[20.07 ждём вас!] Конференция «Цифровые компетенции современного педагога» Подтвердить участие→
Конкурс разработок «Пять с плюсом» июль 2021
Добавляйте свои материалы в библиотеку и получайте ценные подарки
Конкурс проводится с 1 июля по 31 июля

Методические указания по проведению практических работ студентов по математике

Сборник для студентов ССУЗов. Насчитывает 72 практических работ. Для студентов 1 курса. Данная методическая разработка строится на основе многосторонних межпредметных связей: с информатикой, физикой, а также выполняет интегрирующую и системообразующую функции формирования системного, аналитического и алгоритмического мышления. Системность знаний получаемых студентами по дисциплине, которое предполагает понимание и из¬ложение взаимосвязей ряда родственных яв¬лений, умение определить место данного поня¬тия в системах различной природы раскрывающей особенности их целевого функционирования на основе получения, преобразования и целенаправленного использования информации. Практические работы проходят в 1 и 2 семестрах, насчитывается 72 практических работ в объёме 144 часов. Форма контроля у всех практических работ фронтальная. Критерии оценивания: оценка «5»-100%, «4»-85%, «3»-70%. Практические работы подготовлены на основе материалов ЕГЭ и ГИА за 2001-2014 гг.
Просмотр
содержимого документа

Министерство общего и профессионального образования Ростовской области

Государственное бюджетное профессиональное  образовательное учреждение

Ростовской области

«Ростовский – на – Дону автотранспортный колледж»  

 

 

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ПРОВЕДЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ  СТУДЕНТОВ

 ПО ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

 

ОУД.10 «МАТЕМАТИКА»

 

 

 

 

 

 

2019

Методические указания по проведению практических работ студентов  по дисциплине  «Математика»  разработан в соответствии с рабочей программой утвержденной 31.08.2017г. методическим советом Ростовского – на-Дону автотранспортного колледжа по специальностям среднего профессионального образования (далее –СПО)

23.00.00 ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИИ НАЗЕМНОГО  ТРАНСПОРТА

23.02.03 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта

23.02.01 Организация перевозок и управление на транспорте (по видам)

 

Методические указания по проведению практических работ студентов по дисциплине «Математика»   может быть использован при подготовке техников, слесарей по ремонту автомобилей, диспетчеров автомобильного транспорта.

 

Организация-разработчик: Ростовский- на -Дону автотранспортный колледж Разработчик:

Рудая Ирина Валентиновна – преподаватель дисциплины «Математика»   Ростовского -на –Дону автотранспортного колледжа.

 

Рассмотрено   на      заседании   ПЦК «Математических          и        общих естественнонаучных дисциплин» протокол № 1 от 31 августа 2018 г.

 

Председатель ПЦК_________ Георгадзе Н.Ю.

 

Рекомендовано         методическим      советом      Ростовского-на-Дону автотранспортного коллежа  

 

Протокол заседания МС №  1 от « 31 » августа  2018 г

 

Председатель МС ___________  зам. директора по УМР Титова С.А. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

© Рудая Ирина Валентиновна

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.

Основная цель данной методической разработки  состоит в организации качественной профессиональной подготовки специалиста, который должен быть готов  к решению практических задач. Каждая практическая работа имеет следующую структуру:

      Тема Цель

      Содержание задания

      Алгоритм выполнения или рекомендации по выполнению практической работы.

      Образец выполнения (по необходимости)   Методический комплекс позволяет педагогу:

      видеть преподаваемую дисциплину в целом, в полном объѐме весь курс обучения студентов;

      видеть перспективу всей воспитательно-образовательной работы – уровень профессиональной подготовленности студентов.

Данная методическая разработка строится на основе многосторонних межпредметных связей: с информатикой, физикой, а также  выполняет интегрирующую и системообразующую функции формирования  системного, аналитического и алгоритмического мышления. Системность знаний получаемых студентами по дисциплине, которое предполагает понимание и изложение взаимосвязей ряда родственных явлений, умение определить место данного понятия в системах различной природы раскрывающей особенности их целевого функционирования на основе получения, преобразования и целенаправленного использования информации. Практические работы проходят в  1 и 2 семестрах,  насчитывается 45 практических работ в объѐме 90 часов. Форма контроля у всех практических работ фронтальная. Критерии оценивания: оценка «5»100%, «4»-85%, «3»-70%. Практические работы подготовлены на основе материалов ЕГЭ и ГИА  за 2001-2014 гг.

 

 

 

 

Содержание:

1. Практическая работа №1. 

Тема: «. Действия над действительными числами.»---------8- 2. Практическая работа №2. 

Тема: «Проценты.»-----------10

3.     Практическая работа №3. 

Тема: «Решение линейных уравнений.»-------------------------12

4.     Практическая работа №4. 

Тема: «Решение линейных неравенств.»------------------------14

5.     Практическая работа №5.

Тема: «Решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными.»-16 6. Практическая работа №6.

Тема: «Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.»-20

7.     Практическая работа №7.

 Тема: «Решение квадратных уравнений.»------------------22-

8.     Практическая работа №8.

 Тема: «Решение неравенств методом промежутков.»-------------------24

9.     Практическая работа №9.

 Тема: «Решение иррациональных уравнений.)»------------------------------26 10. Практическая работа № 10. 

Тема: «Действия над комплексными числами.»------------------------------28 11. Практическая работа № 11.

Тема: «Действия с различными видами степеней.»-------------------------30

12. Практическая работа №12  

Тема: «Преобразование логарифмических выражений.»------------------ 33          

13. Практическая работа №13.

Тема: «Свойства логарифмов.» -35

14. Практическая работа №14.

Тема: «Логарифмические тождества.»-----37

15. Практическая работа №15. 

Тема: «Построение и описание графиков функций.»-----------------------39- 16. Практическая работа №16. Тема: «Нахождение значения функции по заданному аргументу.»---40

17.   Практическая работа №17.

 Тема: «Вычисление пределов.»---------------------------------------------------42

18.   Практическая работа №18.

 Тема: «Построение показательных функций.»---44

19.   Практическая работа №19.

 Тема: « Решение показательных уравнений.»-------------------------------46-

20.   Практическая работа №20. 

Тема: « Решение показательных неравенств.»-------------------------------47

21.   Практическая работа №21.

 Тема: «Нахождение  области определения логарифмических функций.»--49-

22.   Практическая работа №22. 

Тема: «Решение логарифмических уравнений.»------------------------------50

23.   Практическая работа №23. 

Тема: «Решение логарифмических неравенств.»----------------------------52

24.   Практическая работа №24.

 Тема: «Радианная мера угла.»-------------------------------------------------54

25.   Практическая работа №25.  Тема: «Преобразование тригонометрических выражений. Соотношения между тригонометрическими функциями. Формулы приведения»-----------57

26.   Практическая работа №26. 

Тема: «Формулы суммы и разности.»------------59

27.   Практическая работа №27. 

Тема: «Решение тригонометрических уравнений.»------------------------62

28.   Практическая работа №28.

 Тема: «Построение тригонометрических функций.»---65

29.   Практическая работа №29. 

Тема: «Свойства  графиков  тригонометрических функций.»--------------66

30.   Практическая работа №30. 

Тема: «Сложение и вычитание векторов».---------------------------------69

31.   Практическая работа № 31.

 Тема: «Расстояние между двумя точками и угол между векторами».-71

32.   Практическая работа №32. 

Тема: «Скалярное произведение векторов.»---------------------------------73 33. Практическая работа № 33.

 Тема: «Производная суммы, произведения и частного ».----------------74

34. Практическая работа №34. 

Тема: «Производная сложной функции.»-------------------------------------76

35. Практическая работа №35. 

Тема: «Геометрический смысл производной».------------------------------78

36. Практическая работа №36.

