[19 мая!] Практическая онлайн-конференция «Компетенции XXI века» Подтвердить участие→
Конкурс разработок «Пять с плюсом» май 2021
Добавляйте свои материалы в библиотеку и получайте ценные подарки
Конкурс проводится с 1 мая по 31 мая

Новое - это хорошо забытое старое или ещё один метод решения коварных задач на проценты.

Данная статья поможет учителю математики, показать самый старый, но понятный способ решения задач с помощью процентов.
Просмотр
содержимого документа

 

НОВОЕ ЭТО ХОРОШО ЗАБЫТОЕ СТАРОЕ ИЛИ ЕЩЕ ОДИН МЕТОД РЕШЕНИЯ КОВАРНЫХ ЗАДАЧ


НА ПРОЦЕНТЫ

 

В школьном курсе математики весьма значимое место занимают текстовые задачи, которые по-прежнему вызывают большие сложности у учащихся. Одними из самых сложных задач остаются задачи на проценты, при этом затруднения вызывают даже самые простые задачи на нахождение процента от числа или числа по его проценту. А уж задачи на смешивание растворов и удаление части раствора, пожалуй, не уступают лидерство по сложности никаким другим задачам. Вот о решении этих задач мы и поговорим в нашей статье.


Вспомним определения.

Если раствор имеет массу m и состоит из веществ А, В и С, массы которых соответственно mA, mB и mC, то ве-


тром как мерой вместимости сосуда и литром как мерой количества жидкости (или газа);

3) потери некоторого количества рас-


личину mA


(соответственно


mB ,

 


mC )


твора (массы), которые возможны в силу


m m m

называют  концентрацией  вещества А

(соответственно В, С) в   растворе,  а


протекания соответствующей химической реакции (или физических процессов), счи- таются незначительными и приравнива-


величину


mA 100%

m


(соответственно


ются к нулю.


mB 100%, mC 100% ) – процентным со-

 

 


Решение задач


m m

держанием  вещества   А  (соответственно

ВС)  в растворе. При этом выполняется

mA mB mC

 

  


на смешивание двух растворов

Задача 1. Некоторый сплав состоит из двух металлов, входящих в отношении 1 : 2, а другой содержит те же металлы


равенство


  1. m m


1.


в отношении 2 : 3. Сколько частей каж-


Заметим, что в задачах о растворах (сплавах, смесях) используют следующие допущения:

  1. все полученные растворы1 (сплавы,

смеси) считаются однородными;

  1. не делается различия между ли-


дого сплава нужно взять, чтобы получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17 : 27? [3, задача 13.362;

1, задача 7.3.20].

Приведем старинный способ2 решения этой задачи:

 


 

1 В дальнейшем мы будем писать просто

«раствор».


2 Описанный способ встречается в первом рус- ском учебнике математики – «Арифметике» Леонтия Магницкого.


 


Выразим в процентах содержа- ние первого металла в каждом спла-


Лучше это отношение привести к другому виду, выполнив деление обоих чисел на


ве:   в  первом   1 1 1

 

  


во 5


(см. замечание):


1

втором   2 2


  33 %,

2 3 3


33

1 4


: 5 15 : 5 15 33 9,


  40%,

2 3 5


в третьем –


11  33 11  33 11 5


    17   17 38 7 %.

17 27 44 11

Запишем друг под другом процентное

содержание первого металла в имеющих- ся сплавах, несколько правее примерно посередине от них – процентное содер- жание этого металла в третьем сплаве. Соединяем написанные числа отрезками, получаем схему (рис. 1).


510 : 5 175 : 5 175 33 35,

33  33 33 33 33 5

т.е. массы сплавов относятся, как (9 : 35) (рис. 3).


 

 

 

 

Отве т: 9 и 35.

Замечание. Можно поступить и по- другому, просто выполнив деление:

1 4 : 510 15 : 175 15 33 9 .

      


 

 

 

 

 

Справа запишем значения разности: вверху – большего и среднего, а внизу – среднего и меньшего. Получим следую- щую схему (рис. 2).

Отношение чисел в правом столбце


11 33 11 33 11  175 35

Полученная дробь и дает нам необхо- димое отношение масс имеющихся двух сплавов.

Итак, мы решали задачу, которая в общем виде звучит так.

Задача. Имеется два раствора: первый с процентным содержанием вещества А, равным р%, и второй с процентным со- держанием этого вещества,  равным  q%. В каком соотношении нужно взять дан- ные растворы, чтобы получить новый рас- твор с процентным содержанием указан- ного вещества, равным k%?

Для определенности  будем  считать  p < k < q. Смешаем  m кг  первого рас- твора и  n кг   второго, получим раствор

массой  (m + n) кг.  Согласно использован-


1 4


: 510

 


показывает, в каком соот-


ному выше старинному методу решения


   11 33

ношении необходимо смешать сплавы.


