и обозначается заглавными латинскими буквами: A, B, C, D, F и т.д. Прямая - не имеет концов и может продолжаться в обе стороны до бесконечности. Прямая в математике обозначается двумя любыми точками прямой.

Как вы думаете, какое новое понятие встретиться в стереометрии? (плоскость).

Дайте определение плоскости.

Плоскость, так же как прямая, точка и т. п. не имеют строгого определения. Мы попытаемся как-то определять плоскость через ее свойства. Или как определенное, множество точек.

Фигуры стереометрии.

В пространстве основными фигурами являются: точка, прямая, плоскость. Точки обозначаются прописными латинскими буквами (A, B, C, D, E, F, G, H,...) Прямые – строчными латинскими буквами (a, b, c, d, e, f, g, h,...) Плоскости – строчными греческими буквами (слайды № 6,7).

Геометрическое тело.

Геометрическое тело – это предмет от которого отняты все его свойства, кроме пространственных. Геометрические тела являются воображаемыми объектами. Чтобы получить представление о свойствах реальных предметов, мы изучаем свойства геометрических пространственных фигур (слайд № 8).

Изображение пространственных фигур.

Задание № 2. Что изображено на рисунке? (слайд № 9).

Изображен шар (Учащиеся предполагают, что это окружность).Если его изобразить так, то можно подумать, что это круг. Теперь точно похож на шар./

Трудно изобразить объемную фигуру на плоскости. Для этого есть определенные правила (невидимые «линии» строятся пунктиром) (слайд № 10).

Метод обучения: диалогический с элементами беседы.

5

 

Методы контроля:  самоконтроль

 

2.

Процессуально-познавательный этап.

Формы: фронтальная, групповая.

Методы: словесный, наглядный, частично-поисковый.

40

2.1.

Объяснение нового материала

Аксиомы стереометрии.

10

 

Аксиомы стереометрии.

Точки, прямые, плоскость - взаимное расположение.

Вспомним условные обозначения «принадлежит», «не принадлежит», «пересечение».

Как записать? Точка А принадлежит плоскости альфа. Точка В не принадлежит плоскости альфа. Прямая АВ пересекается с плоскостью альфа в точке А (слайд № 11).

Задание № 3. Какие точки принадлежат плоскости альфа, а какие не принадлежат?

2. Какие прямые принадлежат плоскости альфа, а какие не принадлежат?

Учащиеся отвечают на вопросы устно (слайд № 12).

Из курса планиметрии вы знаете 5 групп аксиом. Назовите их.

Аксиомы планиметрии делятся на 5 групп.  Аксиомы принадлежности , аксиомы расположения, измерения , откладывания и параллельности.

Аксиомы принадлежности

1.1 Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие ей и не принадлежащие ей.

1.2 Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Аксиома параллельности.

 Через точку, не лежащую на данной прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Аксиомы.

Рассмотрим три аксиомы стереометрии о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.

 А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна.

(Слайд № 13).

Задание № 4. Выберите верные утверждения:

Через четыре точки можно провести плоскость.

Через три точки всегда проходит плоскость и притом только одна.

Через две точки всегда можно провести единственную плоскость.

Учащиеся отвечают на вопрос устно. Поясняя свой ответ. Рассуждая.

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости.

(Слайд № 14).

Задание № 5. Выберите верные утверждения:

Если отрезок лежит в плоскости, то и все точки прямой, на которой лежит отрезок, лежат в этой плоскости.

Если сторона параллелограмма лежит на прямой, лежащей в некоторой плоскости, то и все точки параллелограмма лежат в этой плоскости.

Если три точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости.

Учащиеся отвечают на вопрос устно. Поясняя свой ответ. Рассуждая.

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

 (Слайд № 15).

Задание № 6. Выберите верные утверждения:

Две плоскости имеют только две точки пересечения.

Две пересекающиеся плоскости имеют бесконечное число точек пересечения.

Через две точки всегда можно провести единственную плоскость.

Учащиеся отвечают на вопрос устно. Поясняя свой ответ. Рассуждая.

 

2.2

Проверка понимания нового материала.

Взаимное положение прямых и плоскостей в пространстве.

15

 

Взаимное положение прямых и плоскостей в пространстве.

1. Работа по готовым чертежам.  (На экране проецируются чертежи). Учащиеся выполняют чертежи,  заполняют вместе с преподавателем таблицу и  записывают определения в тетрадях.

Посмотрите на  чертежи и скажите:

Как расположены прямые      a и b? 

Как расположены прямые   c и d?  

Как расположены прямые   k и m?

Какие прямые лежат в одной плоскости?

Какие прямые не лежат в одной плоскости?

ab, a

cd=А, c

km,  m

лежат в одной плоскости

не лежат в одной

плоскости

параллельные

прямые

пересекающиеся 

прямые

скрещивающиеся   прямые

 

Определение. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

- Как изобразить угол между двумя скрещивающимися прямыми?