 Тема: «Уравнения касательной к графику функций.»---82

37. Практическая работа№37. 

Тема: «Физический смысл производной.»------------------------------------85

38. Практическая работа №38. Тема: «Производная показательной, логарифмической и тригонометрической функций.»-----------------------------------------------88

39. Практическая работа №39.

 Тема: «Производные высшего порядка.»---90

40. Практическая работа №40.

 Тема: «Промежутки возрастания и убывания.»---92

41. Практическая работа №41.

 Тема: «Точки экстремума»---93

42. Практическая работа №42. 

Тема: «Применение производной к построению функций.»-------------95

43. Практическая работа №43.  Тема: «Наибольшее и наименьшее значение функций в заданном

промежутке.»---------------------------------------------------------------------97

44. Практическая работа №44.

 Тема: «Интегрирование степенных функций.»---100

45. Практическая работа №45. 

Тема: «Непосредственное интегрирование.»-----------------------------102

46. Практическая работа №46.  Тема: «Интегрирование степенных функций с рациональным показателем.»---104

47. Практическая работа №47. 

Тема: «Приложение неопределѐнного интеграла к решению задач.»--105

48. Практическая работа №48.  Тема: « Интегрирование неопределѐнного интеграла методом замены

переменной».-------------------------------------------------------------------------108

49. Практическая работа №49.

 Тема: «Вычисление определѐнного интеграла степенных функций.»---110

50. Практическая работа №50. 

Тема: «Определѐнный интеграл и его непосредственное вычисление.»-112

51. Практическая работа №51.  Тема: «Вычисление определѐнного интеграла методом 

замены переменной.»---------------------------------------------------------------114

52. Практическая работа №52. 

Тема: «Физическое приложение определѐнного интеграла.»-------------115

53. Практическая работа №53. 

Тема: «Нахождение площади криволинейной трапеции».-----------------119

54. Практическая работа №54. 

Тема: «Решение дифференциальных уравнений.»----------------------------121

55. Практическая работа №55.  Тема: «Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.»---122

56. Практическая работа №56.

 Тема: «Решение планиметрических задач.»----------------------------------123

57. Практическая работа №57.

 Тема: «Расположение прямых и плоскостей.»------------------------126

58. -Практическая работа №58.

 Тема: «Задачи на построение сечений.»--129 

59. Практическая работа №59.

 Тема: «Нахождение угла между двумя прямыми.»---132

60. Практическая работа №60. 

Тема: «Двугранный угол.»---------------------------------------------------------135

61. Практическая работа №61.

 Тема: «Прямоугольный параллелепипед.»---136

62. Практическая работа №62.

 Тема: «Площадь призмы.»---140

63. Практическая работа №63. Тема: «Объѐм призмы.»--------143

64. Практическая работа №64. Тема: «Площадь пирамиды.»----145

65. Практическая работа №65. Тема: «Усечѐнная пирамида.»--149

66. Практическая работа №66. Тема: «Объѐм пирамиды.»

67. Практическая работа №67. Тема: «Площадь цилиндра.»-----150

68. Практическая работа №68. Тема: «Объѐм цилиндра.»

69. Практическая работа №69. Тема: «Площадь конуса.»---------153

70. Практическая работа №70. Тема: «Объѐм конуса.»--156

71. Практическая работа №71. Тема: «Шар. Шаровой сегмент.Шаровой сектор.»----166

72. Практическая работа №72. Тема: «Основы теории вероятностей.»--169

 

 

                           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Практическая работа 1

Тема: «Действия над действительными числами

Цель:  повторить действия над действительными числами.

Форма организации студентов на занятии: фронтальная.

Методические указания.

Дроби делятся на обыкновенные и десятичные. Десятичная дробь- это, по существу другая форма записи. В виде десятичной дроби можно представить любую обыкновенную дробь, знаменатель которой является делителем некоторой степени числа 10. Если к десятичной дроби приписать справа нуль или несколько нулей, то получится равная ей дробь. Если десятичная дробь оканчивается одним или несколькими нулями, то

эти нули можно отбросить- получится равная ей дробь.                                                 

При сложении десятичных дробей надо записать их одну под другой так, чтобы одинаковые разряды были друг под другом , а запятая -под запятой, и сложить дроби так, как складывают натуральные числа. В ответе запятая располагается под запятыми  Например, 

     Аналогично выполняется вычитание десятичных дробей.  При умножении десятичных дробей достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а затем в результате справа отделить запятой столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.

Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же, как деление натурального числа на натуральное, а запятую в частном ставят после того, как закончено деление целой части.    Для того чтобы разделить десятичную дробь на десятичную нужно и в делимом и в делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их имеется в делителе.      Для того чтобы сложить  ( или вычесть)    две обыкновенные дроби с разными знаменателями нужно предварительно привести их к наименьшему общему знаменателю, затем сложить

(вычесть) числитель первой дроби с числителем второй дроби, а

знаменатель оставить тем же. Например    , Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель равен произведению знаменателей. Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Например, . При делении обыкновенной дроби на обыкновенную дробь числитель делимого умножают на знаменатель делителя, а знаменатель делимого- на числитель делителя. Первое произведение служит числителем, а второе знаменателем частного.

Процентом называется сотая часть какого-либо числа.   

Самостоятельная работа

Вариант №1

 

Вариант №2

 

 

 

4.                           

 

4.      

5. Для приготовления яблочного варенья на 1 кг  яблок нужно 1,2 кг сахара. Сколько килограммовых упаковок сахара нужно купить, чтобы сварить варенье из 26 кг яблок?

5. Поезд Москва-Ижевск отправляется в 17:41, а прибывает в 10:41 на следующий день (время московское). Сколько часов поезд находится в пути?

6. Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана.

 

Абонент выбрал самый дешѐвый тарифный план , исходя из предположения, что общая длительность телефонных разговоров составляет 700 минут в месяц.  Какую сумму он должен заплатить за месяц,

6. Автомобильный журнал определяет рейтинг автомобилей на основе показателей безопасности S, комфорта C, функциональности F, качества Q и дизайна D. Каждый отдельный показатель  оценивается по 5-ти бальной шкале.Рейтинг R по формуле

 

если общая длительность разговоров в этом месяце действительно будет составлять 700 минут? Ответ дайте в рублях.

В таблице даны оценки каждого показателя для трѐх моделей автомобилей. Найдите рейтинг каждого автомобиля. Определите наивысший рейтинг.

7.Стоимость проездного билета на месяц составляет 800 рублей. А стоимость билета на одну поездку 22 рубля. Аня купила проездной и сделала за месяц 45 поездок. Сколько рублей она сэкономила?

7.В квартире, где проживает Дмитрий, установлен прибор учѐта расхода холодной воды (счѐтчик). 1 июня счѐтчик показывал расход 178 куб. м воды, а 1 июля-189 куб. м.

Какую сумму должен заплатить Дмитрий за холодную воду за июнь, если цена за один куб. м холодной воды составляет 19р. 60 коп? Ответ дайте в рублях.  

 

 

 

12. В книге Елены Молоховец  «Подарок молодым хозяйкам» имеется рецепт пирога с черносливом. Для пирога на 6 человек следует взять 2,5 фунта чернослива, ¼ фунта миндаля и 1/3 фунта сливочного масла. Сколько граммов чернослива следует взять для пирога, расчитанного на 9 человек?

Считайте, что 1 фунт равен 0,4 кг.

12. Больному прописан курс лекарства, которое 

нужно пить по 0,5 г три раза в день в течение трех недель.

В одной упаковке содержится 10 таблеток по 0,5 г. Какого 

Наименьшего количества упаковок хватит на весь курс?