задач на смешивание двух растворов со- ставляется следующая схема (рис. 4).



 

Рис. 4

 


Согласно схеме должно выполняться равенство q k m или по основному


ния мы получаем


m k q ,

  1. p k


которое


k p n

свойству пропорции n(q – k) = m(k – p).


равносильно равенству


m q k .

n k p


Для


Докажем, что результат, полученный в

ходе использования этого метода, верный и метод можно применять при решении задач на смешивание растворов.

Доказательство. В первом растворе необходимого вещества (0,01pm) кг, а во втором – (0,01qn) кг, значит, в получен- ном растворе – (0,01pm + 0,01qn) кг.  С другой стороны, мы получили в раство- ре процентное содержание вещества А, равное k%, значит, его масса в растворе составляет (0,01k(m + n)) кг.  Следова- тельно, должно выполняться равенство

0,01pm + 0,01qn = 0,01k(m + n)

   pm + qn = km + kn   

  qn kn = km pm   

n(q k) m(k p) q k m .

k p n

Видно, что при решении задачи ста- ринным методом мы получили такой же результат.

Замечание. Если справедливо нера- венство q < k < p,  то в процессе реше-


случаев k < q < p, q < p < k, k < p < q

и p < q < k  задача решения не имеет, поскольку нельзя, смешивая растворы с меньшим процентным содержанием ве- щества А, получить раствор с большим процентным содержанием этого вещества, также при смешивании растворов с боль- шим процентным содержанием вещества А нельзя получить раствор с меньшим  процентным содержанием этого веще- ства.

Задача 2. Морская вода содержит 8% (по массе) соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составило 5%? [1, задача

7.3.21].

Решени е. Пусть х кг – масса пре- сной воды, которую необходимо добавить к имеющейся морской. Процентное содер- жание соли в пресной воде 0%.

Согласно старинному методу составля- ем схему (рис. 5).


 

ниям х кг. Получим окончательно схему

(рис. 7).

 

 

 

 

 


 

Рис. 5

 

Получаем совсем простое уравнение

5х = 90. Отсюда х = 18.

Отве т: 18 кг.

Задача 3. Сплав олова с медью весом в 12 кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить, чтобы по- лучить сплав, содержащий 40%  меди? [1, задача 7.3.1].

Решени е. Пусть х кг – масса олова, которое необходимо добавить к имеюще- муся сплаву. Поскольку в условии дано процентное содержание меди, а необходи- мо найти массу олова, то найдем соответ- ствующие значения процентного содержа- ния олова в каждом сплаве. В имеющемся сплаве процентное содержание олова со- ставляет 100 – 45 = 55%, а необходимо получить сплав с процентным содержани- ем олова, равным 100 – 40 = 60%.

Согласно старинному методу составля- ем схему. В правом столбце можно выпол- нить упрощения, разделив оба числа на 5, получим схему (рис. 6).

 

Рис. 6

 

Правее напишем соответствующие мас- сы: первого сплава у нас имеется   12 кг,   а чистого олова согласно нашим обозначе-


 

Рис. 7

 

Получаем уравнение 8х = 12. Отсюда

х = 1,5.

Отве т: 1,5 кг. Задача 4. Вычислите массу сплава и процентное содержание  серебра в сплаве с медью, зная, что, сплавив его с 3 кг чи- стого серебра, получат сплав, содержащий 90% серебра, а сплавив его с 2 кг сплава, содержащего 90%  серебра, получат сплав с 84-процентной массовой долей серебра

[4, задача 17].

Решени е. Пусть х кг – масса сплава, а p% – процентное содержание серебра в сплаве.

Согласно старинному методу составим две схемы: первая проиллюстрирует ре- зультат сплавления  исходного  сплава  с чистым серебром (рис. 8), а вторая – с 90-процентным куском (рис. 9).

Рис. 8

Рис. 9


 


 


Из первой схемы (см. рис. 8) получим уравнение – х(90 – р) = 30, а из второй  (см. рис. 9) –  х(84 – р) = 12. Поскольку  х и р должны одновременно удовлетворять обоим уравнениям, то мы имеем систему

x(90 p) 30

x(84 p) 12.

Вычитая из первого уравнения второе, получим: 6х = 18. Отсюда  х = 3,  и далее  р = 80.


жет иметь много решений, если в ней нет никаких дополнительных условий.

Составим две схемы: для смешивания первого и второго растворов и для сме- шивания первого и третьего растворов (рис. 10).


Отве т: 3 кг, 80%.

 

Решение задач

на смешивание трех растворов

Более сложными являются задачи на смешивание трех растворов. Рассмотрим ее в общем виде.

