[19 мая!] Практическая онлайн-конференция «Компетенции XXI века» Подтвердить участие→
Конкурс разработок «Пять с плюсом» май 2021
Добавляйте свои материалы в библиотеку и получайте ценные подарки
Конкурс проводится с 1 мая по 31 мая

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ по учебной дисциплине ЕН.01 МАТЕМАТИКА

Методические рекомендации по выполнению практических работ по учебной дисциплине ЕН.01 МАТЕМАТИКА для студентов специальности 13.02.07 Электроснабжение (по отраслям) разработаны в соответствии с ФГОС СПО четвертого поколения (утвержденный приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 14.12.2017 № 1216, зарегистрированный Министерством юстиции (рег. № 49403 от 22.12.2017)) и рабочей программой учебного курса.
Просмотр
содержимого документа

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Осинский колледж образования и профессиональных технологий»

Методические рекомендации по выполнению практических работ

ЕН.01 Математика

Шестакова Людмила Степановна

Лист 1 из 52

очная форма обучения

 

 

 

 

 

 

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

по учебной дисциплине ЕН.01 МАТЕМАТИКА

специальность 13.02.07 Электроснабжение (по отраслям)

worry student have a problem with mathematics Фото со стока - 43804233

     Составитель:

      Шестакова Людмила Степановна, 

      преподаватель математики

      ГБПОУ «ОКО и ПТ»

 

 

 

 

 

Оса 2019

Методические рекомендации разработаны в соответствии  с ФГОС СПО четвертого поколения  (утвержденный приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 14.12.2017 № 1216, зарегистрированный Министерством юстиции (рег. № 49403 от 22.12.2017)).

 

 

 

 

 

 

 

Составитель:  Шестакова Людмила Степановна,  преподаватель математики ГБПОУ «ОКО и ПТ»

                      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрено и одобрено на заседании цикловой  методической комиссии

_________________________________________________________________

Протокол  № ____  от «_____» ________________ 20_____ г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

4

Практическая работа № 1 Сложение и вычитание матриц

8

Практическая работа № 2 Умножение матриц на число. Умножение матриц

9

Практическая работа № 3  Вычисление определителей 1-го, 2-го, 3-го порядков

10

Практическая работа № 4 Обратная матрица

12

Практическая работа № 5 Решение систем линейных уравнений с использованием формул Крамера

14

Практическая работа № 6 Выполнение действий над комплексными числами в алгебраической форме

17

Практическая работа № 7 Выполнение действий над комплексными числами в тригонометрической форме

18

Практическая работа № 8 Выполнение операции над множествами

20

Практическая работа № 9 Решение задач по теме «Комбинаторика»

22

Практическая работа № 10  События. Действия над случайными событиями

23

Практическая работа № 11 Ряд наблюдений. Таблица распределения. Относительная частота появления события

25

Практическая работа № 12  Вычисление пределов вида

27

Практическая работа № 13  Вычисление пределов вида

29

Практическая работа № 14  Вычисление предела функции

31

Практическая работа № 15  Производные основных элементарных функций

33

Практическая работа № 16  Нахождение производных функций

34

Практическая работа № 17  Производные показательных функций

35

Практическая работа № 18  Производные логарифмических функций

36

Практическая работа № 19  Производные тригонометрических функций

38

Практическая работа № 20  Нахождение производных функций

39

Практическая работа № 21  Интегрирование методом замены переменной

41

Практическая работа № 22  Интегрирование тригонометрических функции

43

Практическая работа № 23 Нахождение неопределенных интегралов

44

Практическая работа № 24 Вычисление определенного интеграла

46

Практическая работа № 25 Вычисление площади плоской фигуры

48

Практическая работа № 26 Вычисление пути, пройденного точкой

50

СПИСОК  ИСТОЧНИКОВ

52

 

 

 

 

 

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Методические рекомендации по выполнению практических работ по учебной дисциплине ЕН.01 МАТЕМАТИКА для студентов специальности 13.02.07 Электроснабжение (по отраслям) разработаны в соответствии с ФГОС СПО четвертого поколения  (утвержденный приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 14.12.2017 № 1216, зарегистрированный Министерством юстиции (рег. № 49403 от 22.12.2017)) и рабочей программой учебного курса.

В соответствии с ФГОС СПО по дисциплине  ЕН.01 Математика учебным планом предусмотрено 102 часа аудиторных занятий, в том числе 51 час отведено на практические работы. Продолжительность занятия указывается в каждой работе.

Ведущей дидактической целью содержания практических работ является решение задач и выполнение расчетов.

 Приступая к выполнению практической работы, Вы должны внимательно прочитать цель и задачи работы, ознакомиться с требованиями к уровню Вашей подготовки, краткими теоретическими и учебно-методическими материалами по теме практической работы.

 Наличие положительной оценки по практической работе необходимо для получения зачета по дисциплине и допуска к дифференцированному зачету, поэтому в случае отсутствия на уроке по любой причине или получения неудовлетворительной отметки за практическую работу Вы должны найти время для ее выполнения или пересдачи.

Если в процессе подготовки к практической работе или при решении задач у Вас возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо обратиться к преподавателю для получения разъяснений или указаний в дни проведения дополнительных занятий.

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен знать:

З–1 Значение математики в профессиональной деятельности и при освоении ППССЗ;

З-2 Основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

З-3 Основные понятия и методы математического анализа, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;

З-4  Основы интегрального и дифференциального исчисления.

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен уметь:

У-1  Решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности.

Содержание дисциплины ориентировано на подготовку обучающихся овладению профессиональных модулей и овладению обучающимися профессиональными компетенциями (ПК), соответствующими основным видам профессиональной деятельности:

ПК 1.1 Выполнять основные виды работ по проектированию электроснабжения электротехнического и электротехнологического оборудования;

ПК 1.2 Читать и составлять электрические схемы электроснабжения электротехнического и электротехнологического оборудования;

ПК 2.1 Читать и составлять электрические схемы электрических подстанций и сетей;

ПК 2.2 Выполнять основные виды работ по обслуживанию трансформаторов и преобразователей электрической энергии;

ПК 2.3 Выполнять основные виды работ по обслуживанию оборудования распределительных устройств электроустановок, систем релейных защит и автоматизированных систем;

ПК 2.4 Выполнять основные виды работ по обслуживанию воздушных и кабельных линий электроснабжения;

ПК 2.5  Разрабатывать и оформлять технологическую и отчетную документацию.

