[Только до 13 августа!] Масштабные летние олимпиады по школьным предметам Выбрать олимпиаду→
Конкурс разработок «Пять с плюсом» июль 2021
Добавляйте свои материалы в библиотеку и получайте ценные подарки
Конкурс проводится с 1 июля по 31 июля

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для изучения учебной дисциплины ЕН.01 Математика

Методические указания разработаны в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта (далее – ФГОС) по специальности среднего профессионального образования (далее СПО) специальности 35.02.07 Механизация сельского хозяйства утвержденного приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 07.05.2014 г № 456 и рабочей программой учебной дисциплины. Методические указания содержат теоретический материал по учебной дисциплине, содержание практических работ, задания для самостоятельной работы студентов и методического указания по выполнению контрольных работ.
Просмотр
содержимого документа

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Осинский колледж образования и профессиональных технологий»

 

       

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

для изучения учебной дисциплины ЕН.01 Математика

специальность 35.02.07 Механизация сельского хозяйства

 

 

     Составитель:

      Шестакова Людмила Степановна, 

      преподаватель математики

      ГБПОУ «ОКО и ПТ»

 

день математики картинки просто

Оса 2019

 

Методические указания разработаны в соответствии с требованиями  Федерального государственного образовательного стандарта (далее – ФГОС) по специальности среднего профессионального образования (далее СПО)  специальности  35.02.07 Механизация сельского хозяйства утвержденного приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 07.05.2014 г  № 456 и рабочей программой учебной дисциплины.

 

 

 

 

 

 

Составитель:  Шестакова Людмила Степановна,  преподаватель математики ГБОПОУ «ОКО и ПТ»

                      

 

 

 

 

 

 

 

Методические указания содержат теоретический материал по учебной дисциплине, содержание практических работ,  задания для самостоятельной работы студентов и методического указания по выполнению контрольных работ.

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Методические указания по изучению учебной дисциплины  ЕН.01. Математика  составлены в соответствии с требованиями  Федерального государственного образовательного стандарта (далее – ФГОС) по специальности среднего профессионального образования (далее СПО)  специальности  35.02.07 Механизация сельского хозяйства утвержденного приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 07.05.2014 г  № 456 и рабочей программой учебной дисциплины.

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен знать:

З–1. Значение математики в профессиональной деятельности и при освоении программы подготовки специалистов среднего звена (далее - ППССЗ);

З-2. Основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

З-3. Основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики,  теории вероятностей и математической статистики;

З-4. Основы интегрального и дифференциального исчисления.

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен уметь:

У-1. Решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности.

Содержание дисциплины ориентировано на подготовку обучающихся овладению профессиональных модулей и овладению обучающимися профессиональными компетенциями (ПК), соответствующими основным видам профессиональной деятельности:

ПК 1.1

Выполнять регулировку узлов, систем и механизмов двигателя и приборов электрооборудования.

ПК 1.2

Подготавливать почвообрабатывающие машины

ПК 1.3

Подготавливать посевные, посадочные машины и машины для ухода за посевами.

ПК 1.4

Подготавливать уборочные машины.

ПК 1.5

Подготавливать машины и оборудование для обслуживания животноводческих ферм, комплексов и птицефабрик.

ПК 1.6

Подготавливать рабочее и вспомогательное оборудование тракторов и автомобилей.

ПК 2.1

Определять рациональный состав агрегатов и их эксплуатационные показатели.

ПК 2.2

Комплектовать машинно-тракторный агрегат.

ПК 2.3

Проводить работы на машинно-тракторном агрегате.

ПК 2.4

Выполнять механизированные сельскохозяйственные работы.

ПК 3.1

Выполнять техническое обслуживание сельскохозяйственных машин и механизмов.

ПК 3.2

Проводить диагностирование неисправностей сельскохозяйственных машин и механизмов.

ПК 3.3

Осуществлять технологический процесс ремонта отдельных деталей и узлов машин и механизмов.

ПК 3.4

Обеспечивать режимы консервации и хранения сельскохозяйственной техники.

ПК 4.1

Участвовать в планировании основных показателей машинно-тракторного парка сельскохозяйственного предприятия.

ПК 4.2

Планировать выполнение работ исполнителями.

ПК 4.3

Организовывать работу трудового коллектива.

ПК 4.4

Контролировать ход и оценивать результаты выполнения работ исполнителями.

ПК 4.5

Вести утвержденную учетно-отчетную документацию.

 

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование общих компетенций (ОК), включающих в себя способность:

ОК 1

Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2

Организовывать собственную деятельность, определять методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3

Решать проблемы, оценивать риски и принимать решения в нестандартных ситуациях.

ОК 4

Осуществлять поиск, анализ и оценку информации, необходимой для постановки и решения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5

Использовать информационно-коммуникационные технологии для совершенствования профессиональной деятельности.

ОК 6

Работать в коллективе и команде, обеспечивать ее сплочение, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7

Ставить цели, мотивировать деятельность подчиненных, организовывать и контролировать их работу с принятием на себя ответственности за результат выполнения заданий

ОК 8

Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации

ОК 9

Быть готовым к смене технологий в профессиональной деятельности.