 

Критерии оценок: 12 заданий-«5», 11-10 заданий –«4», 9 заданий –«3»

Практическая работа 2

Тема: «Проценты

Цель:  повторить проценты.

Форма организации студентов на занятии: фронтальная.

Методические указания.

Процент обозначается знаком %.  Если данное число принять за 1, то

1%=0,01.             Чтобы найти а% от числа b надо b умножить на  .              

Например, 30% от 60 составляют .     Если известно, что а% числа х равно b, то .    Нахождение процентного отношения чисел а и b, надо вычислить  .Пусть , например, при плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей, тогда он выполнил план на                         

Самостоятельная работа

Вариант №1  

Вариант №2

 

1.Засеяли 65% поля, что составило 325 га. Найдите площадь всего поля.

 

1. В яблоневом саду собрали 8400 кг яблок. На долю антоновских яблок приходится 45% всего урожая. Сколько кг антоновских яблок собрали в саду?

 

2. Из овса получается 40 % муки. Сколько муки получится из 26,5 тонн овса?

           

2. На киносеанс продано 627 билетов, а 25% билетов осталось непроданными. Сколько всего билетов следовало продать, чтобы все места в зрительном зале были заняты?

 

3. На киносеанс продано 628 билетов, а 35% билетов осталось непроданными. Сколько всего билетов следовало продать, чтобы все места в зрительном зале были заняты?

 

3.Из овса получается 30 % муки. Сколько муки получится из 26,5 тонн овса?

 

4 Смешав 70%-й и 60%-й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50%-й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90%-го раствора той же кислоты, то получили бы 70%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 70%-го раствора использовали для получения смеси?

4. Брюки дороже рубашки на 30% и дешевле пиджака на 22%. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?

 

 

 

5. Найти 4% от 75     

 

5. Найти 4% от 65             

6. Найти 15% от 84   

 

6. Найти 15% от 184   

 

7. найти число, если 40% его равны  12   

7. найти число, если 40% его равны 

23  

8. Найти число , если 15% его равны 1р.35 коп.

 

8. Найти число , если 15% его равны 1р.45 коп.

 

9.найти число, если

.

10. Сберегательные банки начисляют по вкладам ежегодно 12%. Вкладчик внѐс в сберегательный банк 10 000 рублей. Какой станет сумма вклада через 2 года.

 

9.найти число, если

.

10. Сберегательные банки начисляют по вкладам ежегодно 11%. Вкладчик внѐс в сберегательный банк 10 000 рублей. Какой станет сумма вклада через 2 года.

 

Критерии оценок: 10 заданий-«5», 9-8 заданий –«4», 7 заданий –«3»

Практическая работа 3

Тема: «Решение линейных уравнений и неравенств

Линейным уравнением с одной переменной  называют уравнение вида

, где - действительные числа.    

Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным.

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными.

В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, но равносильным данному. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.

Теорема. Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится уравнение, равносильное данному.

Например.

                     

Теорема. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Например.  

                    

Самостоятельная работа.

Вариант №1

 

Вариант №2

 

               1.                                         1.     

       

                                                             

 

                                             

 

4.                              4.               

 

5.                            5.    

                      

6.                        6.

                                                                                                                     

  

7.                        7.

                                                                                                                     

 

8.                           8.

                                                                                                                     

 

9.                9.

                                                                                                   

       

10. 

 

Критерий оценивания: «5»-10, «4»-9, «3»-7

 

 

 Практическая работа 4

Тема: «Решение линейных неравенств

Линейные неравенства.

      Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильное данному.

      Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство равносильное данному.

      Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство равносильное данному.

                             Пример.                                                                                       

 

 

 

 

 

Ответ:  

                                           Пример №2             

                                          Решение:                 

 

 

 

                                                                                                      {            

  

   

Ответ:

 

Самостоятельная работа.

Вариант №1

 

Вариант №2

 

               1.                                1.     

 

                                                    

       

                                   

       

4.                                                                                                                                                                               4.              

 

5.                                                                                                                                                                       5.    

                    

6.                                                                                                                                                              6.

 

       

7.                                                                                                                                                                    7.

                                                                                                                   

       

8.                                                                                                                                                                    8.

                                                                                                                  

       

9.                                                                                                                                                                    9.

                                                                                                               

       

 

Критерий оценивания: «5»-10, «4»-9, «3»-7        

Практическая работа 5

Тема: «Решение систем линейных уравнений

Цель:  отработка основных способов решений систем линейных уравнений.

Форма организации студентов на занятии: фронтальная.

Методические указания.

Перечисляем четыре способа решения: метод подстановки, метод сложения, графический метод решения и решение системы по формулам Крамера, с помощью определителей.

Если ставится задача найти все решения двух уравнений с двумя переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений. Каждая пара значений переменных, обращающая в верное неравенство каждое уравнение системы, называется решением системы уравнений. Решить систему – значит найти все ее  решения или доказать, что их нет.

Напомним  решение систем двух уравнений методом подстановки. Метод подстановки заключается в следующем:

1)     Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором y выражено через  x (или x через y).

2)     Полученное выражение подставляют вместо y (или вместо x) во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной.

3)     Находят корни этого уравнения.

4)     Воспользовавшись выражением y через x (или x через y) , находят соответствующие значения x ( или y).

Метод сложения.

1)     Для уравнивания коэффициентов умножаем каждое уравнение на такой множитель, чтобы коэффициенты при одной из переменных были равны.

2)     Складываем (или вычитаем) почленно оба уравнения для исключения одной из переменных.

3)     Решаем полученное уравнение с одной переменной.

4)     Подставляем найденное значение переменной в одно из уравнений и находим значение второй переменной.

Графический метод.

1)  Выражаем в обоих уравнениях у через х.

2)  Строим полученные прямые.

3)  Точка пересечения и будет являться ответом системы.

Например. Решить систему уравнений

Способ подстановки.

3,   .

Способ сложения.

 

    

3,   .

Графический способ.

Выразим из первого и второго уравнения у через х.

 

Изобразим эти прямые. Точка их пересечения и будет ответом.

 

Формулы Крамера.

 

Составим определитель            

 

Самостоятельная работа.

         Вариант №1                                                            Вариант №2

 

1.                                                                                                                                                                 1.          

 

2.                                                                                                                                                                    

       

                                                                                                                      

 

         4.                                                                                4.                            

 

                                                                 5.

                      

                                                                   

       

7.                                                                                                                                                                

 

8.                                                                                                                                                               8.     

9.                                                                                                                                                               9.

 

10.                                                                                                                                                           10.

11.                                                                                                                                                           11.

12.                                                                                                                                                                12.      

13.                                                                                                                                                           13.

         14.                    

15.  

 

 

Критерии оценок: 100%  задания-«5», 85%  задания–«4»,70%  задания –«3»

 

 

 

Практическая работа 6

Тема: «Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Цель:  отработка основных способов решений систем линейных уравнений.

Форма организации студентов на занятии: фронтальная.

Методические указания.

Определителем второго порядка называется число

.

Например. Вычислить определитель  

Определителем третьего порядка называется число

 

Например. Вычислить определитель

                                                 =                                                                                       

 

Пусть дана система трех линейных уравнений с  тремя неизвестными:

 Если определитель отличен от нуля , то система имеет единственное

решение, которое находится по формулам     x.      

,    

 

 

 

Самостоятельная работа.

Решить по формулам Крамера следующие системы уравнений:

Вариант №1

1)         подсказка  

2)

 

3)                  подсказка

 

4)                      подсказка

 

5)                      подсказка

Вариант №2

 

1)                     подсказка

 

2)                      подсказка

 

3)                      подсказка

 

4)                     подсказка

 

5)                     подсказка

 

Критерии оценок: 100%  задания-«5», 85%  задания–«4»,70%  задания –«3»

Практическая работа 7

Тема: «Решение квадратных уравнений

Цель:  отработка основных способов решений квадратных  уравнений.