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование общих компетенций (ОК), включающих в себя способность:

ОК 1 Выбирать способы решения задач профессиональной деятельности применительно к различным контекстам;

ОК 2 Осуществлять поиск, анализ и интерпретацию информации, необходимой для выполнения задач профессиональной деятельности;

ОК 3 Планировать и реализовывать собственное профессиональное и личностное развитие;

ОК 4 Работать в коллективе и команде, эффективно взаимодействовать с коллегами, руководством, клиентами;

ОК 5 Осуществлять устную и письменную коммуникацию на государственном языке Российской Федерации с учетом особенностей социального и культурного контекста;

ОК 6 Проявлять гражданско-патриотическую позицию, демонстрировать осознанное поведение на основе традиционных общечеловеческих ценностей;

ОК 7 Содействовать сохранению окружающей среды, ресурсосбережению, эффективно действовать в чрезвычайных ситуациях;

ОК 8 Использовать средства физической культуры для сохранения и укрепления здоровья в процессе профессиональной деятельности и поддержания необходимого уровня физической подготовленности;

ОК 9 Использовать информационные технологии в профессиональной деятельности.

Каждая практическая работа содержит цель, методическое руководство к выполнению, содержание работы, форму предъявления отчета, критерии оценки.

 

ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

п/п

Наименование

раздела

Название работы

Кол-во

часов

1

Раздел 1.  Линейная алгебра

Практическая работа № 1 Сложение и вычитание матриц

2

2

Раздел 1.  Линейная алгебра

Практическая работа № 2 Умножение матриц на число. Умножение матриц

2

3

Раздел 1.  Линейная алгебра

Практическая работа № 3  Вычисление определителей 1-го, 2-го, 3-го порядков

2

4

Раздел 1.  Линейная алгебра

Практическая работа № 4 Обратная матрица

2

5

Раздел 1.  Линейная алгебра

Практическая работа № 5 Решение систем линейных уравнений с использованием формул Крамера

2

6

Раздел 2.  Комплексные числа

Практическая работа № 6 Выполнение действий над комплексными числами в алгебраической форме

2

7

Раздел 2.  Комплексные числа

Практическая работа № 7 Выполнение действий над комплексными числами в тригонометрической форме

2

8

Раздел 3. Основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики

Практическая работа № 8 Выполнение операции над множествами

2

9

Раздел 3. Основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики

Практическая работа № 9 Решение задач по теме «Комбинаторика»

2

10

Раздел 3. Основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики

Практическая работа № 10 События. Действия над случайными событиями

2

11

Раздел 3. Основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики

Практическая работа № 11 Ряд наблюдений. Таблица распределения. Относительная частота появления события

2

12

Раздел 4.  Основные понятия и методы математического анализа

Практическая работа № 12

Вычисление пределов вида

2

13

Раздел 4.  Основные понятия и методы математического анализа

Практическая работа № 13

Вычисление пределов вида

2

14

Раздел 4.  Основные понятия и методы математического анализа

Практическая работа № 14

Вычисление предела функции

2

15

Раздел 5. Основы дифференциального и интегрального исчисления

Практическая работа № 15

Производные основных элементарных функций

 

2

16

Раздел 5. Основы дифференциального и интегрального исчисления

Практическая работа № 16

Нахождение производных функций

2

17

Раздел 5. Основы дифференциального и интегрального исчисления

Практическая работа № 17

Производные показательных функций

2

18

Раздел 5. Основы дифференциального и интегрального исчисления

Практическая работа № 18

Производные логарифмических функций

2

19

Раздел 5. Основы дифференциального и интегрального исчисления

Практическая работа № 19

Производные тригонометрических функций

2

20

Раздел 5. Основы дифференциального и интегрального исчисления

Практическая работа № 20

Нахождение производных функций

2

21

Раздел 5. Основы дифференциального и интегрального исчисления

Практическая работа № 21

Интегрирование методом замены переменной

2

22

Раздел 5. Основы дифференциального и интегрального исчисления

Практическая работа № 22

Интегрирование тригонометрических функции

2

23

Раздел 5. Основы дифференциального и интегрального исчисления

Практическая работа № 23

Нахождение неопределенных интегралов

2

24

Раздел 5. Основы дифференциального и интегрального исчисления

Практическая работа № 24

Вычисление определенного интеграла

2

25

Раздел 5. Основы дифференциального и интегрального исчисления

Вычисление площади плоской фигуры.

 

2

26

Раздел 5. Основы дифференциального и интегрального исчисления

Вычисление пути, пройденного точкой

1

Итого

51

 


РЕКОМЕНДАЦИИ И ЗАДАНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

Практическая работа № 1

Сложение и вычитание матриц

 

Цель: Закрепить и усовершенствовать практические навыки сложения и вычитания матриц. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Продолжительность занятия: 2 часа

Краткая теория

Пример 1. Найдем сумму матриц А и В

 

 

 

 

Пример 2. Найдем разность матриц А и В

 

 

 

Задание: Найти сумму и разность матриц

Порядок и методика выполнения заданий:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.Оформить задание в тетради.

1) Найдите сумму матриц А и В

 

2) Найдите разность матриц А и В

 

Отчет по практической работе оформляется в тетради для практических работ и содержит название практической работы, выполнение заданий.

Критерии оценивания

Оценка «5» - все задания выполнены верно.

Оценка «4» -все задания выполнены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.

Оценка «3» - все задания выполнены, но допущены существенные ошибки и неточности.

Оценка «2» - все задания выполнены не верно.

 

 

Практическая работа № 2

Умножение матриц на число. Умножение матриц

 

Цель: Закрепить и усовершенствовать практические навыки умножения матриц на число и умножения матриц. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Продолжительность занятия: 2 часа

Краткая теория

Пример 1. Найдем произведение матрицы А на число k

 

 

 

 

Пример 2. Найдем произведение матриц  А·В и В·А

 

 

 

 

Задание: Произведение  матриц на число. Произведение  матриц

Порядок и методика выполнения заданий:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.Оформить задание в тетради.