Задача. Имеются три раствора с раз- ным процентным содержанием вещества А:  первый,  равным  р%,   второй   –  q%  и третий – g%. В каком соотношении нужно взять данные растворы, чтобы по- лучить новый с процентным содержанием указанного вещества, равным k%?

Для  определенности   будем   считать  p < k < q < g. Применим к смешиванию трех растворов два раза старинный ме- тод. Смешав части первого и второго растворов в определенном соотношении, получим некоторое количество  раствора В с процентным содержанием  вещества А, равным  k%,  а  смешав  части  перво- го и третьего, – еще какое-то количество раствора С с процентным содержанием вещества А, равным k%.  Таким  обра- зом, у нас два раствора, удовлетворяющих условиям задачи. Мы можем их просто со- единить и получим раствор с требуемым процентным содержанием вещества А, а можем смешать в некоторой пропорции, например одну часть раствора В и две части раствора С  или две части раство-  ра В и три части раствора С. То есть задача на смешивание трех растворов мо-


 

 

 

 

 

 

 

Рис. 10

 

Самый простой вариант решения за- ключается в соединении раствора, по- лучившегося при смешивании первого и второго растворов, и раствора, получив- шегося в результате смешивания перво- го и третьего растворов. В этом случае первого раствора  будет  содержаться  (q k) + (g k) = q + g – 2k частей, а вто- рого и третьего поровну по (k p) частей. Для удобства решения схему можно про- должить следующим образом (рис. 11).

Рис. 11


 

Рис. 12

Если же мы возьмем, как предлагалось 4 4


выше, две части раствора, получившегося при смешивании первого и второго рас- творов, и три части раствора, получивше- гося в результате смешивания первого и третьего растворов, то первого раствора будет содержаться   2(q k) + 3(g k) =

= 2q + 3g – 5k   частей, второго –   2(k  p)


  80%.

4 1 5

Пусть х кг – масса куска второго спла- ва, тогда масса куска первого сплава – (2х) кг. Применим к смешиванию трех растворов два раза старинный метод и упростим, разделив в первой части схемы

1


частей, а третьего 3(k p) частей (рис. 12). Замечание. Если справедливо неравен- ство p < q < k < g,  то старинный метод применяем два раза: сначала смешиваем первый и третий, а затем второй и третий растворы. При этом складываться будут части третьего раствора, поскольку он участвует и в первом, и во втором смеши-

вании.

Задача 5. Имеются 3 куска сплава ме- ди с никелем в отношениях  2 : 1,  3 : 1   и 5 : 1 по массе. Из них сплавлен кусок мас- сой  12 кг  с соотношением меди и никеля 4 : 1. Найдите массу каждого исходного куска, если масса первого была вдвое боль- ше массы второго [1, задача 7.3.25].

Р е ш е н и е. Выразим процентное содержание    меди    в    каждом сплаве:

в  первом    2 2 2 во вто-


(рис. 13) на


3 3 :

     

 

 

     

 

 

     

 

 

 

     

 

Рис. 13


2    66 %,


1 3 3

   3 3


1 1 1 1 40  10 40 3


ром


  75%,

3 1 4


в третьем –


3 3 : 3 3 1; 13 3 : 3 3


3 : 3


3 10 4,


5 5 1

 

  


а во второй – на 3 :

 


   83 %, 5 1 6  3


в полученном  5


 

   

 

 

 

   

 

 

 

   

 

 

 

   

 


 

 

1  3 10  3 10 3


Рис. 14

3 3


Решени е. Пусть х кг – масса грибов,


3 :  :    2; 5:  5   3

      


которая получится при сушке. Запишем


3  5 3 5 3 5 5 5


Таким образом, согласно схеме перво- го сплава необходимо взять одну часть, а второго – две. Но по условию масса перво- го была вдвое больше массы второго, зна- чит, необходимо в первой части схемы вы- полнить  умножение  на  4  (4   как  раз  в 2 раза больше 2) и затем сложить части третьего сплава. Получим окончательную схему (рис. 14).

Итак, мы получили соотношение, в котором необходимо было смешать име- ющиеся куски сплавов: 4 : 2 : 19. Зна-  чит, масса первого куска составляет


друг под другом процентное содержание воды в сухих грибах и 100% (очевидно, что это процентное содержание воды в удаленной при сушке грибов жидкости), несколько правее примерно посередине от них – процентное содержание воды в све- жих грибах. Соединяем написанные чис- ла отрезками, получаем схему (рис. 15).


4  4

4 2 19 25


полученного сплава, или


 4 12 1,92

25


кг, второго – в 2 раза мень-


ше, т.е.  1,92 : 2 = 0,96 кг,   а третьего –   12 (0,96 + 1,92) = 9,12 кг.