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Определение. Две прямые, имеющие лишь одну общую точку, называются пересекающимися.

- Как изобразить угол между двумя скрещивающимися прямыми?

- Откройте учебник на с. 324, прочитайте, верно ли вы рассуждали.

2. Работа в группах. (На экране проецируются чертежи.) Из каждой группы по одному учащемуся выходят к доске и определяют взаимное расположение прямых.

1 группа (1-й ряд)

2 группа (2-й ряд)

3 группа (3-й ряд)

 

АB ? CD

AD ? DD1

DC ? A1D1

A1B1 ? A1D1

B1C1 ?  BC

DC1 ? AB

 

АB ? CB

AC ? A1C1

BC ? AA1

A1C1 ? KL

CC1 ? KL

AC ? BB1

 

AB ? AD

AD ? BC

AB ? SD

AS ? CS

PQ ?AB

SB ? PQ

 

 

Параллельность прямой и плоскости.

 

10

 

  Наглядное представление о прямой, параллельной плоскости, дают:

-линии электропередач и плоскость земли;

-линия пересечения потолка и стены и плоскость пола.

Слайд.

лэп       пол потолок

                              Рассмотрим теорему (признак параллельности прямой и плоскости). с. 323.

    Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

            а                                                   Дано: прямая в лежит в плоскости α.

                                                                           а║в

            в                                                   Доказать: а║ α

 

(Доказательство  теоремы, если позволит время,   предложить сделать учащимся самостоятельно, обсудить, предложить доказать у доски, записать в тетрадь.)

 

 

Метод контроля:   метод самопроверки, письменный самоконтроль.

 

2.3

Физминутка.

3

 

         Стереометрия развивает равномерно левое и правое полушария головного мозга, которые отвечают за соответственно за логическое и образное мышления. Как известно, человеку, чтобы стать профессионалом (творцом) в любой области человеческого знания, нужно иметь хорошо развитыми оба полушария. Кроме того стереометрия имеет интересную историю, яркие приложения, занимательна, изучает красивые объекты.

1. Психологический тест.

1). Переплетите пальцы рук. Большой палец правой или левой руки оказался у Вас сверху? Запишите результат буквами «Л» или «П».

2). Скрестите руки на груди (поза «Наполеона»). Кисть, какой руки оказалась сверху? Запишите результат.

3). Изобразите «бурные аплодисменты». Ладонь, какой руки у Вас сверху? Запишите.

Подведем итоги, учитывая, что результат «ЛЛЛ» соответствует художественному типу личности, а «ППП» - типу мыслителя.

(Эти различия связаны с функциональной асимметрией мозга человека: у «художников» более развитое правое полушарие и преобладает образное мышление, у «мыслителей» – соответственно – левое полушарие и логическое мышление).

Какой же тип мышления преобладает у Вас?

Несколько «мыслителей», несколько «художников», большинство – личности, которым свойственно и логическое и образное мышление.

 

 

Физминутка для глаз. (связать с теоремой и следствием параллельности прямой и плоскости)

Теорема и следствие параллельности прямой и плоскости.

Формы: фронтальная

Метод: репродуктивный.

2

 

 

 

Рассмотрим два утверждения, которые используются при решении задач.

Слайд

 

 

 

Параллельные плоскости. Свойства параллельных плоскостей.

5

 

1. Какие плоскости в  пространстве называются параллельными?

Сформулируйте теорему (признак параллельности плоскостей).

Т. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Оформим дано данной теоремы.

Дано: а∩b= М, а

          ‌‌‌ǀǀа1, bǀǀb1,

Доказать, что ǀǀ.

Доказательство оформите в вашем опорном конспекте дома.

2. Свойства параллельных плоскостей.

Прочитайте свойства и сделайте к ним чертеж в опорном конспекте .

1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии пересечения параллельны.

http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/622290/img8.jpg

2. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость ей параллельную и притом только одну.

http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/622290/img5.jpg

3.  Если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны между собой.

http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/622290/img6.jpg

4. (свойство отрезков параллельных прямых, заключённых между параллельными плоскостями).

http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/622290/img9.jpg

Метод контроля:   самоконтроль, индивидуальный опрос.

 

2.4

Закрепление изученного материала.

Формы: индивидуальная, фронтальная.

Методы: частично-поисковый, репродуктивный.

20

 

1.

2. Задача на доказательство.         Слайд

 

  Слайд

  Некоторые слова затерты и поставлены многоточия. В ходе решения вместо многоточия  проявляется полное решение задачи.

3.       Точки M, N, Q и P – середины отрезков DB, DC, AC и AB. Найдите периметр четырехугольника MNQP, если AD = 12 см, BC = 14 см.

Решение.

4. Решение задачи самостоятельно.

А)

 (доп-но)

Б) Отрезок АВ не пересекает плоскость α.Через концы этого отрезка -точки А,В

и его середину (точку М) проведены параллельные прямые, пересекающие

плоскость α в точках А111.