1) Найти произведение матрицы А на число k

2) Найти произведение матриц А·В и В·A

3) Найти матрицуD, если

 

 

Отчет по практической работе оформляется в тетради для практических работ и содержит название практической работы, выполнение заданий.

Критерии оценивания

Оценка «5» - все задания выполнены верно.

Оценка «4» -все задания выполнены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.

Оценка «3» - все задания выполнены, но допущены существенные ошибки и неточности.

Оценка «2» - все задания выполнены не верно.

 

 

Практическая работа № 3

Вычисление определителей 1-го, 2-го, 3-го порядков

 

Цель: Закрепить и усовершенствовать практические навыки вычисление определителей 1-го, 2-го, 3-го порядков. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Продолжительность занятия: 2 часа

Краткая теория

Определение. Квадратной матрице А порядка п можно сопоставить число detA (или |A|, или ∆), называемое ее определителем, следующим образом:

 

  1. п = 1, А = (а1); detA = a1.
  2. п = 2, ; .
  3. п = 3, ;

Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:

 

Пример. Найти определители матриц и .

Решение:

 

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно записать так:

 

Пример. Вычислить определитель матрицы

Решение:

detА == 5·1·(–3) + (–2)·(–4)·6 + 3·0·1 ‒ 1·1·6 – 3·(‒2)·(‒3) – 5·0·(‒4) =

= ‒15 + 48 – 6 – 18 = 48 – 39 = 9.

Задание: Вычислить определители 1-го, 2-го, 3-го порядков

Порядок и методика выполнения заданий:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.Оформить задание в тетради.

Задание 1 . Вычислить определитель матрицы

 

 

 

 

 

Задание 2 . Вычислить определитель матрицы

  1.    
  1.      
  1.    
  1.           

 

 

Отчет по практической работе оформляется в тетради для практических работ и содержит название практической работы, выполнение заданий.

Критерии оценивания

Оценка «5» - все задания выполнены верно.

Оценка «4» -все задания выполнены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.

Оценка «3» - все задания выполнены, но допущены существенные ошибки и неточности.

Оценка «2» - все задания выполнены не верно.

 

Практическая работа № 4

Обратная матрица

 

Цель: Закрепить и усовершенствовать практические навыки нахождения обратной матрицы. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Продолжительность занятия: 2 часа

Краткая теория

Определение. Матрица А-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие А ·А-1 = А-1 · А = Е, где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица А-1 имеет те же размеры, что и матрица А.

Пример. Найти А-1, если

Решение:

1) Находим det А:

2) Находим А*: А11 = 1, А21 = ‒3, А12 = –(–1) = 1, А22 = 2, поэтому.

3) Находим А-1:

 

Рассмотрим матрицу А размера

Выделим в ней k строк и k столбцов (kmin(т;п)). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. В матрице А пунктиром выделен минор 2-го порядка. (Заметим, что таких миноров можно составить Сkm· Сkmштук, где  Сkn = п! / k!(п – k)!число сочетаний из п элементов поk).

Определение. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается r, r(A)или rang A.

Пример. Найти ранг матрицы:

Решение: Все миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 2-го порядка, отличный от нуля Значит, r(A) = 2. Базисный минор стоит на пересечении 2 и 3 строки с 1 и 3 столбцами.

Задание: Найти обратную матрицу. Найти ранг матрицы

Порядок и методика выполнения заданий:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.Оформить задание в тетради.

Задание. Найти обратную матрицу к А. Найти ранг матрицы А

 

Отчет по практической работе оформляется в тетради для практических работ и содержит название практической работы, выполнение заданий.

Критерии оценивания

Оценка «5» - все задания выполнены верно.

Оценка «4» -все задания выполнены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.

Оценка «3» - все задания выполнены, но допущены существенные ошибки и неточности.

Оценка «2» - все задания выполнены не верно.

 

 

Практическая работа № 5

Решение систем линейных уравнений с использованием формул Крамера

 

Цель: Закрепить и усовершенствовать практические навыки решение систем линейных уравнений с использованием формул Крамера. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Продолжительность занятия: 2 часа

Краткая теория

Правило Крамера

Правило (метод) Крамера применяется к системам, у которых число уравнений равно числу неизвестных. Этот метод использует определители.

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

В которой определитель системы (он составлен из коэффициентов при неизвестных) ∆≠0, а определители получаются из определителя системы ∆ посредством замены свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы ∆≠0, то рассматриваемая система (1) имеет одно и только одно решение, причём

Таким образом, если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Случай 1. Определитель системы не равен нулю: , , тогда система имеет единственное решение.

        Случай 2. Определитель системы равен нулю: (т.е. коэффициенты при неизвестных пропорциональны). Пусть при этом один из определителей не равен нулю (т. е свободные члены не пропорциональны коэффициентам при неизвестных).иили , т.е. . В этом случае система не имеет решений.

Случай 3. (т. е. и коэффициенты и свободные члены пропорциональны ), если одно из уравнений, есть следствие другого; система сводится к одному уравнению с двумя неизвестными и имеет бесчисленное множество решений.

 

Пример. Решить систему уравнений

Решение:

1. Вычислим определитель системы:

Так как определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.

 

2. Составим и вычислим необходимые определители :

3. Находим неизвестные по формулам Крамера:

Ответ:

Задание: Решить систему методом Крамера:

Порядок и методика выполнения заданий:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.Оформить задание в тетради.

 

Отчет по практической работе оформляется в тетради для практических работ и содержит название практической работы, выполнение заданий.

Критерии оценивания

Оценка «5» - все задания выполнены верно.

Оценка «4» -все задания выполнены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.

Оценка «3» - все задания выполнены, но допущены существенные ошибки и неточности.

Оценка «2» - все задания выполнены не верно.

 

Практическая работа № 6

Выполнение действий над комплексными числами в алгебраической форме

 

Цель: Закрепить и усовершенствовать практические навыки выполнения действий над комплексными числами в алгебраической форме. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Продолжительность занятия: 2 часа

Краткая теория

  • Сложение

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.

          http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image062.gif

  • Вычитание

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

            http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image074.gif

  • Умножение

(a+bi)\cdot(c+di)=ac+bci+adi+bdi^2=(ac-bd)+(bc+ad)i.

           http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image094.gif

  • Деление

\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i.

http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image120.gif

Пример . Вычислить 

Пример. Вычислить (2- i)2.