 

 Количество часов на освоение программы учебной дисциплины:

максимальной учебной нагрузки обучающегося - 84 часа, в том числе:

  • обязательной аудиторной учебной нагрузки обучающегося - 56 часов;
  • внеаудиторная самостоятельной работы обучающегося  - 28 часов.

 

 

 

1. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

Наименование разделов и тем

Количество аудиторных часов

ВСР

Всего

Теория

Практические работы

Раздел 1. Основные понятия и методы математического анализа

8

4

4

4

Раздел 2. Основы дифференциального  и интегрального исчисления

30

22

8

12

Раздел 3. Основные понятия и методы дискретной математики

8

6

2

6

Раздел 4. Основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики

10

6

4

6

 

56

38

18

28

 

2. СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Раздел 1. Основные понятия и методы математического анализа

Функция. Построение графиков функций и определение свойств функций. Пределы и непрерывность. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Практические работы: Вычисление пределов вида . Вычисление пределов вида

Методические указания

Предел функции.  Говорят, что функция  f(х) при х или limf(х) = А, если для любого ε >0 существует такое  что, для всех х, удовлетворяющих условиям  | xa | < δ,  xa,  имеет место  неравенство | f(x) –A | <ε.

 Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

  Функция  f(x) называется бесконечно малой при  х а , если

  Функция   f(x) называется бесконечно большой при  х а , если            

  Функция обратная бесконечно малой, есть величина бесконечно большая.

  И, наоборот, функция обратная бесконечно большой, есть величина бесконечно малая.

 Предел отношения двух многочленов,

     1)   Тип -  следует находить с применением  теорем, что   приводит к подстановке в выражение вместо      значение  .

     2)   Тип -  тогда   

     3)   Тип  -   следует числитель и знаменатель разложить на множители  и сократить,     избавившись таким образом от данной неопределенности.

  1.  Тип   -  тогда  

      5)   Тип     -  числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень, выполнить упрощения и применить теорему 5.

Примеры: Вычислить  пределы

 1)     

2)      http://festival.1september.ru/articles/560954/img7.gif

Решение:

Имеем неопределенность вида

http://festival.1september.ru/articles/560954/img8.gif

 

Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель x + 2, который при x → -2 не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.
http://festival.1september.ru/articles/560954/img9.gif 

3)  http://festival.1september.ru/articles/560954/img10.gif

Решение:

Имеем неопределенность вида

http://festival.1september.ru/articles/560954/img11.gif

Для ее раскрытия можно либо разделить числитель и знаменатель на наибольшую степень переменной x и учитывая, что величина обратная бесконечно большой величине есть бесконечно малая величина, раскроем исходную неопределенность.

http://festival.1september.ru/articles/560954/img12.gif

Задания практической работы

  Вычислить пределы:

1)

6)

2)

7)

3)

8)

4)

9)

5)

10)

 

Раздел 2. Основы дифференциального и интегрального исчисления

Производная функции. Производные основных элементарных функций. Производные сложной и обратной функций. Производные логарифмических функций. Производные показательных функций. Производные тригонометрических функций. Исследование функции с помощью производной. Основные формулы интегрирования. Непосредственное интегрирование. Интегрирование методом замены переменной. Определенный интеграл и его непосредственное вычисление. Вычисление определенного интеграла методом замены переменной. Вычисление площади плоской фигуры.

Практические работы: Нахождение производных функций. Исследование функции с помощью производной и построение графиков функции. Вычисление неопределенных интегралов. Вычисление определенного интеграла.

Тема 2.1. ПРОИЗВОДНАЯ

Методические указания

Понятие производной является одним из фундаментальных понятий математики. Многие задачи как самой математики, так и естествознания и техники приводят к этому понятию.

Перед тем как записать понятие производной рекомендуется рассмотреть физическую задачу о неравномерном движении и его скорости, которая приводит к понятию производной.

Производной функции  f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю, т.е. .

Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Производная функции f(x) в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику данной функции в его точке с абсциссой , т.е. f ‘()=k=tgα. в этом заключается геометрический смысл производной.

            -  уравнение касательной 

 

 

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Мгновенная скорость прямолинейного движения материальной точки в любой момент времени t есть производная от пути s по времени t:

  V(t)=s’(t)=, в этом заключается  механический смысл производной.

Ускорение a(t) прямолинейного движения материальной точки в момент времени t равно первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени, т.е. a(t)= v,(t)=

ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Если у функции u(x) и v(x) существуют производные, то

1. (u+v)′ = u′+v

2. (сu)′ = c u

3. (uv)′ = uv+uv

4. (u/v)′=(uv-vu)/v² (v)

ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Функция

Производная

f(x) = c

= 0, с - const

f(x) =

f(x) =ex

(ex) / = ex

f(x) = ax

(ax) / = ax ln a

f(x) = ln x

(ln x) / =

f(x) = logax

(logax) / =

f(x) = sin x 

(sin x) / = cos x

f(x) = cos x

(cos x) / = - sin x

f(x) = tg x

(tg x) / =

f(x) = ctg x

(ctg x) / = -

f(x) = arcsin x 

(arcsin x) / =  

f(x) = arccos x

(arccos x) / = -

f(x) = arctg x

(arctg x) / =

f(x) = arcctg x

(arcctg x) / = -

 

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Если у = f(g(x))  и существуют производные и  , то  , где индексы g и х указывают, по какому аргументу вычисляются производные.