Форма организации студентов на занятии: фронтальная.

Методические указания.

Уравнения вида  

 Если , то уравнение называют приведённым

квадратным уравнением.

 Корни уравнения находят по формуле        

Если  –корни квадратного трехчлена, то 

 

Пример.

 

Теорема Виета. Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Теорема обратная теореме Виета. Если числа ,  таковы, что их сумма равна , а произведение равно q, то эти числа являются корнями

уравнения  

Напоминаем, что  х с  ах , где  - корни

квадратного уравнения.

Самостоятельная работа.

Решить уравнения.

 

Вариант №1

 

Вариант №2

 

1.   1.

                                                                                                                               

2.                      

                                                                                                                             

 

                                                

 

4.            4.

                                                                                                                    

 

5.        5.  

 

6.

                                                                                                                                  

      

 

7.                                                                                                                                                              7.

                                                                                                           

 

 

8.                                                                                                                                                              8.

                                                                                

 

9.

                                                                                                                           

 

 

10. Зависимость объѐма спроса q (единиц месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены

10. Высоту над землей подброшенного вверх камня можно вычислять по

         р (тыс. руб.) задаѐтся формулой q = 120 - 10р.                      формуле , где

Выручка предприятия за месяц r (тыс. руб.) вычисляется по формуле r = pq. Определите наибольшую цену р, при которой месячная выручка составит 320 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

t — время с момента броска в секундах, h — высота в метрах. Сколько секунд камень будет находиться на высоте

                                                                                                     более 6 метров?

 

Критерии оценок: 100%  задания-«5», 85%  задания–«4»,70%  задания –«3»

Практическая работа 8

Тема: «Решение неравенств методом промежутков

Цель:  отработка основных способов решений квадратных  уравнений.

Форма организации студентов на занятии: фронтальная.

Методические указания.

Если левую часть неравенства можно разложить на  линейные множители, то его можно решить методом промежутков. Для нахождения промежутков знакопостоянства на числовой прямой отмечают все точки в которых функция обращается в нуль или претерпевает разрыв. Эти точки разбивают числовую прямую на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция сохраняет свой знак. Знак может измениться только при переходе через корни сомножителей .                                                                                                  

На примере неравенства  рассмотрим этот метод.

Многочлен  обращается в нуль в точках  

 Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки 

 

Находим знак каждого промежутка, для этого выберем любое число.

Входящее в него и подставим в каждый из сомножителей вместо х это число. Например, возьмем промежуток (-3;2). Выберем число 0 и подставим его 

 

Так как исходное неравенство имеет знак больше нуля, то мы в ответ должны записать промежутки , имеющие знак «+».

Ответ:  

Напоминаем, что  х с  ах , где  - корни квадратного уравнения.

Пример №2

 

 

Данный трехчлен нужно разложить на множители , решив квадратное

уравнение через дискриминант,

Самостоятельная работа.

Решить неравенства.

Вариант №1

 

Вариант №2

 

1.   1.

                                                                                                          

 

2.                     

                                                                    1.                                         

 

                                                                                              

 

4.            4.

                                                                                                                    

 

5.        5.  

 

6.

                                                                                                                                  

      

7.   7.

                                                                                  

 

8.   8.

                                                                               

 

9.   9.

                                                                           

 

                                                 

Критерии оценок: 100%  задания-«5», 85%  задания–«4»,70%  задания –«3»

Практическая работа 9

Тема: «Иррациональные уравнения

Цель: Познакомить  с иррациональными уравнениями . Отработать  навыки  решения иррациональных уравнений.

Методические указания.  

Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.

Например:

3 x2 1 3 x2 1 5, xx       1 x1 x2 1.

    Решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Пример №1

Решить уравнение   

5x162x2 12

5x16 x2

Возведем обе части уравнения (1) в квадрат:

далее последовательно имеем:   5х – 16 = х² - 4х + 4;    х² - 4х + 4 – 5х + 16 = 0 х² - 9х + 20 = 0

9 3

bb2 4ac

x1,2

2a x1,2 9814*1*20 2*1

x1,2

x1 4 x2 5

Проверка: Подставив    в уравнение (1), получим – верное равенство.

Подставив  в уравнение (1), получим               – верное равенство.  

Ответ: 4; 5.

 

Самостоятельная работа. Решить уравнение.

  

Вариант №1

 

Вариант №2

 

2.

 

 

4.=  

       

5.        5.

       

                                                  

                                          

       

                                   

 

           9.                           9.

     

           11.                          

 

                                           

       

                                            

       

                                             

                                          

                                                 

                                            

Критерии оценок: 100%  задания-«5», 85%  задания–«4»,70%  задания –«3»

 

Практическая работа 10

Тема: «Комплексные числа в алгебраической форме. Действия над ними 

Цель: Познакомить  с комплексными числами . Отработать  навыки сложения, вычитания умножения, деления комплексных чисел, заданных в алгебраической формеА также нахождение модуля комплексного числа.

Методические указания.  Для решения многих задач физики, электротехники и других наук оказалось недостаточно множества действительных чисел. Приведем пример. Для уравнения  

действительных корней не имеет. В связи с этим возникла потребность нового расширения понятия числа. Комплексными числами называются числа вида  , где a и b- действительные числа, а  число i, определяется равенством , называемой мнимой единицей. Два комплексных числа

и

Запись комплексного числа в виде  называется алгебраической формой записи комплексного числа. Действительное число  а называется действительной частью комплексного числа, а bi- его мнимой частью .Два комплексных числа называются  взаимно сопряженными        ( обозначают z и  ), если их действительные части равны, а мнимые отличаются знаками.

Например ,  Комплексные числа    называются  противоположными. Модулем комплексного числа

 называют действительное число r . Комплексное число

                      на координатной  плоскости изображается точкой с координатой

         (        )

Сложение двух комплексных чисел выполняется по формуле

(.

Умножение комплексных чисел, выполняется по правилу умножения двучлена на двучлен с учётом  .

Для того чтобы разделить одно комплексное число на другое нужно числитель и знаменатель умножить на число сопряженное знаменателю и упростить.

Пример. 

Самостоятельная работа.

Вариант №1

 

Найти.

Вариант №2

 

1.                                                                               

 

2.                                                                       

 

 

             

 

4.                4.

       

5.                5.

 

                                                                

       

                                          

 

 

8. Найти число сопряженное 

8. Найти число сопряженное 

           данному:                                     данном:  

 

 

9.Найти число сопряженное 

9.Найти число сопряженное 

           данному:                                               данному:  

 

 

10. Найти число сопряженное 

10. Найти число сопряженное 

           данному:                                                  данному:    

 

 

11. Найти модуль комплексного

11. Найти модуль комплексного

            числа:   3-2                                         числа: -3+2

 

 

12. Найти модуль комплексного

12. Найти модуль комплексного

           числа:                                                 числа:  

13. Составить квадратное уравнение по его корням:

13. Составить квадратное уравнение по его корням:

                                

       

           14.Построить                                14.Построить  

       

           15. Построить                                15. Построить  

       

Критерии оценок: 100%  заданий-«5», 85% заданий –«4»,70% заданий –«3»

Практическая работа 11

Тема: «Действия с различными видами степеней

 Цель: Отработать  навыки  вычисления степеней, используя их свойства.

Методические указания.  

При преобразовании арифметических корней используются их свойства

 

 

Пример№1. Извлечь корень из произведения

Пример №2. Вынести множитель из под знака корня

.

Тождество  

Если а и n-натуральное число, больше 1, то существует, и только одно , неотрицательное число х, такое, что выполняется условие  Это число х называется арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа а и обозначается . Число а называется подкоренным выражением, n-показатель корня. Если n=2, то обычно пишут ( опуская показатель корня) и называют это выражение квадратным корнем.