     

Задание: Выполнить действий над комплексными числами в алгебраической форме

Порядок и методика выполнения заданий:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.Оформить задание в тетради.

1 вариант

  1. Выполнить арифметические действия с комплексными числами:

а) Z1= 2 - 5i ,   Z2 = 3 + 4i,

б) Z1= -8 + 2i ,   Z2 = -6 -5i,

(Z1+ Z2 ,   Z1 - Z2,   Z1 Z2,   Z1Z2,   Z12,   Z22 )

  1. Решить уравнение:

а) 5x2 – 2x + 2 = 0

б) х4 – 1 =0

2 вариант

  1. Выполнить арифметические действия с комплексными числами:

а) Z1= 4 - 3i ,   Z2 = 5 + 2i,

б) Z1= -2 - 9i ,   Z2 = 4 -6i,

(Z1+ Z2 ,   Z1 - Z2,   Z1 Z2,   Z1Z2,   Z12,   Z22 )

  1. Решить уравнение:

а) 2x2 + 2x + 5 = 0

б) х6 -1 = 0

Отчет по практической работе оформляется в тетради для практических работ и содержит название практической работы, выполнение заданий.

Критерии оценивания

Оценка «5» - все задания выполнены верно.

Оценка «4» -все задания выполнены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.

Оценка «3» - все задания выполнены, но допущены существенные ошибки и неточности.

Оценка «2» - все задания выполнены не верно.

 

Практическая работа № 7

Выполнение действий над комплексными числами в тригонометрической форме

 

Цель: Закрепить и усовершенствовать практические навыки выполнения действий над комплексными числами в тригонометрической форме. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Продолжительность занятия: 2 часа

Краткая теория

  1.                Умножение

Чтобы умножить комплексные числа, нужно их модули умножить, а аргументы сложить: 

z1 z2 = r1 r2 (cos (+) + i sin(+))

  1.                Деление

Для выполнения деления двух комплексных чисел,  следует их модули разделить, а аргументы вычесть:

= (cos (- ) + i sin(- ))

  1.                Возведение в степень

Данное действие производится по формуле Муавра. Из нее следует, что для возведения  комплексного числа в любую натуральную степень его модуль нужно возвести в эту степень, а аргумент умножить на показатель степени.

= (cos n)

  1.                Извлечение корня

Для извлечения  корня n-ой степени из комплексного числа используется вторая формула Муавра

= = (cos ), где – арифметический корень из модуля комплексного числа, k = 0,1,2….n-1

 

Примеры 1.  Выполнить умножение и деление комплексных чисел:

z1 = 2(cos )    z2 = 2(cos )

z1 z2  = 4(cos)

= (cos)

Примеры 2.  Выполнить возведение в степень комплексное число  z = 2 (cos + i sin)

z20 = (220 (cos + i sin)

Примеры 3.  Выполнить извлечение корня из комплексного числа: z = 1 + i    

Найдём (корень квадратный, значит n = 2).

Модуль = 2,  аргумент  =

= (cos ),  так как n = 2, то k = 0; 1

  при k = 0   получаем      k0 = (cos + i sin)

  при k = 1  получаем    k1 = (cos + i sin) 

Задание: Выполнить действий над комплексными числами в тригонометрической форме

Порядок и методика выполнения заданий:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.Оформить задание в тетради.

1 вариант

1) Представьте комплексные числа    z1 = 4 + 4i;   z2 = - i в тригонометрической форме.

2) Выполнить умножение, деление и возведение в квадрат комплексных чисел в тригонометрической форме.

2 вариант

1) Представьте комплексные числа    ;   z2 = -  в тригонометрической форме.

2) Выполнить умножение, деление и возведение в квадрат комплексных чисел в тригонометрической форме.

Отчет по практической работе оформляется в тетради для практических работ и содержит название практической работы, выполнение заданий.

Критерии оценивания

Оценка «5» - все задания выполнены верно.

Оценка «4» -все задания выполнены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.

Оценка «3» - все задания выполнены, но допущены существенные ошибки и неточности.

Оценка «2» - все задания выполнены не верно.

 

Практическая работа № 8

Выполнение операции над множествами

 

Цель: Уметь выполнять операции над множествами.

Продолжительность занятия: 2 часа

Краткая теория

Одним из основных исходных понятий в математике является понятие множества и его элементов. Основатель теории множеств Георг Кантор дал следующее определение множества: множество есть собрание определенных и различных между собой объектов, мыслимых как единое целое.

Множество состоит из элементов. Принадлежность элемента α множеству А обозначается α А; непринадлежность элемента α множеству А обозначается α А или α А.

Множество А называется подмножеством множества В (А В, где знак включения), если всякий элемент А является элементом В.

Множества А и В равны (А = В), если А В и В А.

Если А В и А ≠ В, то А называется строгим или истинным подмножеством В (А В,  знак строгого включения).

В математике рассматривается множество, не имеющее элементов. Такое множество называют пустым и обозначают Ø. При этом Ø А, т.е. пустое множество является подмножеством любого множества А.

Обычно множество задается описанием свойств элементов в него входящих. Так, запись {x│S} читается так: «множество элементов х, обладающих свойством S».

Операции над множествами.

Объединением множеств А и В (А В) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В: А В = {x│x A или x B}.

Пересечением множеств А и В (А В) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и А, и В: А В = {х│х А и х В}.

   Разностью множеств А и В (А \ В) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В: А\В = {x│x A и x B}.

Симметрической разностью множеств А и В (А∆В) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов А и В, которые содержатся только в одном из этих множеств, то есть не содержатся в их пересечении: А∆В = {x│x (A B) \ (A B)}.

Пусть Е — универсальное множество, такое что все рассматриваемые множества являются его подмножествами. Дополнением (до Е) множества ( ) называется множество всех элементов, не принадлежащих А, но принадлежащих Е:   =Е\А

Образец выполнения задания:

 А и В – числовые промежутки, A = (0,5; 7]; B = [3; 8,7); Е= [0; 10].

 Найти: AB; AB; AB; A\B; B\A; A; ;
Решение. В объединение A B  войдут те и только те числа (точки оси), которые входят хотя бы в один из этих двух промежутков; получаем промежуток числовой оси, где штриховка встречается хотя бы один раз, т. е.  A B   (0,5;8,7).