Примеры: 1. (3х)′ = 3·4х3 = 12х3

                    2.   (5х2+8х-10)'=(5х2)'+(8х)'-10'=5·2х+8-0=10х+8

                    3. ((х2-х)(5х-8))'= (х2-х)'·(5х-8) + (х2-х)·(5х-8)'=(2х-1)(5х-8)+(х2-х)5= 10х2-      21х+8+5х2-5х=   =15х2-26х+8

          4.

          5. (sin(2x+1))’=sin’(2x+1) (2x+1)= 2cos(2x+1)

                   6.    (sin x >0)

                  7.

                   8.     (sin x >0)

                   9. (exln x) / = exln x (x ln x) / = exln x (ln x + 1)   (x>0)

                  10)’=2()’=

Задания практической работы

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение производной функции.

2. Напишите все формулы дифференцирования.

3. Дайте определение сложной функции. Как найти ее производную?.

Найдите производные функций:

  1.                
  2.                
  3.                  
  4.                
  5.                
  6.                
  7.                
  8.                
  9.                
  1.              
  2.           
  3.                  
  4.           
  5.           
  6.           
  7.           
  8.           
  9.           

 

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

Схема исследования функции с помощью производной:

1. Найти область определения функции;

2. Выяснить, является ли данная функция четной или нечетной; периодической;

3. Выяснить координаты точек пересечения графика функции с осями координат;

4. Найти производную;

5. Найти критические точки;

6. Найти промежутки возрастания и убывания;

7. Найти точки экстремума функции и вычислить значения функции в этих точках;

8. Построить график функции.

Пример: Построить график функции у = х3-6х2+9х-3

  1. ООФ: (-∞; +∞)
  2. у(-х)= -х3-6х2-9х-3 = -( х3+6х2+9х+3)

      у(х)= х3-6х2+9х-3

      Функция не является ни четной, ни нечетной.

  1. Найдем точку пересечения с осью Оу: полагаем х=0, получим у= - 3.(0;-3)

Точки пересечения графика с осью Ох в данном случае найти затруднительно, поэтому точных точек пересечения с осью Ох нет.

  1. = 3х2-12х+9

  2-12х+9 = 0

   х2-4х+3 = 0 (получили квадратное уравнение, решаем его с помощью  дискриминанта или по теореме Виета)

            х1=1,   х2 = 3

х

(-∞; 1)

1

(1; 3)

3

(3; +∞)

+

0

-

0

+

у

 

максимума

уmax = y(1) =1

 

минимум

уmin=y(3)= - 3

 

  1.         

                                                у

 

                                                                                             

                                            1     .

 

                                             0    1     2      3         х

 

 

                                             -3                       

 

Задания практической работы (по вариантам)

 Определить промежутки монотонности функции (a, b) по образцу, исследовать функцию и построить график функции (с) по схеме исследования.

  1.                 a) y = (x-3) (x-2), b) y = x4 –8x2 –9,  c) y = 1/3 x3 – 2x2 –5;
  2.                 a) y = x3 – 3x2 + 2, b) y = x5 –x3 + x + 2,  c) y = 8x3 – 4x2 + 3;
  3.                 a) y = (x2 +x) (x-2), b) y = 1/5 x5 –4x2 , c) y = 6x3 – 2x –41;
  4.                 a) y = x5 – x2 + 8,  b) y = x5 –x3 + x + 2, c)  y = - 2x3 + x – 4;
  5.                 a) y = 3x2 – 6x + 5, b) y = 3x4 + 4x3 + 1, c) y = 3x2 – 4x + 5;
  6.                 a) y = 4x4 – 2x2 + 3, b) y = 2x3 + 3x2 – 12x + 1,c) y = 8x3 – x2 + 7x – 2;
  7.                 a) y = x4 – 10x2 + 9, b) y = x5 –x3 + x + 2, c) y = - 7x3 + x2 – 3x – 1;
  8.                 a) y = x4 – 4x3 – 8x2 + 3, b) y = 3x3 –9x2 + 2, c) y = x3 – 4x2 + 3x + 1;
  9.                 a) y = x5 – x2 + 8, b)  y = x3/3 + 2x2 – 5x + 4, c) y = -5x3 + 6x2 – 3;
  10.             a) y = x3 – 3x2 + 2, b) y = x5 –x3 + x + 2,c) y = 8x3 – 4x2 + 3;
  11.             a) y = x3 – 3x + 2, b) y = 2x3 + 3x2 – 1, c) y = 6x3 – 8x + 21;
  12.             a) y = x (x2 + 3x + 2), b) y = x4/4 –2x29/4, c) y = 2x3 – 4x + 7;

13 a) y = 1/15 x3 9/20 x21/2 x, b) y = x3 –3x2 + 2, c) y = 7x3 – 2x2 + 3x – 1;

14 а) y = x3 – 3x2 + 2, b) y = x5x3 + x + 2, c) y = 8x3 – 4x2 + 3.