Свойства степеней:

 

Пример № 3. Исключить иррациональность в знаменателе   

.

Самостоятельная работа.

Вычислить без калькулятора.

Вариант №1  

1. Найдите значение выражения:  2. Найдите значение выражения:  3. Найдите значение выражения:  

4.      Найдите значение выражения:  

5.      Найдите значение выражения:  

6.      Найдите значение выражения:  

7.      Найдите значение выражения:  

8.      Найдите значение выражения:  

9.      Вычислить без калькулятора  

                           Вычислить без калькулятора  

                           Вычислить без калькулятора  

                           Вычислить без калькулятора  

                           Вычислить без калькулятора  

                           Вычислить без калькулятора  

                           Вычислить без калькулятора  

                           Вычислить без калькулятора  

                           Вычислить без калькулятора  

                           Вычислить без калькулятора  

                           Вычислить без калькулятора  

                           Вычислить без калькулятора ;

                            

     Найдите значение выражения    ;           Найдите значение выражения         ;

                           Найдите значение выражения при .

                           Упростите выражение:  

                            Найдите значение выражения:  

Вариант №2  

1.       Найдите значение выражения:  

2.       Найдите значение выражения:  

3.       Найдите значение выражения:  

4.       Найдите значение выражения:  

5.       Найдите значение выражения:  

6.       Найдите значение выражения:  

7.       Найдите значение выражения:  

8.       Найдите значение выражения:  

9.       Вычислить без калькулятора          

10.  Вычислить без калькулятора  

11.  Вычислить без калькулятора  

12.  Вычислить без калькулятора  

13.  Вычислить без калькулятора  

14.  Вычислить без калькулятора  

15.  Вычислить без калькулятора  

16.  Вычислить без калькулятора  

17.  Вычислить без калькулятора  

18.  Вычислить без калькулятора  

19.  Вычислить без калькулятора  

20.  Вычислить без калькулятора  

 

22.Выполните действия     ;

23.найдите значение выражения      ; 24. Найдите значение выражения     .

25.Найдите значение выражения:  

26.Найдите значение выражения:  

Критерии оценок: 26 заданий-«5», 25-22 заданий –«4», 21-18заданий –«3».

                      Практическая работа 12

Тема: « Преобразования логарифмических выражений»

Цель:  отработка навыков решения упражнений на решение  логарифмических выражений .

Форма организации студентов на занятии: фронтальная.

Методические указания.

I.     

II.   

III.                        IV.  V.  

VI.              

Самостоятельная работа.

Вариант №1

Вычислите:

1)                      

4)

7)

 

 

12)

13)

14)

15)                                 

16)

17)

18)

19)

Вычислить с помощью калькулятора

20)               

21)  

22)                 

 

 

Вариант №2

Вычислите:

1)  

2)                

12)  

 

3)

4)

5)

6)

7)

8)

 

Вычислить с помощью калькулятора

20)               

21)  

22)                 

 

Критерии оценок: 22 заданий-«5», 21-19 заданий –«4», 18-15 заданий –«3».

  Практическая работа 13

Тема: « Свойства логарифмов»

Цель:  отработка навыков решения упражнений на решение  логарифмических выражений .

Форма организации студентов на занятии: фронтальная.

Методические указания.

VII.           

VIII.         IX.  X.  

XI.                

XII.              

Самостоятельная работа.

Вариант №1

Вычислите:

 если     

1)           

2)      

3)                                       

4)                                          

Найдите значение выражения

5)               , если         

6)             , если         

7)                        , если       

8)                        , если       

9)                        , если    

, если       

, если        

 

, если     

, если     

16)   , если  

, если     

, если     

, если     

, если     

 

 

Вариант №2

Вычислите:

1)                                        

2)

3)

4)

Найдите значение выражения

5)               , если         

6)             , если         

7)                        , если       

8)                        , если       

9)                        , если    

, если      

, если       

 если     

, если     

, если     

, если     

16)   , если  

, если     

, если     

, если     

, если     

 

 

Критерии оценок: 22 заданий-«5», 21-19 заданий –«4», 18-15 заданий –«3».

 

Практическая работа 14

Тема: «Логарифмические тождества»

Цель:  отработка навыков решения упражнений на решение  логарифмических выражений .

Форма организации студентов на занятии: фронтальная.

Методические указания.

XIII.           

XIV.           XV.  

XVI.                

XVII.              

XVIII.           

Самостоятельная работа.

Критерии оценок: 23 заданий-«5», 22-19 заданий –«4», 18-15 заданий –«3».

Практическая работа 15

Тема: «Построение графиков» Цель:  отработка навыков построения графиков. Форма организации студентов на занятии: фронтальная.                Методические указания. Пусть функция задана аналитически формулой y=f(x).Если на координатной плоскости отметить все точки, обладающие следующим свойством: абсцисса точки принадлежит области определения функции, а ордината равна соответствующему значению функции, то множество точек (x;f(x))есть график функции. На практике для построения графика функции составляют таблицу значений функции при некоторых значениях аргумента, наносят соответствующие точки и соединяют полученные точки линией. При этом предполагают, что график функции является плавной линией, а найденные точки достаточно точно показывают ход изменения функции.     Для того, чтобы начать строить графики функций давайте повторим ещё как на координатной плоскости наносят точки. Итак, нам надо нанести точку с координатами (1;2) это значит х=1, у=2. Проводят линии х=1 и у=2 и на пересечении этих линий и получают точку (1;2)

х Пример . Построить график функции

Область определения х- любое

число.- это прямая. Пусть , тогда  

Пусть , тогда . Для построения прямой линии достаточно двух точек (0;1) и (2;5).

Самостоятельная работа.

Вариант №1

1) Построить график функции 2) Построить график функции

3)   Построить график функции

4)   Построить график функции  

5)   Решите систему уравнений графически  

Вариант №2

1)   Построить график функции

2)   Построить график функции

3)   Построить график функции

4)   Построить график функции  

5)   Решите систему уравнений графически  

 

Критерии оценок: 5  заданий-«5», 4 задания –«4»,3- задания –«3»

Практическая работа 16

Тема: «Нахождение значения функции по заданному аргументу» Цель:  отработка навыков нахождения значения функции.                 

Форма организации студентов на занятии: фронтальная.               

Методические указания.

 

Самостоятельная работа.

Вариант №1

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  

6.  

7.  

8.  

9.  

10.  

11.  

                 12.                                                                                    

13.  

14.  

15.  

16.  

17.  

18.  

19.  

20.  

21.  

22.  

Вариант №2

1.                                                                                                                                                                                                                                 

2.                                                                                                                                                                                                                                 

3.  

                 4.                                                                          

5.  

6.  

7.  

8.  

9.  

10.  

11.  

12.  

13.  

14.  

15.  

16.  

17.  

18.  

19.  

20.  

21.  

22.  

Критерии оценок: 22 заданий-«5», 21-19 заданий –«4», 18-15 заданий –«3».

  Практическая работа 17

Тема: «Решение упражнений на нахождение пределов»

Цель:  отработка навыков решения упражнений на нахождение пределов.

Форма организации студентов на занятии: фронтальная.

Методические указания.

Техника вычисления пределов.

Пример №1.  Найти.         Решение. .

Пример№2.   Найти     

Пример №3.   Найти   Однако из этого не следует, что данная функция не имеет предела.  Вынесем за скобки  Х и разделим числитель и знаменатель на Х, что допустимо так как х перехода к предельному значению. Тогда получим

 

Пример №4.    Найти

. Разложим

числитель на линейные множители   

 

Следовательно,  

.