В пересечение A B  войдут те и только те числа, которые входят в оба промежутка: поэтому выбираем промежуток числовой оси, где штриховка нанесена дважды, т. е. A B  [3;7].

Множество А\В содержит те и только те числа из А, которые не входят в В: поэтому выбираем тот из заштрихованных промежутков первой оси, который не заштрихован на второй, т. е.. A B\ (0,5;3)  . Точка 3 не входит в промежуток, т. к. B3.

Аналогично, В\А = (7; 8,7).

Симметричная разность A B есть объединение А\В и В\А, т.е. A B  (0,5;3) (7; 8,7) Дополнение A , обозначаемое , состоит из тех и только тех точек универсального множества I, которые не входят в A , т. е. [0; 0,5] (7; 10]. Аналогично,  B  [0; 3)   [8,7; 10]

 

Задания: Выполнить упражнения

Порядок и методика выполнения заданий:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2. Оформить выполненные упражнения в тетради.

1. Пусть Е = {1, 2, 3, 4}, A = {1, 3, 4}, B = {2, 3}, C = {1, 4}. Найти: а) ; б) А ; в) (В\А)

2. Пусть A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3}. Найти: а)А B C; б)А В С; в)A \ (B C); г)(A\B) C; д)(A B)\(A B).

3. Изобразить с помощью диаграмм Эйлера – Венна следующие множества: а) A ; б) B; в) A ; г) B. 

4. Обследование 100 студентов вуза, изучающих различные 12 иностранные языки, дало следующие результаты: 28 человек изучают немецкий язык, 30 человек – английский, 12 человек – французский; немецкий и английский – 8 человек; немецкий и французский – 5 человек; английский и французский – 10 человек; все три языка – 3 человека. Определить, сколько студентов изучает только один иностранный язык (немецкий, английский, французский); не изучает ни одного иностранного языка.

5. А и В - числовые промежутки, I=[0, 10]. Найдите: AB, AB, A\ B,  B\ A,  A B, ,  если: а)  A [2; 7), B (1; 5]; б)  A [1; 5], B (2; 8]; в)  A [3; 9), B (2; 4); г)  A [0; 8], B (3; 9]; д)  A [0; 8], B (3; 9]; е)  A [1; 4], B (2; 6]; ж)A [4; 9], B (3; 5); з)  A (7; 9], B  [3; 8); и)  A [3; 6], B (5; 7).

Отчет по практической работе оформляется в тетради для практических работ и содержит название практической работы, выполненные упражнения.

Критерии оценивания

Оценка «5» - все задания выполнены верно.

Оценка «4» -все задания выполнены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.

Оценка «3» - все задания выполнены, но допущены существенные ошибки и неточности.

Оценка «2» - интегралы не вычислены.

 

 

Практическая работа № 9

Решение задач по теме «Комбинаторика»

 

Цель: Уметь применять формулы для подсчета перестановки, размещения, сочетания; решать задачи по Комбинаторике.

Продолжительность занятия: 2 часа

Краткая теория

Комбинаторными задачами называются задачи, в которых необходимо подсчитать, сколькими способами можно сделать тот или иной выбор, выполнить какое-либо условие.

Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется размещением из n элементов по k элементов:

, где n!=1*2*3*…*n

Пример. Группа учащихся изучает 7 учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день недели должно быть 4 различных урока?

Решение. Число способов равно числу размещений из 7 элементов по 4, т.е. равно . Получаем =.

 

Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n элементов:

.

Пример. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются?

Решение. Цифра 5 обязана стоять на последнем месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок из пяти элементов, т.е. 5!=5*4*3*2*1=120.

 

Сочетания. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов:

Пример. Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются между собой один раз?

Решение. Матчей состоится столько, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, состоящего из 16 элементов, т.е. их число равно .

Свойства сочетаний:

                                    

Задания: Выполнить упражнения

Порядок и методика выполнения заданий:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2. Оформить выполненные упражнения в тетради.

Задание 1.  Вычислить:

  1.                ;     2)  ;           3) ;        4)  ;         5) ;

 

   6) ;         7)

 

Задание 2.  Решите задачи:

  1. Хоккейная команда состоит из 3 вратарей, 8 защитников и 12 нападающих. Сколькими способами можно образовать стартовую шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих?
  2. В турнире участвуют 11 команд. Сколько вариантов распределения призовых мест между ними возможно?
  3. Сколько можно провести прямых через шесть точек, если любые три точки не лежат на одной прямой?
  4. Сколько можно составить вариантов расписания занятий на один день, если всего изучается 12 дисциплин, а в расписании на день можно включить только четыре из них?

Отчет по практической работе оформляется в тетради для практических работ и содержит название практической работы, выполненные упражнения.

Критерии оценивания

Оценка «5» - все задания выполнены верно.

Оценка «4» -все задания выполнены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.

Оценка «3» - все задания выполнены, но допущены существенные ошибки и неточности.

Оценка «2» - интегралы не вычислены.

 

 

Практическая работа № 10

События. Действия над случайными событиями

 

Цели: Формировать умение: находить сумму двух событий при решении практических задач; применять понятие вероятности при решении задач.

Продолжительность занятия: 2 часа

Краткая теория

Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В, записываем http://www.matburo.ru/tv/tvbook/par_1_4.files/image002.gif.

События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записываем А = В.

Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Теорема о сложении вероятностей: Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

http://www.matburo.ru/tv/tvbook/par_1_4.files/image004.gif

Если случайные события http://www.matburo.ru/tv/tvbook/par_1_4.files/image008.gif образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство

http://www.matburo.ru/tv/tvbook/par_1_4.files/image010.gif.

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно.

Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Теорема о сложении вероятностей 2:

Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле

http://www.matburo.ru/tv/tvbook/par_1_4.files/image012.gif.

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей: Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

http://www.matburo.ru/tv/tvbook/par_1_4.files/image014.gif.

Образцы выполнения:

Задача 1. Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш по 20000 руб., на 10 - по 15000 руб, на 15 - по 10000 руб., на 25 - по 2000 руб. и на остальные ничего. Найти вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не менее 10000 руб.

Решение. Пусть А, В, и С- события, состоящие в том, что на купленный билет падает выигрыш, равный соответственно 20000, 15000 и 10000 руб. так как события А, В и С несовместны, то

.