 

 

Тема 2.2. ИНТЕГРАЛЫ

 Каждому математическому действию соответствует обратное ему действие. Для дифференцирования существует обратное действие – интегрирование. Нужно разобраться в определении первообразной для функции f(x), понять неоднозначность нахождения первообразной, а затем следует изучить определение неопределенного интеграла, основные свойства неопределенного интеграла.

ПЕРВООБРАЗНАЯ

 Функция F(x) называется первообразной   для функции  f(x) на данном промежутке, если для любого х из этого промежутка,  или, что то же самое,

Пример. Первообразной для функции f(x) = x на всей числовой оси является F(x)= x2/2, поскольку (x2/2) / = x.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПЕРВООБРАЗНЫХ

 Если F(x) – первообразная функции f(x), то и функция F(x) + С, где С – произвольная постоянная, также является первообразной функции f(x).

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

графики первообразных

Графики всех первообразных одной и той же функции f(x будут получаться один из другого параллельным переносом вдоль оси Оу. И таких графиков будет бесконечно много.

 

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Множество всех первообразных  F(x)+c    для функции   f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается 

       Таким образом, =F(x) + С, где С – произвольная постоянная.

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

 

 

ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ

 

ИНТЕГРИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ

 Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно.

 Для нахождения интеграла заменяем переменную x новой переменной u с помощью подстановки . Дифференцируя это равенство, получим . Подставляя в подынтегральное выражение вместо x и dx их значения, выраженные через u  и du, имеем

 Из способов интегрирования рекомендуется изучить лишь непосредственное интегрирование (приведение к одному или нескольким табличным интегралам) и метод подстановки (замена переменной).

 

Примеры:

1.  

2.    Найти     .

 Сделаем подстановку    Найдем  дифференциал обеих частей подстановки:      откуда     Следовательно,

  

3.

Задания практической работы

Вопросы для самоконтроля

1. Какая функция называется первообразной для функции f(x)?

2. Дайте определение неопределенного интеграла.

3. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.

4. Каким действием можно проверить интегрирование?

5. Напишите основные формулы интегрирования (табличные интегралы).

Найдите неопределенные интегралы:

      1)  

6)

2)

7)     

3)

8)

4)

9)

5)

10)

 

 

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] называется предел интегральной суммы при , где :

, где

 

 

СВЯЗЬ МЕЖДУ ОПРЕДЕЛЕННЫМ ИНТЕГРАЛОМ И ПЕРВООБРАЗНОЙ

(ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА)

Для непрерывной функции

C:\Users\User\Desktop\opredelennye_integraly_primery_reshenij_clip_image010.gif

где F(x) - первообразная для f (x)

 

Свойства определенного интеграл

1

C:\Users\User\Desktop\8e5156fd.gif

3

C:\Users\User\Desktop\cd10796a.gif

2

C:\Users\User\Desktop\d2bd2fc3.gif

4

C:\Users\User\Desktop\af8302b9.gif

 

 

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [a;b] функции f(x), осью х и прямыми х = a и х = b

 

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке функции f(x), осью х и прямыми х = a и х = b

 

 

 

Если функция изменяет знак на промежутке [a;b], то S

Определенный интеграл широко применяется для вычисления различных геометрических и физических величин. Следует разобраться в следующих приложениях определенного интеграла:

- вычисление площади плоских фигур (геометрический смысл определенного интеграла);

- нахождение объема тела вращения;

- вычисление пути, пройденного точкой и скорости тела;

- вычисление работы силы.

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

 

При прямолинейном движении перемещение S численно равно площади криволинейной трапеции под графиком зависимости скорости V от времени t^

 

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ

С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

                    

ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ,

ограниченной графиками непрерывных функций у= f1(x) и у = f2(x)  таких, что f2(x) f1(x) для любого , где а и в – абсциссы точек пересечения графиков функций:

C:\Users\User\Desktop\slide-5.jpg

 

ОБЪЕМ ТЕЛА,

полученного в результате вращения вокруг оси х криволинейной трапеции, ограниченной графикам непрерывной и неотрицательной функции у = у(х) на отрезке [a,b]

C:\Users\User\Desktop\slide-5.jpg

 

 

 

Примеры: Вычислить определенные интегралы:

4) C:\Users\User\Desktop\82330ebc.gif

5) http://www.mathprofi.ru/f/opredelennye_integraly_primery_reshenij_clip_image158.gif

 

Задания практической работы

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение определенного интеграла.

2. Перечислите основные свойства определенного интеграла.

3. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

4. Приведите примеры физических и технических задач которые можно решить с помощью определенного интеграла.