  1. Докажите, что точки А111                                 

    лежат       на одной прямой.

  2) Найдите АА1,если ВВ1=12см, ММ1=8см.

Метод контроля:   письменный контроль, индивидуальный опрос.

 

3.

3.1.

Рефлексивно-оценочный этап. Итог.

Формы: индивидуальная.

Методы: частично-поисковый, репродуктивный.

7

 

Вставьте пропущенные слова (слайд).

1. Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур….
2. Основные фигуры в пространстве ……….
3. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит …….., и притом только одна.
4. Геометрическое тело – это …….., от которого отняты все его …….., кроме пространственных.

5. Если …….. точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости.
6. Стереометрия изучает положение, форму, размеры и …….. пространственных фигур

7. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую …….., на которой лежат все общие точки этих плоскостей .

8. Геометрические тела являются ……… объектами.

9. Плоскость и не лежащая на ней …….. либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.
10. В стереометрических задачах встречаются следующие геометрические тела: ………., …………….., …………………., ………………

Задание учащимися выполняется самостоятельно на подготовленных листочках. Затем (взаимопроверка) проверяется соседом по парте.

 Затем правильные ответы сверяются с доской.

Метод контроля: взаимоконтроль.

 

3.2.

Домашнее задание.

Башмаков М. И. математика: учебник для студ.учреждений сред.проф.образования.-10 изд., стер.-М. "Академия", 2015

Глава 3. Занятие 1, 2. Подготовить опорный конспект по теме: "Параллельность плоскостей"

 

Башмаков М. И. Сборник задач профильной направленности. - М.: "Академия", 2014. Глава 3. №9.

 

Творческое задание «Геометрическое чудо» . Придумать рисунок, в котором использованы пространственные геометрические тела.

 

1

3.3.

Рефлексия.

Этап самооценки.

2

 

Оцените свое состояние. Выберите один из  пяти смайликов и напишите соответствующую цифру в тетради.

 

Преподаватель

Заряева Н. И.

 

 

 

Аксиомы стереометрии.

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна.

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости.

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Взаимное положение прямых и плоскостей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 группа

2 группа

3 группа, 4 группа

 

АB     CD

AD    DD1

DC   A1D1

A1B1    A1D1

B1C1    BC

DC1    AB

 

АB    CB

AC    A1C1

BC    AA1

A1C1    KL

CC1    KL

AC    BB1

 

 AB    AD

 AD    BC

 AB    SD

 AS    CS

 PQ    AB

 SB    PQ

 

Свойства параллельных плоскостей.

1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии пересечения параллельны.

2. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость ей параллельную и притом только одну.

3.  Если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны между собой.

 

4. Отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями, равны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доп-но: Отрезок АВ не пересекает плоскость α.Через концы этого отрезка -точки А,В

и его середину (точку М) проведены параллельные прямые, пересекающие

плоскость α в точках А111.

  1. Докажите, что точки А111                                 

    лежат       на одной прямой.

  2) Найдите АА1,если ВВ1=12см, ММ1=8см.

 

 

 

Приложение 2.

Ф. И. студента ______________ группа _____

1. Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур….
2. Основные фигуры в пространстве ……….
3. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит ……............., и притом только одна.
4. Геометрическое тело – это ….....…....., от которого отняты все его …......….., кроме пространственных.

5. Если …….............. точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости.
6. Стереометрия изучает положение, форму, размеры и ….........….. пространственных фигур

7. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую …........….., на которой лежат все общие точки этих плоскостей .

8. Геометрические тела являются ……........… объектами.

9. Плоскость и не лежащая на ней ...........…….. либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.
10. В стереометрических задачах встречаются следующие геометрические тела: …....……., …………….., …………………., ………………

 

 

Ф. И. студента ______________ группа _____

1. Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур….
2. Основные фигуры в пространстве ……….
3. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит ……............., и притом только одна.
4. Геометрическое тело – это ….....…....., от которого отняты все его …......….., кроме пространственных.

5. Если …….............. точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости.
6. Стереометрия изучает положение, форму, размеры и ….........….. пространственных фигур

7. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую …........….., на которой лежат все общие точки этих плоскостей .

8. Геометрические тела являются ……........… объектами.

9. Плоскость и не лежащая на ней ...........…….. либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.
10. В стереометрических задачах встречаются следующие геометрические тела: …....……., …………….., …………………., ………………

 

1

 

Информация о публикации
Загружено: 21 января
Просмотров: 7735
Скачиваний: 103
Заряева Наталья Ивановна
Математика, СУЗ, Разное

Проверьте знания своих учеников интересными заданиями

Красочные наградные дипломы и сертификаты для участников, свидетельства и благодарности каждому учителю, ежемесячный розыгрыш ценных призов!

Скачать материал