Задача 2. На заочное отделение техникума поступают контрольные работы по математике из городов А, В и С. Вероятность поступления контрольной работы из города А равна 0,6, из города В - 0,1. Найти вероятность того, что очередная контрольная работа поступит из города С.

Решение. События «контрольная работа поступила из города А», «контрольная работа поступила из города В» и «контрольная работа поступила из города С» образуют полную систему, поэтому сумма их вероятностей равна единице:

, т.е. .

Задача 3. Вероятность того, что день будет ясным, . Найти вероятность того, что день будет облачным.

Решение. События «день ясный» и «день облачный» противоположные, поэтому

, т.е .

Задание: Решить задачи.

Порядок и методика выполнения заданий:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2. Оформить решение задач в тетради.

Решить задачи:

1. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках; 3) во всех трех справочниках.

2. Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность: а) двойного попадания; б) двойного промаха, в) хотя бы одного попадания; г) одного попадания.

3. В первом ящике 1 белый и 5 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.

4. Вычислить вероятность того, что в семье, где есть один ребенок- мальчик, родится второй мальчик.

5. Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента равна 0,2; вероятность выхода из строя второго элемента равна 0,3. Найти вероятность того, что: а) оба элемента

6. Два несовместных события, образующих полную группу называются…

7. Взятая наудачу деталь может оказаться либо первого (событие А), либо второго (событие В), либо третьего (событие С) сорта. Что представляет собой событие: ?

8. В урне a – белых,  b – черных,   c – красных шаров. Вероятность какого события определяется формулой                            

9. Автомобилист проезжает два поста дорожно-патрульной службы. Вероятность того, что его остановят на первом посту, равна 0,4, на втором – 0,1. Найти вероятность того, что автомобилиста остановят хотя бы на одном посту.

10. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе – 0,9, в третье – 0,8. Найти вероятность того, что, хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

 

Отчет по практической работе оформляется в тетради для практических работ и содержит название практической работы, решение задач.

Критерии оценивания

Оценка «5» - все задачи решены верно.

Оценка «4» -все задачи решены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.

Оценка «3» - все задачи решены, но допущены существенные ошибки и неточности.

Оценка «2» - задачи не решены.

 

 

Практическая  работа № 11

Ряд наблюдений. Таблица распределения. Относительная частота появления события

 

Цели: решение задач на расчет выборок, составления ряда наблюдений, таблицы распределения частот с применением элементов и формул комбинаторики, математической статистики.

Продолжительность занятия: 2 часа

Задание: Решить задачи.

Порядок и методика выполнения заданий:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2. Оформить решение задач в тетради.

1. Участники Интернет-форума указали города, где они проживают. Полу­чился следующий список:

Москва, Смоленск, Москва, Москва, С.-Петербург, Челябинск, Назрань, Москва, Норильск, Уфа, Москва, Волгоград, С.-Петербург, Ногинск, Москва, Москва, Челябинск, Москва, С.-Петербург, С.-Петербург, Москва, Челябинск, Дмитров, Москва, Ижевск, Мурманск, Волгоград, Москва, Ярославль.

Составьте таблицу подсчета и таблицу распределения участников форума по городам.

2.  В сосуд с теплой водой погрузили 10 термометров. Термометры показали следующие результаты:

34,5°; 35,1°; 34,4°; 34,2°; 34,7°; 34,6°; 35,0°; 34,2°; 34,5°; 34,8°.

а) Чем может объясняться изменчивость в показаниях термометров? Назовите хотя бы две возможные причины.

б)  Расположите полученные значения по возрастанию.

в)  Найдите среднее значение температуры и размах полученного набора.

3.  Пользуясь результатами задачи 2, составьте таблицу отклонений показаний термометров от среднего значения. Сколько показаний меньше, чем среднее? Сколько показаний больше, чем среднее?

4.  Пользуясь результатами задачи 2. найдите медиану показаний термометров. Сколько показаний больше и сколько показаний меньше медианы?

5. За практическую работу по физике преподаватель поставил 7 пятерок, 9 четве­рок, 8 троек и 2 двойки. Постройте столбиковую диаграмму по этим данным. Вычислите среднюю оценку.

6. В понедельник и во вторник магазин продал по 5 автомобилей, в сре­ду—6, в четверг —4, в пятницу —8, а в субботу— 12 автомобилей. Вычислите среднее число автомобилей, проданных за день. Постройте по этим данным столбиковую диаграмму «число проданных автомобилей по дням».

7. В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник – и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые может заказать посетитель.

8. В басне Ивана Андреевича Крылова «Квартет»: «проказница Мартышка, Осёл, Козёл да косолапый Мишка» устроили любопытный эксперимент, они исследовали влияние взаимного расположения музыкантов на качество исполнения.

Проказница-Мартышка, Осёл, Козёл, да косолапый Мишка

Затеяли сыграть Квартет.

Достали нот, баса, альта, две скрипки

И сели на лужок под липки — пленять своим искусством свет.

Ударили в смычки, дерут, а толку нет.

«Стой, братцы, стой! — кричит Мартышка. — Погодите!

Как музыке идти? Ведь вы не так сидите.

Ты с басом, Мишенька, садись против альта,

Я, прима, сяду против вторы;

Тогда пойдёт уж музыка не та: у нас запляшут лес и горы!»

Расселись, начали Квартет;

Он всё-таки на лад нейдёт.

«Постойте ж, я сыскал секрет, —

Кричит Осёл: — мы, верно, уж поладим, коль рядом сядем».

Послушались Осла: уселись чинно в ряд;

А всё-таки Квартет нейдёт на лад.

Вот пуще прежнего пошли у них разборы

И споры, кому и как сидеть.

Случилось Соловью на шум их прилететь.

Тут с просьбой все к нему, чтоб их решить сомненье:

«Пожалуй, — говорят: — возьми на час терпенье,

Чтобы Квартет в порядок наш привесть:

И ноты есть у нас, и инструменты есть;

Скажи лишь, как нам сесть!» —

«Чтоб музыкантом быть, так надобно уменье

И уши вашихпонежней, —

Им отвечает Соловей: — А вы, друзья, как ни садитесь,

Всё в музыканты не годитесь».

Мартышка, Осёл, Козёл и Мишка пересаживались, считая, что от этого зависит звучание музыки. И если бы не вмешался Соловей, участники квартета, наверное, перепробовали бы все возможные варианты.