Вычислите определенные интегралы:

1)

6)

2)

7)

3) https://studfiles.net/html/2706/977/html_6c1OeYC3ko.6c6T/img-Bx91ai.png

8)

4)

9)

5)

10)

 

Раздел 3. Основные понятия и методы дискретной математики

Элементы теории множеств. Операции над множествами. Комбинаторика. Элементы теории графов.

 Практические работы: Выполнение операции над множествами.

Тема 3.1. Элементы теории множеств

Методические указания

Одним из основных исходных понятий в математике является понятие множества и его элементов. Основатель теории множеств Георг Кантор дал следующее определение множества: множество есть собрание определенных и различных между собой объектов, мыслимых как единое целое.

Множество состоит из элементов. Принадлежность элемента α множеству А обозначается α А; непринадлежность элемента α множеству А обозначается α А или α А.

Множество А называется подмножеством множества В (А В, где знак включения), если всякий элемент А является элементом В.

Множества А и В равны (А = В), если А В и В А.

Если А В и А ≠ В, то А называется строгим или истинным подмножеством В (А В,  знак строгого включения).

В математике рассматривается множество, не имеющее элементов. Такое множество называют пустым и обозначают Ø. При этом Ø А, т.е. пустое множество является подмножеством любого множества А.

Обычно множество задается описанием свойств элементов в него входящих. Так, запись {x│S} читается так: «множество элементов х, обладающих свойством S».

Операции над множествами.

Объединением множеств А и В (А В) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В: А В = {x│x A или x B}.

Пересечением множеств А и В (А В) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и А, и В: А В = {х│х А и х В}.

   Разностью множеств А и В (А \ В) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В: А\В = {x│x A и x B}.

Симметрической разностью множеств А и В (А∆В) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов А и В, которые содержатся только в одном из этих множеств, то есть не содержатся в их пересечении: А∆В = {x│x (A B) \ (A B)}.

Пусть Е — универсальное множество, такое что все рассматриваемые множества являются его подмножествами. Дополнением (до Е) множества ( ) называется множество всех элементов, не принадлежащих А, но принадлежащих Е:   =Е\А

Пример. А и В – числовые промежутки, A = (0,5; 7]; B = [3; 8,7); Е= [0; 10].

 Найти: AB; AB; AB; A\B; B\A; A; ;
Решение. В объединение A B  войдут те и только те числа (точки оси), которые входят хотя бы в один из этих двух промежутков; получаем промежуток числовой оси, где штриховка встречается хотя бы один раз, т. е.  A B   (0,5;8,7).

В пересечение A B  войдут те и только те числа, которые входят в оба промежутка: поэтому выбираем промежуток числовой оси, где штриховка нанесена дважды, т. е. A B  [3;7].

Множество А\В содержит те и только те числа из А, которые не входят в В: поэтому выбираем тот из заштрихованных промежутков первой оси, который не заштрихован на второй, т. е.. A B\ (0,5;3)  . Точка 3 не входит в промежуток, т. к. B3.

Аналогично, В\А = (7; 8,7).

Симметричная разность A B есть объединение А\В и В\А, т.е. A B  (0,5;3) (7; 8,7) Дополнение A , обозначаемое , состоит из тех и только тех точек универсального множества I, которые не входят в A , т. е. [0; 0,5] (7; 10]. Аналогично,  B  [0; 3)   [8,7; 10]

Тема 3.2. Элементы комбинаторики

Методические указания

Пусть имеется множество S = {s1, s2, ..., sn}. Набор элементов si1 , si2 , ..., sik из множества S называется выборкой объема k (k-элементной выборкой) из n элементов.

Выборка называется упорядоченной, если порядок элементов в ней задан. Иначе выборка называется неупорядоченной.

Так же различают выборки с повторениями и без повторений в зависимости от того, допускается или не допускается повторное вхождение в выборку одних и тех же элементов. Пример 1. Пусть S = {1, 2, 3}. Тогда (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3) — все возможные упорядоченные выборки объема два из трех элементов.

Всякий установленный в конечном множестве порядок называется перестановкой его элементов. Число всех перестановок из n элементов обозначается Рn.

Рn = n! =1.2.3.4…(n-1)n

Размещением из n элементов по k называется упорядоченная выборка без повторений объема k из n-элементного множества.

Поскольку элементы нашего множества S пронумерованы некоторым образом, не умаляя общности можно называть размещением из n элементов по k упорядоченный набор из k различных чисел, принадлежащих множеству {1, ..., n}.

Обозначим количество различных размещений из n по k. =

Пример 2. 1) Пусть на экзамене у преподавателя n различных билетов и сдавать пришло k студентов. Тогда существует ровно способов выдать всем студентам по одному билету для подготовки.

2) Пусть S = {1, 2, 3}. Тогда (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2) — все возможные размещения из трех элементов по два.

Сочетанием из n элементов по k называется неупорядоченная выборка без повторений объема k из n-элементного множества.

Как и раньше, можем считать, что сочетанием из n элементов по k называется неупорядоченный набор из k различных чисел, принадлежащих множеству {1, ..., n}. Количество сочетаний из n по k обозначим . =

Пример 3. 1) Предположим из n участников спортивного клуба на соревнования должны поехать какие-то k. Тогда имеется различных возможности собрать команду.