Пример №5.    Найти  . При подстановки х=12 получим неопределенность вида . Чтобы избавиться от неопределенности, преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на

выражение  

Пример №6. Найти      Решение       

     Пример №7.   Найти         Решение      

(неопределенность).   Преобразуем данную функцию, разделив почленно числитель и знаменатель на неизвестную в самой большой степени.

Самостоятельная работа.

Вариант №1

Вариант №2

 

 

Критерии оценок: 15 заданий-«5», 14-12 заданий –«4»,11 -8 заданий –«3»

 

Практическая работа 18

Тема: «Построение показательных функций» Цель:  отработка навыков построения графиков. Форма организации студентов на занятии: фронтальная.               

Методические указания. Пусть функция задана аналитически формулой y=f(x).Если на координатной плоскости отметить все точки, обладающие следующим свойством: абсцисса точки принадлежит области определения функции, а ордината равна соответствующему значению функции, то множество точек (x;f(x))есть график функции. На практике для построения графика функции составляют таблицу значений функции при некоторых значениях аргумента, наносят соответствующие точки и соединяют полученные точки линией. При этом предполагают, что график функции является плавной линией, а найденные точки достаточно точно показывают ход изменения функции. 

Пример. Построим  функцию  . Для этого составим таблицу

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

 

8

4

2

1

 

 

 

Построим эти точки и проведём через низ кривую. График расположен выше оси Ох. Сувеличением аргумента значения функции уменьшаются, следовательно функция  убывающая. Самостоятельная работа.Вариант №1

1)     Построить график функции  

2)     Построить график функции  

3)     Построить график функции  

4)     Построить график функции  

5)     Решите систему уравнений графически  

Вариант №2

1)     Построить график функции  

2)     Построить график функции  

3)     Построить график функции  

4)     Построить график функции  

5)     Решите систему уравнений графически  

 

Критерии оценок: 5  заданий-«5», 4 задания –«4»,3- задания –«3» Практическая работа 19

Тема: «Показательные уравнения.»

Цель:  отработка навыков решения упражнений на решение показательных уравнений.

Форма организации студентов на занятии: фронтальная.

Методические указания.

Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, то есть уравнений в которых неизвестное содержится в показателе степени.

Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения 

, где а

Пример №1                   Пример №2    

 

 

 

 

Ответ:  

Пример №3

  

                              Пусть  

 

-нет корней

Ответ:                                             Ответ:  

Самостоятельная работа.

         Вариант №1                                                     Вариант №2

                 1)                                                                            1)

5)

 

 

       

Критерии оценок: 20  заданий-«5»,        заданий –«4»,      заданий –«3

Практическая работа 20

Тема: « Решение показательных неравенств

Цель:  отработка навыков решения упражнений на решение  систем показательных уравнений и неравенств.

Форма организации студентов на занятии: фронтальная.

Методические указания.

Решение показательных неравенств, т.е. неравенств, содержащих неизвестную в показателе степени, основано на свойствах показательной функции, а именно: если основание а больше 1, то функция  является монотонно возрастающей, т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и наоборот, т.е. если , то 

 ; если же основание степени   , то функция    

является монотонно убывающей , т.е. большему значению аргумента

соответствует меньшее значение функции    , то

 

Пример №1                                      

функция возрастающая, так как основание 3 больше 1, знак неравенства не меняется.  

 

Ответ:  

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА.

         Вариант №1                                                     Вариант №2

1)                                                                                                                                                        1)

2)                                                                                                                                                        3)

5)

6)

7)

8)

9)

 

                                                

       

 Критерии оценок: 16  заданий-«5», 15-14 заданий –«4»,13-11 заданий –«3»

 

Практическая работа 21

Тема: « Нахождение области определения логарифмических функций

Цель:  отработка навыков нахождения области определения логарифмических функций .

Форма организации студентов на занятии: фронтальная.

Методические указания.

Логарифмом числа b по основанию a (b > 0,  ) называется показатель степени, в который нужно возвести число a, чтобы получить число b: 

 

Из определения логарифма следует, что нужно учитывать b > 0,  

Пример. Найти область определения  

Решение.  

 

 

Ответ:  

      САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА.

Вариант №1

Найти область определения

2)

 

Вариант №2

Найти область определения

1)

3)

4)

6)

7)

8)

 

Критерии оценок: 10  заданий-«5», 9-8 заданий –«4»,7 заданий –«3»

 

Практическая работа 22

Тема: « Логарифмические уравнения

Цель:  отработка навыков решения упражнений на решение  логарифмических уравнений .

Форма организации студентов на занятии: фронтальная.

Методические указания.

С помощью  тождественных преобразований, в которых применяются свойства логарифмической функции:

XIX.                

XX.                   

XXI.                

XXII.              

XXIII.            

XXIV.           

Логарифмическое уравнение сводится к виду   затем логарифм отбрасывается и уравнение принимает вид  .

Пример №1.

 

        

Ответ :  

Самостоятельная работа.

Вариант №1

1)  

            2)                                        

3)

6)

 

 

Вариант №2

1)

 

 

Критерии оценок: 15 заданий-«5», 14-13 заданий –«4»,12 -11 заданий –«3»

Практическая работа 23

Тема: «Логарифмические неравенства

Цель:  отработка навыков решения упражнений на решение  логарифмических  неравенств.

Форма организации студентов на занятии: фронтальная.

Методические указания.

При решении логарифмических неравенств нужно:

      Знать свойства логарифмов;

      Привести логарифмическое неравенство к виду  

, 

      Учитывать возрастание и убывание функций;

      Обязательно учитывать область определения функции;

Пример №1

Решить неравенство  

              Решение. ,       

Мы представили 2 как  и учли область определения функции. Теперь первое неравенство имеет вид           , мы можем отбросить   , т.е. функция возрастающая и знак неравенства не поменяется.

,

 

Ответ:  

Критерии оценок: 15 заданий-«5», 14-13 заданий –«4»,12 -11 заданий –«3»

Практическая работа 24

Тема: «Радианная мера угла

Цель:  отработка навыков решения упражнений на тригонометрические тождества

Форма организации студентов на занятии: фронтальная.

Методические указания.

В геометрии угол определяется как часть плоскости, ограниченная двумя лучами. При таком определении получаются углы от 0° до 180°. Однако угол можно рассматривать и как меру поворота. Это отношение может быть выбрано характеристикой и мерой данного угла:  

Такая мера называется радианной мерой угла и используется наравне с угловой. Говорят, что угол равен определѐнному числу радиан. Ясно, что угол в один радиан опирается на длину дуги окружности, равную еѐ радиусу. 

Обозначение радиана – «рад».

Угол, градусы

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

Угол, радианы

0

 

 

 

 

Π

 

Как известно, координатные оси делят окружность на четыре дуги,

которые называют четвертями.

Функция

Значения

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

 

 

 

 

 

 

 

sin α

0

 

 

 

1

0

–1

0

cos α

1

 

 

 

0

–1

0

1

tg α

0

 

1

 

0

0

ctg α

 

1

 

0

0

 Окружность единичного радиуса с центром в начале координат называется тригонометрической окружностью.

Функ ция

Знаки тригонометричес ких функций по

 

четвертям

 

I

II

III

IV

sin α

+

+

cos α

+

+

tg α

+

+

ctg α

+

+

Поскольку синус по определению равен ординате точки на единичной окружности, а косинус − абсциссе, то знаки тригонометрических функций по четвертям будут такими:

 

 

Самостоятельная работа.

Вариант №1

1.  Перевести  из градусной меры в радианную:

 

2.  Перевести из радианной меры в градусную:

 

3.  Построить на единичной окружности углы:  

 

4.  Определить знаки следующих выражений:

/

5.  Вычислить:

 

6.  Вычислить:

 

7.  Вычислить:

 

Вариант №2

1.  Перевести  из градусной меры в радианную:

 

2.  Перевести из радианной меры в градусную:

 

3.  Построить на единичной окружности углы:  

 

4.  Определить знаки следующих выражений:

.