Отве т: 1,92 кг, 0,96 кг, 9,12 кг.

 

Решение задач на удаление вещества А из раствора

Задача 6. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие – 12%. Сколько получится сухих грибов их 22 кг свежих? [3, задача 13.036; 1, задача 7.3.7].


 

Меньшее значение вычтем из среднего и запишем его справа снизу, из больше-  го вычтем среднее и запишем его справа вверху. В правом столбце разделим на 2, получим следующую схему (рис. 16). От- ношение (5 : 39) показывает соотноше- ние масс частей оставшегося и удаленного растворов.


 


 

Рис. 16

 

Правее напишем соответствующие мас- сы: согласно нашим обозначениям мы по- лучим х кг  сухих грибов, значит, уда- ленная жидкость составляет (22 – х) кг. Окончательная схема имеет вид (рис. 17). Получаем уравнение 39х = 5(22 – х).

Отсюда х = 2,5.

Отве т: 2,5 кг. Задача 7. Из колбы, в которой имеется 80 г 10-процентного раствора поваренной соли, отливают некоторую часть раствора в пробирку и выпаривают до тех пор, пока процентное содержание соли в пробирке не повысится втрое. После этого выпарен- ный раствор выливают обратно в колбу. В результате содержание соли в пробирке


повышается на 2%.  Какое количество раствора отлили из колбы в пробирку? [1, задача 7.3.13].

Решени е. Пусть х г – масса отлитого в пробирку раствора, а y г – масса выпа- ренной из пробирки жидкости.

Согласно старинному методу составим две схемы: первая проиллюстрирует ре- зультат выпаривания жидкости из про- бирки, а вторая – результат выливания оставшегося после выпаривания раствора обратно в колбу. Для составления пер- вой схемы найдем соответствующие зна- чения процентного содержания воды в каждом растворе. В имеющемся растворе процентное содержание воды составляет 100% – 10% = 90%. После выпаривания процентное содержание соли повысилось втрое, то есть стало равным 10% 3 = 30%, а процентное содержание воды соответ- ственно 100% – 30% = 70%. Для состав- ления второй схемы найдем процентное содержание соли в получившемся раство- ре: 10% + 2% = 12%. Составляем схемы

(рис. 17, 18).


 

 

Рис. 17

 

Рис. 18


 

Из первой схемы (см. рис.  17) получим Литература


уравнение – 2(x y) = y или


y 2 x. Из

3


  1. 3000 конкурсных задач по математике /

Е.Д. Куланин [и др.]. – Изд. 8-е, испр. – М. :


второй (см. рис. 20) – 9(x y) = 80 – х или 10x – 9y = 80. Поскольку х и y должны одновременно удовлетворять обоим урав- нениям, то мы имеем систему:

y 2 x


Айрис-пресс,  2005.    624  с.  [Глава  7, параг-

раф 3, задачи 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13,

14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22.]

  1. Олехник С.Н. Старинные заниматель-

 ные задачи / С.Н. Олехник, Ю.В. Нестеренко,

 М.К. Потапов. М. : Издат. отдел. УНЦ ДО


10x 9y 80.

Подставляя вместо y во второе урав-


МГУ, 1996. – 152 с. [Часть первая, пункт VI,

задачи 44, 45, 46, 47, 48, 49.]


нение


2 x ,

 


получим: 4х = 80. Отсюда


  1. Сборник задач для поступающих во вту-

3

х = 20. Отве т: 20 г.

Мы рассмотрели метод, которым мож- но легко и просто решать целую группу сложных задач. Эти задачи можно найти во многих учебниках по алгебре и сборни- ках для выпускников и абитуриентов. Ре- шение некоторых задач из прилагаемого списка, мы разобрали в нашей статье (их номера указаны в скобках).


зы / В.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский [и др.] ; под ред. М.И. Сканави. – 6-е изд. – М. : ОНИКС 21 век : Мир и образование, 2005. 608 с. [Глава 13, задачи 002, 008, 036,

041, 045, 090, 093, 094, 231, 247, 289, 309, 310,

322, 362, 363.]

  1. Барабанов О.О. Задачи на проценты как проблема нормы словоупотребления

// Математика в школе. – 2003. – № 5. –

С. 50–59.


 


 

Информация о публикации
Загружено: 23 февраля
Просмотров: 96
Скачиваний: 4
Тархова Наталья Борисовна
Алгебра, 9 класс, Экзамены ЕГЭ, ОГЭ

Проверьте знания своих учеников интересными заданиями

Красочные наградные дипломы и сертификаты для участников, свидетельства и благодарности каждому учителю, ежемесячный розыгрыш ценных призов!

Скачать материал