2) Пусть S = {1, 2, 3}. Тогда {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} — все возможные сочетания из трех элементов по два.

Задания практической работы

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое n-факториал?

2. Что называется перестановками? Запишите формулу.

3. Что называется размещением? Запишите формулу.

4. Что называется сочетанием? Запишите формулу.

Выполните упражнения:

1. Пусть Е = {1, 2, 3, 4}, A = {1, 3, 4}, B = {2, 3}, C = {1, 4}. Найти: а) ; б) А ; в) (В\А)

2. Пусть A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3}. Найти: а)А B C; б)А В С; в)A \ (B C); г)(A\B) C; д)(A B)\(A B).

3. Изобразить с помощью диаграмм Эйлера – Венна следующие множества: а) A ; б) B; в) A ; г) B. 

4. Обследование 100 студентов вуза, изучающих различные 12 иностранные языки, дало следующие результаты: 28 человек изучают немецкий язык, 30 человек – английский, 12 человек – французский; немецкий и английский – 8 человек; немецкий и французский – 5 человек; английский и французский – 10 человек; все три языка – 3 человека. Определить, сколько студентов изучает только один иностранный язык (немецкий, английский, французский); не изучает ни одного иностранного языка.

5. А и В - числовые промежутки, I=[0, 10]. Найдите: AB, AB, A\ B,  B\ A,  A B, ,  если: а)  A [2; 7), B (1; 5]; б)  A [1; 5], B (2; 8]; в)  A [3; 9), B (2; 4); г)  A [0; 8], B (3; 9]; д)  A [0; 8], B (3; 9]; е)  A [1; 4], B (2; 6]; ж)A [4; 9], B (3; 5); з)  A (7; 9], B  [3; 8); и)  A [3; 6], B (5; 7).

6. Вычислите: 1) ; 2) ; 3) 6!(7!-3!)

7.Вычислите: 1) ; 2) + ; 3)

8. Решите уравнения: 1) = 42х; 2) =5m(m+1)

 

Раздел 4. Основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики

Тема 4.1 Случайная величина, ее функция распределения

Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайная величина. Закон распределения случайной величины.

Практические работы. Классическое определение вероятностей.

Методические указания

 Прежде чем познакомиться с основными понятиями теории вероятностей следует рассмотреть три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания. Уяснить для себя, чем отличаются перестановки от размещения, перестановки от сочетания, размещения от сочетания.

 По рекомендуемой литературе разобраться в формулах и в решенных комбинаторных задачах. Рассмотрите понятие случайного события и на примерах разберитесь в видах события: невозможные, достоверные, совместные, несовместные, зависимые, независимые.

 После этих понятий следует изучить классическое определение вероятности события, и научиться находить вероятность в простейших задачах, используя классическое определение вероятностей.

  Из операций над событиями необходимо познакомиться лишь с суммой конечного числа событий.

 Изучение теоретического материала следует сопровождать рассмотрением решенных задач по предложенным учебникам, а затем следует ответить на вопросы для самоконтроля.

 Случайное событие, связанное с некоторым опытом, является качественной характеристикой опыта. Количественной же характеристикой результата проведенного опыта является случайная величина.

  Рассматривая примеры, необходимо усвоить понятие случайной величины, виды случайной величины (дискретной и непрерывной) и их определения. Нужно рассмотреть соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Такое соответствие называется законом p определения случайной величины. Закон распределения случайной величины удобно давать в виде таблицы.

Вопросы для самоконтроля

1. Что понимается под случайным событием? Приведите примеры.

2. Какие события называются достоверными? Приведите примеры.

3. Какие события называются невозможными? Приведите примеры.

4. Что понимается под вероятностью события?

5. Дайте классическое определение вероятности события.

6. Какие события называются несовместными, совместными? Приведите примеры.

7. Как формулируется теорема сложения вероятностей?

8. Дайте определение частоты наступления события и объясните от чего она зависит?

9. Какими свойствами обладает вероятность события?

10. Какие события называются независимыми, зависимыми? Приведите примеры.

11. Какая величина называется случайной?

 

 

Тема 4.2 Основные понятия математической статистики

Элементы статистики. Ряд наблюдений. Таблица распределения. Относительная частота появления события.

Практические работы. Построить полигон частот в выборке.

Методические указания

Числовые характеристики выборки.

При проведении статистического исследования после сбора и группировки данных переходят к их анализу, используя для этого различные обобщающие показатели. Простейшими из них являются: среднее арифметическое (среднее выборочное), мода, медиана, размах.

1) Среднее арифметическое(среднее выборочное) имеет двойной смысл: оно может быть средним значением признака в данной совокупности (например, средняя зарплата отдела); это приближенное значение постоянной величины, подвергающейся изменениям (например: рост человека).

Для нахождения среднего значения выборки нужно:

- сложить все результаты, входящие в выборку;

- полученную сумму разделить на количество результатов.