Так сколько же существует способов, чтобы рассадить, например в один ряд, четырех музыкантов?

Отчет по практической работе оформляется в тетради для практических работ и содержит название практической работы, решение задач.

Критерии оценивания

Оценка «5» - все задачи решены верно.

Оценка «4» -все задачи решены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.

Оценка «3» - все задачи решены, но допущены существенные ошибки и неточности.

Оценка «2» - задачи не решены

 

 

Практическая работа № 12

Вычисление пределов вида

 

Цель: Закрепить и усовершенствовать практические приемы вычисления предела функции, раскрытие неопределенностей . Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Продолжительность занятия: 2 часа

Краткая теория

Определение

Конечное число A называется пределом функции f(x) в точке x0, если для любого положительного числа ε можно указать такое положительное δ = δ(ε), что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству 0 < |xx0| < δ, соответствующие значения функции удовлетворяют неравенству |f(x) − A| < ε. Для обозначения такого предела используют символику:
http://festival.1september.ru/articles/560954/img2.gif 

При решении задач полезно помнить следующие основные свойства пределов функций:

  1. Если функция имеет конечный предел, то он единственный.
  2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела
    http://festival.1september.ru/articles/560954/img3.gif 
  3. Предел суммы (или разности) функций равен сумме (или разности) их пределов, если оба предела являются конечными
    http://festival.1september.ru/articles/560954/img4.gif 
  4. Предел произведения функций равен произведению их пределов, если оба предела являются конечными
    http://festival.1september.ru/articles/560954/img5.gif 
  5. Предел отношения функций равен отношению их пределов, если оба предела являются конечными и знаменатель не обращается в нуль
    http://festival.1september.ru/articles/560954/img6.gif 

Вычисление пределов

1. Найти предел функции
http://festival.1september.ru/articles/560954/img7.gif 

Решение:

Имеем неопределенность вида

http://festival.1september.ru/articles/560954/img8.gif

Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель x + 2, который при x → -2 не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.
http://festival.1september.ru/articles/560954/img9.gif
 

 

2. Найти предел функции    http://festival.1september.ru/articles/560954/img26.gif

Решение:

Имеем неопределенность вида

http://festival.1september.ru/articles/560954/img8.gif

Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю, разложим выражение, стоящее в знаменателе, на множители по формуле разности кубов и сократим числитель и знаменатель на общий множитель x - 4, который при x → 4 не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

http://festival.1september.ru/articles/560954/img27.gif

 

Задание: Вычислите предел функции

Порядок и методика выполнения заданий:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.Оформить вычисление пределов функции в тетради.

Вычислите предел функции:

1) 

2)

 

3)

4)

5)

 

6)

7)

 

8)

Отчет по практической работе оформляется в тетради для практических работ и содержит название практической работы, вычисление пределов функции.

Критерии оценивания

Оценка «5» - все задания выполнены верно.

Оценка «4» -все задания выполнены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.

Оценка «3» - все задания выполнены, но допущены существенные ошибки и неточности.

Оценка «2» - все задания выполнены не верно.

 

 

                 Практическая работа № 13

Вычисление пределов вида

Цель: Закрепить и усовершенствовать практические приемы вычисления предела функции, раскрытие неопределенностей . Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Продолжительность занятия: 2 часа

Краткая теория

Определение

Конечное число A называется пределом функции f(x) в точке x0, если для любого положительного числа ε можно указать такое положительное δ = δ(ε), что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству 0 < |xx0| < δ, соответствующие значения функции удовлетворяют неравенству |f(x) − A| < ε. Для обозначения такого предела используют символику:
http://festival.1september.ru/articles/560954/img2.gif 

При решении задач полезно помнить следующие основные свойства пределов функций:

  1. Если функция имеет конечный предел, то он единственный.
  2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела
    http://festival.1september.ru/articles/560954/img3.gif 
  3. Предел суммы (или разности) функций равен сумме (или разности) их пределов, если оба предела являются конечными
    http://festival.1september.ru/articles/560954/img4.gif 
  4. Предел произведения функций равен произведению их пределов, если оба предела являются конечными
    http://festival.1september.ru/articles/560954/img5.gif 
  5. Предел отношения функций равен отношению их пределов, если оба предела являются конечными и знаменатель не обращается в нуль
    http://festival.1september.ru/articles/560954/img6.gif 

Вычисление пределов

1. Найти предел функции
http://festival.1september.ru/articles/560954/img10.gif 

Решение:

Имеем неопределенность вида

http://festival.1september.ru/articles/560954/img11.gif

Для ее раскрытия можно либо разделить числитель и знаменатель на наибольшую степень переменной x и учитывая, что величина обратная бесконечно большой величине есть бесконечно малая величина, раскроем исходную неопределенность, либо вынести переменную в наибольшей степени в числители и знаменатели дроби и сократить на наибольшую степень.
http://festival.1september.ru/articles/560954/img12.gif
или
http://festival.1september.ru/articles/560954/img13.gif 

 

2. Найти предел функции

Решение:

Имеем неопределенность вида

http://festival.1september.ru/articles/560954/img11.gif

Раскрываем ее аналогично тому, как это сделано в примере 1.
 

http://festival.1september.ru/articles/560954/img15.gif

 

Задание: Вычислите предел функции

Порядок и методика выполнения заданий:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.Оформить вычисление пределов функции в тетради.

Вычислите предел функции:

1) ;

2) ;

3)

4) ;

 

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11) ;

12) ;

 

Отчет по практической работе оформляется в тетради для практических работ и содержит название практической работы, вычисление пределов функции.

Критерии оценивания

Оценка «5» - все задания выполнены верно.

Оценка «4» -все задания выполнены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.

Оценка «3» - все задания выполнены, но допущены существенные ошибки и неточности.

Оценка «2» - все задания выполнены не верно.