5.  Вычислить:

 

6.  Вычислить:

 

7.  Вычислить:

 

Критерии оценок: 7 заданий-«5», 6 заданий –«4»,5 заданий –«3»

Практическая работа 25

Тема: «Преобразование тригонометрических выражений. Соотношения между тригонометрическими функциями. Формулы приведения

Цель:  отработка навыков решения упражнений на тригонометрические тождества

Форма организации студентов на занятии: фронтальная.

Методические указания.

ФОРМУЛА

ПРИМЕРЫ

           1)  

a)

                  b)                                               

Найдите значения           если      и         . Так как синус в 4 четверти имеет отрицательное значение, то

 

 

2) 

Найдите значение    ,  если  .

По формуле        

3)

4)        a)        

b) tg 

Найдите tg   , если  

 

5)

Упростите выражение 

6)

       

Самостоятельная работа.

Вариант №1

4)

 

14)

15)

16)

17)  

18)

Вариант №2

1)

4)

5)

8)

 

 

Критерии оценок:  заданий-«5», заданий –«4», заданий –«3»

    Практическая работа 26

Тема: «Формулы суммы и разности двух одноимѐнных тригонометрических функций. Формулы двойного угла Цель:  отработка навыков решения упражнений на тригонометрические тождества

Форма организации студентов на занятии: фронтальная.

Методические указания.

I.   

II.                        

III.                      IV.  V.  

VI.                 

VII.               

VIII.            

IX.                  

ПРИМЕР №1.

Упростите выражение     

ПРИМЕР №2

Вычислите

 

Критерии оценок: 24 -22 заданий-«5», 21-18 заданий –«4»,14 -12 заданий –«3»

Самостоятельная работа.          

Вариант №1

Вычислите

                 1.           

2.

3.

4.

5.

6.

7.  

8.

9.

10.

11.

12.

Упростите выражение

13.

14.  

15.

16.

17.

18.

19.

Вариант №2

Вычислите

1.

2.

3.  

4.

 

9.

Упростите выражение

 

Критерии оценок: 19 заданий-«5», 18-16 заданий –«4»,15 -13 заданий –«3»

   Практическая работа 27

Тема: «Решение тригонометрических уравнений Цель:  отработка навыков решения упражнений на тригонометрические уравнения

Форма организации студентов на занятии: фронтальная.

Методические указания.

Формула

примеры

 , не имеет решений при  и имеет бесконечное

множество решений при      , которые находятся по формуле

 

           1)    

Не имеет решения

          2)                    

Решение следующих уравнений может быть записано в более простом виде, чем общая формула:

1.

2.

3.

 

 

 не имеет решений при

 и имеет бесконечное

множество решений при      , которые находятся по формуле

 

Решение следующих уравнений может быть записано в более простом виде, чем общая формула:

1.

2.

3.

1)  

Не имеет решения

2)                    

 

 

 

 имеет решение при любом действительном значении a, оно находится по формуле

 

 

 

 

Самостоятельная работа.    

Вариант №1

1)

2) 3)

4)

5)

6)

7)

 

 

Вариант №2

5)

 

 

17)  

18)

19)

20)

Критерии оценок: 20  заданий-«5», 19-15 заданий –«4»,14 -10 заданий –«3»

 

Практическая работа 28

Тема: «Построение тригонометрических функций

Цель:  отработка навыков построения тригонометрических функций

Форма организации студентов на занятии: фронтальная.

Методические указания.

Построим функцию  

Возьмём   

 

 

                        n; n, nZ

                         2            2        

Область значений

R

Четность, нечетность

нечетная

Период

Т=π

Нули функции

y = 0     при x = πn, nZ

Промежутки знакопостоянства

tgx > 0        при xn;n, nZ

                                                       2        

tgx < 0 при xn;n, nZ

                                  2               

 

Экстремумы

нет

 

Промежутки монотонности

функция возрастает на каждом интервале области определения

 

 

Асимптоты

х = n, nZ 2

Самостоятельная работа.    

Вариант №1

1.   Построить и описать график функции

2.   Построить и описать график функции

3.   Построить и описать график функции

Вариант №2

1.   Построить и описать график функции

2.   Построить и описать график функции

3.   Построить и описать график функции

Критерии оценок: 3  задания-«5», 2 задания –«4»,1 задание –«3»

Практическая работа 29

Тема: «Свойства графиков тригонометрических функций»

Цель:  отработка навыков нахождения области значений функций.

Форма организации студентов на занятии: фронтальная.

Методические указания.

Областью значений функции называют все значения у.

Пример. Когда функцию умножают на число она растягивается вдоль ОУ

 

Укажите область значений функции   

Решение.    

Функция  получена из функции  параллельным переносом вниз на 2 единицы.

 

Ответ.                                                                                                                      

     Пример.

   Укажите область значений функции  .

Решение.

   

 

 

 

Ответ. .

Самостоятельная работа.

Вариант №1

Укажите область значений функции   

1)

 

 

Вариант №2

                 1)                       

                 2)                       

3)  

4)  

5)

6)

7)

8)

 

Критерии оценок: 20 заданий-«5», 19-17 заданий –«4»,16 -14 заданий –«3»

 Практическая работа 30

Тема: «Сложение и вычитание векторов

Цель:  отработка навыков сложения и вычитания векторов.

Форма организации студентов на занятии: фронтальная.

Методические указания.  Для того чтобы сложить два вектора , нужно выбрать произвольную точку и отложить от нее вектор ( строго по клеточкам все скопировать) и затем от точки В отложить

вектор  ( также по клеточкам все скопировать) , тогда вектор  является суммой векторов +. Это сложение по правилу треугольника.      

Правило параллелограмма.

 

Самостоятельная работа.  

Переносить в тетрадь вектора строго по клеточкам, выдерживая все размеры, складывать по правилу параллелограмма и треугольника.   Вариант №1

1)  

2)  

3)  

4)  

5)  

6)  

7)  

8)  

9)  

                  10)          

Вариант №2

 ⃗ ⃗ ⃗  

⃗ ⃗ ⃗ ⃗  

 

 

5)      

6)       

7)  

8)  9)  

        10)             

 

Критерии оценок: 10  заданий-«5», 9-8 заданий –«4»,7 заданий –«3» Практическая работа 31

Тема: « Расстояние между двумя точками. Выполнение действий над векторами, заданными своими координатами

Цель:  отработка навыков решения упражнений на векторы

Форма организации студентов на занятии: фронтальная.

Методические указания.

Любой вектор можно разложить по базисным векторам причём

единственным образом.  , где   координаты вектора.

Если известны координаты точек начала и конца вектора, то каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и

начала. А

 

A                               C                                     B

         A

                   

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Длина вектора  

Расстояние между двумя точками Авычисляется по

формуле   

Скалярное произведение векторов  

   .

  Самостоятельная работа.    

Вариант №1

1)       Найдите координаты векторов   

 

2)       Пусть  Найти координаты середины отрезка.

3)       В треугольнике с вершинами   найти длину средней линии треугольника параллельной АС ( подсказка: 1. найти

координаты середины АВ, 2. найти координаты середины ВС , 3. найти расстояние ).

4)       Даны векторы .Найти координаты вектора

.

5)       Найти   .

6)       В треугольнике АВС, где  найдите длину медианы, проведённой из точки С. Предварительно найдите координаты середины отрезка.

7)       Пусть . Найти  3

8)       Определить точку В, которая является концом вектора , если его начало – точка .

Вариант №2

1)       Найдите координаты векторов   

 

2)       Пусть  Найти координаты середины отрезка.