Для нахождения среднего выборочного нужно:

- каждую варианту умножить на её частоту;

- сложить все полученные произведения;

- разделить найденную сумму на объём выборки.

2) Размах выборки – это разность между наибольшей и наименьшей вариантой. .

3) Мода выборки – это наиболее часто встречающаяся варианта ().

Сложность в том, что редкая совокупность имеет единственную моду.

Соглашения по поводу моды:

- Если все значения в группе встречаются одинокого часто, считают, что у данной группы, моды нет.

- Когда два соседних значения имеют одинаковую частоту и эти частоты больше любых других частот в группе, то модой считают среднее от этих двух значений.

- Если два несмежных значения имеют равную и наибольшую в данной группе частоту, то у этой группы есть две моды, такая группа называется бимодальной.

Если распределение имеет несколько мод, то говорят, что оно мультимодально или многомодально. Мультимодальность распределения дает важную информацию о природе исследуемого признака. Например, в социологических опросах, если признак представляет собой предпочтение или отношение к чему-то, то мультимодальность может означать, что существуют несколько определенно различных мнений.

4)Медиана выборки – это серединное значение упорядоченного ряда выборки ().

Если в ряду нечётное число элементов, то медиана равна значению центрального элемента.

Если в ряду чётное число элементов, то медиана равна среднему арифметическому двух центральных значений.

Пример 1

Дан вариационный ряд: 4, 6, 3, 8, 4, 3, 5, 4, 5, 6, 4, 3, 6, 5, 4, 3, 5, 7, 8, 4.

Составим таблицу распределения частот:

3

4

5

6

7

8

4

6

4

3

1

2

Найдем размах, моду и среднее выборочное:

Задания

1) Найти среднее арифметическое, размах ряда чисел:

а) 24, 22, 27, 20, 16, 32

.

б) 35, 5, 23, 5, 28, 30

2) Найти медиану ряда чисел:

а) 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52 – упорядоченный ряд из девяти элементов. .

б) 102, 104, 205, 207, 327, 408, 417 – упорядоченный ряд из семи элементов. .

в) 16, 18, 20, 22, 24, 26 – упорядоченный ряд из шести элементов. .

г) 1,2; 1,4; 2,2; 2,6; 3,2; 3,8; 4,4; 5,6 – упорядоченный ряд из восьми элементов. .

Задания практической работы

1. Проведя учёт числа бракованных деталей в 10 ящиках с одинаковым числом деталей, получили следующий ряд данных: 1, 2, 2, 3, 1, 0, 2, 1, 3, 2.

Составить вариационный ряд, таблицу распределения частот. Найдите для этого ряда объем выборки, среднее арифметическое, размах, медиану и моду. Построить полигон частот в выборке.

2. Отмечая время (с точностью до минуты), которое токари бригады затратили на обработку одной детали, получили такой ряд данных:

30, 32, 32, 38, 36, 31, 32, 38, 35, 36, 32, 40, 42, 36, 33, 35, 32, 32, 40, 38.

Составить вариационный ряд, таблицу распределения частот. Найдите для этого ряда объем выборки, среднее арифметическое, размах, медиану и моду. Построить полигон частот в выборке.

3. В организации вели ежедневный учёт поступивших в течение месяца писем. В результате получили такой ряд данных:

39, 43, 40, 0, 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0, 58, 31, 49, 38, 25, 34, 0, 52, 40, 42, 40, 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 32.

Составить вариационный ряд, таблицу распределения частот. Найдите для этого ряда объем выборки, среднее арифметическое, размах, медиану и моду. Построить полигон частот в выборке.

 

ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ

Необходимым этапом самостоятельной работы для студентов над программным материалом является выполнение практических и контрольной работ.

Практические и контрольная работы – это самостоятельная работа студента с литературой, ответы на поставленные вопросы и выполнение конкретных заданий, они должна показать умения студента кратко и четко отвечать на поставленные в теме вопросы, подбирать и использовать для ответа материал.

Цель работ – привить навыки самостоятельного изучения учебного материала, закрепление знаний по изучаемой дисциплине.

Контрольная работа должна быть выполнена в установленные учебным графиком сроки, по правильному варианту и выполнена в соответствии с требованиями.

Контрольную и практические работы следует выполнять в отдельной тетради. Задания необходимо переписать полностью. Ответы на них должны быть четкими конкретными, содержать необходимые иллюстрации (схемы, графики, таблицы).

По всем неясным вопросам, которые возникают в процессе изучения материала и выполнения практических и контрольной работ, следует обратиться к преподавателю за консультацией.

Вариант контрольной работы определяется по последней цифре номера студенческого билета.

Студенты, не выполнившие практические и контрольную работы или получившие за них отрицательную отметку, к сдаче экзамена не допускаются

 

 

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Вариант 1

1. Вычислите пределы:

а)                         б)

2. Найдите производную функции и вычислите:

а)                               б)

3. Найдите интегралы:

а)

б)

в)

4. В урне 9 белых и 6 черных шаров. Из урны вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

 

Вариант 2

1. Вычислите пределы:

а)                     б)

2. Найдите производную функции и вычислите:

а)                               б)

3. Найдите интегралы:

а)

б)

в)

4. Найдите вероятность того, что при бросании двух игральных костей хотя бы один раз выпадет 6 очков.

 

Вариант 3

1. Вычислите пределы:

а)                     б)

2. Найдите производную функции и вычислите:

а)                               б)

3. Найдите интегралы:

а)

б)

в)

4. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 у4чебников, причем 5 из них в переплете. Берут наудачу 3 учебника. Найдите вероятность того, что, хотя бы 1 из взятых учебников окажется в переплете.

 

Вариант 4

1. Вычислите пределы:

а)             б)

2. Найдите производную функции и вычислите:

а)                              б)

3. Найдите интегралы:

а)                б)           в)

4. На семинар приехали 6 ученых из Норвегии, 5 из России и 9 из Испании. Каждый ученый подготовил один доклад. Порядок докладов определяется случайным образом. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.

 

Вариант 5

1. Вычислите пределы:

а)            б)

2. Найдите производную функции и вычислите:

а)                               б)

3. Найдите интегралы:

а)               б)           в)

4. В партии  из 8 деталей имеется 6 стандартных. Найдите вероятность того, что среди 5 взятых наугад деталей 3 стандартных.

 

Вариант 6

1. Вычислите пределы:

а)            б)

2. Найдите производную функции и вычислите:

а)                               б)

3. Найдите интегралы:

а)               б)           в)

4. В фирме такси в наличии 20 легковых автомобилей: 7 из них черного цвета с желтыми надписями на боках, остальные – желтого цвета с черными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина желтого цвета с черными надписями.

 

 

 

 

 

 

Вариант 7

1. Вычислите пределы:

а)            б)

2. Найдите производную функции и вычислите:

а)                                  б)

3. Найдите интегралы:

а)                б)           в)

4. Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш по 20 рублей, на 10 – по 15 рублей, на 15 – по 10 рублей, на 25 – по рубля и на остальные – ничего. Найдите вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не меньше 10 рублей.

 

 

Вариант 8

1. Вычислите пределы:

а)            б)

2. Найдите производную функции и вычислите:

а)                                  б)

3. Найдите интегралы:

а)               б)           в)

4. Восемь различных книг расставляются наугад на одной полке. Найдите вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.

 

 

 

 

Вариант 9

1. Вычислите пределы:

а)            б)

2. Найдите производную функции и вычислите:

а)                                  б)

3. Найдите интегралы:

а)               б)           в)

4. Бросают одновременно 2 игральные кости. Найдите вероятность следующего события: сумма выпавших очков равна 8.

 

 

Вариант 10

1. Вычислите пределы:

а)            б)

2. Найдите производную функции и вычислите:

а)                                  б)

3. Найдите интегралы:

а)               б)           в)

4. В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем 5 из них стандартные. Рабочий берет наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной              .

 

 

 

 

 

 

ПЕРЕЧЕНЬ РЕКОМЕНДУЕМЫХ УЧЕБНЫХ ИЗДАНИЙ,

ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСОВ, ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основные источники:

  1.         Башмаков М. И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования – М.: Издательский центр «Академия», 2014
  2.         Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профессиональной направленности: учеб. пособие для учреждений сред. проф. образования – М.: Издательский центр «Академия», 2014
  3.         Григорьев В. П. Элементы высшей математики: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования – М.: Издательский центр «Академия», 2014
  4.         Григорьев В. П. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования – М.: Издательский центр «Академия», 2014

Дополнительные источники:

  1.         Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Ткачева М. В. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый уровень. – М.: Просвещение, 2012
  2.         Балдин К. В., Башлыков В. Н., Рукосуер А. В. Высшая математика: учебник. – М.: Флинта: НОУ ВПО «МПСИ», 2010
  3.         Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10-11 кл.- М.: Просвещение, 1992. – 351 с.
  4.         Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. – М.: Высшая школа, 2003. – 495с.
  5.         Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для студентов вузов. - М.:Высшая школа, 1986.
  6.     Красе М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. - М.: Дело, 2001.
  7.     Колесов В. В., Романов М. Н. Элементарное введение в высшую математику. Ростов н/Д: Феникс, 2013
  8.     Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М. Высшая математика для экономистов. – М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2010
  9.     Студенецкая В. Н. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей.7-9 классы. – Волгоград: Учитель, 2005. – 429 с.
  10.     Шипачев В. С. Курс высшей математики: Учебник для вузов. – М.: Издательство Оникс, 2009

Интернет-ресурсы:

15. http://www.alleng.ru/edu/math.htm - ссылка на электронные учебники по математике

16. http://any-book.org/downioad/11058.html#_Toc84479276

 

 

 

 

 

Информация о публикации
Загружено: 16 апреля
Просмотров: 1088
Скачиваний: 35
Шестакова Людмила Степановна
Математика, СУЗ, Разное

Проверьте знания своих учеников интересными заданиями

Красочные наградные дипломы и сертификаты для участников, свидетельства и благодарности каждому учителю, ежемесячный розыгрыш ценных призов!

Скачать материал