3)       В треугольнике с вершинами   найти

длину средней линии треугольника параллельной АС ( подсказка: 1. найти координаты середины АВ, 2. найти координаты середины ВС , 3. найти расстояние ).

4)       Даны векторы .Найти координаты вектора .

5)       Найти   .

6)       В треугольнике АВС, где  найдите длину медианы, проведённой из точки С. Предварительно найдите координаты середины отрезка.

7)       Пусть . Найти  3

8)       Определить точку В, которая является концом вектора , если его начало – точка .

Критерии оценок: 9  заданий-«5», 8-7 заданий –«4»,6-5 заданий –«3»

Практическая работа 32

Тема: « Скалярное произведение векторов

Цель:  отработка навыков решения упражнений на векторы

Форма организации студентов на занятии: фронтальная.

Методические указания.

 Условие перпендикулярности  

 

Самостоятельная работа.    

Вариант №1

1)      Найти скалярное произведение  ,если  

2)      При каком значении m  векторы  перпендикулярны?

3)      Найти угол между векторами  

4)      Пусть . Найти (

5)      Пусть . Найти  

6)      Пусть . Найти  

7)      Пусть . Найти  

8)      Даны вершины треугольника .

Найти угол при вершине В.

Вариант №2

1)      Найти скалярное произведение  ,если  

2)      При каком значении m  векторы  перпендикулярны?

3)      Найти угол между векторами .

4)      Пусть . Найти (

5)      Пусть . Найти  

6)      Пусть . Найти  

7)      Пусть . Найти  

8)      Даны вершины треугольника .

Найти угол при вершине А.

Критерии оценок: 7 заданий-«5», 6 заданий –«4»,5 заданий –«3»

Практическая работа 33

Тема: «Производная функции. Производная суммы, произведения и частного функций».

Цель: освоить навыки нахождения производных степенной функции.

Методические указания.

 .    Например,  .

Производная суммы функций равна сумме производных этих функций.

Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

 

3.  

Пример 

 

Самостоятельная работа.

Вариант №1

Найдите производную функции:

1)

5)

6)

 

9)

                                           

          

                                              

   

                                             

     

       

 

 

Вариант №2

Найдите производную функции:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

         8)  

                                           

          

                                              

   

                                         

                                             

     

       

 

 

Критерии оценок: 20  заданий-«5», 19-15 заданий –«4»,14 -10 заданий –«3»

 

Практическая работа 34

Тема: «Дифференцирование сложной функции ».

Цель: освоить навыки нахождения производных сложной функции.

Методические указания.

       2.

3..           4.

Производная суммы функций равна сумме производных этих функций.

Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Если у есть функция от u: y=f(u)   , где   u=φ(X) то есть y=f(φ(X)), то у называется сложной функцией.

Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному      аргументу    на       производную         этого аргумента    по независимой переменной.

Например.   Найти производную функции =

=

Самостоятельная работа.   

Вариант №1

      Найдите производную функции:

   

         2.                                     

3.

4. 

         5.                                              

         6.                          

         7.                          

                                    

9. 

         10.                           

Вариант №2

      Найдите производную функции:

   

         2.                                       

3.

4. 

         5.                                                

         6.                             

         7.                                   

                                       

         9.                             

10.  

Критерии оценок: 10  заданий-«5», 9- заданий –«4», 8-7 заданий –«3» Практическая работа 35

Тема: «Геометрический смысл производной

Цель:  Отработка навыков нахождения уравнения касательной к графику функции.

Форма организации студентов на занятии: фронтальная.

Методические указания.

Функция f (x) дифференцируема в точке x0 тогда и только тогда, когда к графику          функции     в        этой   точке          можно         построить     невертикальную касательную, причем угловой коэффициент этой касательной равен производной функции в этой точке: 

 

Другими словами, производная функции в точке x0 равняется тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Уравнение прямой, проходящей через точку (a; b), задается формулой y = k (x – a) + b.

1.    Пример.

Найдите угловой коэффициент наклона касательной, проведѐнной к

графику функции   в его точке с абсциссой  

Решение.

Ответ:  

Самостоятельная работа.   

Вариант №1

2.    Найдите угловой коэффициент наклона касательной, проведённой к графику функции   в его точке с абсциссой

3.    Найдите угловой коэффициент наклона касательной,

проведённой к графику функции в его точке с абсциссой  

4.    Найдите угловой коэффициент наклона касательной,

проведённой к графику функции  в его точке с абсциссой  

5.    Найдите угловой коэффициент наклона касательной,

проведённой к графику функции   в его точке с абсциссой

6.    Найдите угловой коэффициент наклона касательной, проведённой к графику функции  в его точке с абсциссой

7.    Найдите угловой коэффициент наклона касательной,

проведённой к графику функции   в его точке с абсциссой

8.    Найдите угловой коэффициент наклона касательной,

проведённой к графику функции     в его точке с абсциссой

9.    Найдите угловой коэффициент наклона касательной,

проведённой к графику функции     в его точке с абсциссой  

10.                      Найдите угловой коэффициент наклона касательной, проведённой к графику функции     в его точке с абсциссой  

 Найдите угловой коэффициент наклона касательной, проведённой к графику функции     в его точке с абсциссой

 Найдите угловой коэффициент наклона касательной,

проведённой к графику функции     в его точке с абсциссой

 Найдите угловой коэффициент наклона касательной,

проведённой к графику функции     в его точке с абсциссой

 Найдите угловой коэффициент наклона касательной,

проведённой к графику функции     в его точке с абсциссой

 Укажите абсциссу точки графика функции , в которой угловой коэффициент равен нулю.

 Укажите абсциссу точки графика функции , в которой угловой коэффициент равен нулю.

 Укажите абсциссу точки графика функции , в которой угловой коэффициент равен нулю.

 Укажите абсциссу точки графика функции , в которой угловой коэффициент равен нулю.

 Укажите абсциссу точки графика функции , в которой угловой коэффициент равен нулю.

 Укажите абсциссу точки графика функции , в которой угловой коэффициент равен нулю.

 Укажите абсциссу точки графика функции , в которой угловой коэффициент равен нулю.

 На графике функции  взята точка А.

Касательная к графику, проведенная через точку А, наклонена к оси абсцисс под углом, тангенс которого равен 7,2. Найдите абсциссу точки А.

 Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции  в точке с абсциссой .

Вариант №2

1.    Найдите угловой коэффициент наклона касательной,

проведённой к графику функции   в его точке с абсциссой

2.    Найдите угловой коэффициент наклона касательной,

проведённой к графику функции в его точке с абсциссой  

3.    Найдите угловой коэффициент наклона касательной,

проведённой к графику функции  в его точке с абсциссой  

4.    Найдите угловой коэффициент наклона касательной,

проведённой к графику функции   в его точке с абсциссой

5.    Найдите угловой коэффициент наклона касательной, проведённой к графику функции  в его точке с абсциссой

6.    Найдите угловой коэффициент наклона касательной,

проведённой к графику функции   в его точке с абсциссой

7.    Найдите угловой коэффициент наклона касательной,

проведённой к графику функции     в его точке с абсциссой

8.    Найдите угловой коэффициент наклона касательной,

проведённой к графику функции     в его точке с абсциссой  

9.    Найдите угловой коэффициент наклона касательной,

проведённой к графику функции     в его точке с абсциссой  

 Найдите угловой коэффициент наклона касательной, проведённой к графику функции     в его точке с абсциссой

 Найдите угловой коэффициент наклона касательной,

проведённой к графику функции     в его точке с абсциссой

 Найдите угловой коэффициент наклона касательной,

проведённой к графику функции     в его точке с абсциссой

 Найдите угловой коэффициент наклона касательной,

проведённой к графику функции     в его точке