 

 

Практическая работа № 14

Вычисление предела вида

 

Цель: Закрепить и усовершенствовать практические приемы вычисления предела функции. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Продолжительность занятия: 2 часа

Краткая теория

Основные теоремы о пределах

hello_html_m69189504.gif(1)

hello_html_3d1822d0.gif(1*), то из условий(1) и (1*)  hello_html_41527927.gif

hello_html_m578ab493.gif(2)            lim (xm) = (lim x)m (3)              hello_html_5e43f081.gif (4)

limhello_html_3774dd0f.gif, если limy0hello_html_m53d4ecad.gif(5)                  lim (loga x) = loga (lim x) (6)

Запомните, что lim hello_html_m70c7f62b.gif= 1, при х 0 (Первый замечательный предел)

lim hello_html_7011d746.gifn = e, при n   - число е; е  2,71828 — основание натуральных логарифмов; (логарифм числа х по основанию е называется натуральным логарифмом и обозначается  ln x)

hello_html_40fb3cdd.gif;       hello_html_m7b5339dc.gif ( второй замечательный предел)

Пример 1. Найти lim (x4 – 3x2 + 16x + 1), при х -1

Решение. lim (x4 – 3x2 + 16x + 1) = (lim x4 – lim 3x2 + 16x + 1) = [(lim x)4 - 3(lim x)2 +16lim x +1] = (-1)4 – 3(-1)2 + 16(-1) + 1 = -17 Ответ. - 17.

Примечание. Для нахождения предела целого или дробного рационального алгебраического выражения, если предел знаменателя не равен нулю, надо переменную x заменить ее пределом и произвести указанные в выражении действия. Например,

hello_html_m6a28af0c.gif

Пример 2. Найти hello_html_1180e56.gif

Решение. Применить теорему о пределе дроби (частного) нельзя, т.к. при х0

lim (5х3 -3х2)=0

До перехода к пределу следует упростить данную дробь:

hello_html_59dc0a1e.gif

Предел знаменателя

hello_html_m774b5111.gif      -3  0

Применяя теперь теорему о пределе дроби (частного), получим:

hello_html_4616e0c8.gif

Ответ. -2/3

Пример 3: Найти hello_html_44da35a.gif

Решение. hello_html_5dc9ff36.gifОтвет. 0.

Пример 4. Найти hello_html_m4248cff8.gif

Решение. Числитель и знаменатель дроби превращаются в бесконечность, а их отношение не имеет смысла. Поэтому преобразуем дробь, разделив числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень аргумента, т.е. на х3.

hello_html_m61d22b2b.gif   Ответ. 1/2.

Пример 5. Найти hello_html_4b8d836e.gif

Решение. Применить теорему о пределе дроби нельзя, т.к. предел знаменателя равен нулю.

Перепишем данное выражение так:

hello_html_m1f0c856b.gif, Применяя формулу hello_html_m489ad7d6.gif , получим: hello_html_2d8613d0.gif   Ответ. 4.

Пример 6. Найти hello_html_m202ffdd3.gif

Решение. применить теорему о пределе частного нельзя, т.. при х=5 числитель и знаменатель обращаются в нуль. Перепишем данную дробь в виде

hello_html_29899b8c.gif,

Переходя к пределу, получим:

hello_html_52e32b95.gif

Ответ. hello_html_m706b6e41.gif

Задание: Вычислите предел функции

Порядок и методика выполнения заданий:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.Оформить вычисление пределов функции в тетради.

 

hello_html_69ceb805.gif

Отчет по практической работе оформляется в тетради для практических работ и содержит название практической работы, вычисление пределов функции.

Критерии оценивания

Оценка «5» - все задания выполнены верно.

Оценка «4» -все задания выполнены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.

Оценка «3» - все задания выполнены, но допущены существенные ошибки и неточности.

Оценка «2» - все задания выполнены не верно.

 

 

Практическая работа 15

Производные основных элементарных функций

 

Цель: Закрепить применение правил и формул дифференцирования при нахождении производных элементарных функции.

Продолжительность занятия: 2 часа

Краткая теория

Правила и формулы дифференцирования:

1)

5)  

2)

6) 

3) 

7) 

4) 

 

 

Задание: Найти производные функций

Порядок и методика выполнения заданий:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.Оформить задания в тетради.

Используя правила и формулы дифференцирования, найдите производные функции и укажите номер формулы, которую применяли.

1 вариант

2 вариант

1);

;

6);

;

2)

3) ;

4) -17;

5)13

6)

7)

8)

 

 

Отчет по практической работе оформляется в тетради для практических работ и содержит название практической работы, нахождение производных функций.

Критерии оценивания

Оценка «5» - все задания выполнены верно.

Оценка «4» -все задания выполнены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.

Оценка «3» - все задания выполнены, но допущены существенные ошибки и неточности.

Оценка «2» - все задания выполнены не верно.

 

 

Практическая работа 16

Нахождение производных функций

 

Цель: Закрепить применение правил и формул дифференцирования при нахождении производных функции.

Продолжительность занятия: 2 часа

Краткая теория

Правила и формулы дифференцирования:

1)

5)  

2)

6) 

3) 

7) 

4) 

8) 

 

Задание: Найти производные функций

Порядок и методика выполнения заданий:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.Оформить задания в тетради.

Используя правила и формулы дифференцирования, найдите производные функции и укажите номер формулы, которую применяли.

  1.  (4x-1)2;
  2. (5x+2)-3;
  3. (2x)3;
  4. ;
  5. −5x)4;
  6. ;
  7. ;

 

Отчет по практической работе оформляется в тетради для практических работ и содержит название практической работы, нахождение производных функций.

Критерии оценивания

Оценка «5» - все задания выполнены верно.

Оценка «4» -все задания выполнены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.

Оценка «3» - все задания выполнены, но допущены существенные ошибки и неточности.

Оценка «2» - все задания выполнены не верно.

 

 

Практическая работа 17

Производные показательных функций

 

Цель: Закрепить применение правил и формул дифференцирования при нахождении производных показательных функции.

Продолжительность занятия: 2 часа

Краткая теория

Правила и формулы дифференцирования:

1)

5)  

7) 

13) 

2)

6) 

8) 

10)  

3) 

 

9)  

11) 

4) 

 

 

 

 

Задание: Найти производные функций

Порядок и методика выполнения заданий:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.Оформить задания в тетради.

Используя правила и формулы дифференцирования, найдите производные функции и укажите номер формулы, которую применяли:

1 вариант

2 вариант

1)

1)

2) у =

 

2)    у =

 

3) y = 0,6x

3) y =0,45x

4) y = 5-3x

4)

5) y = 1 - ex

 

5) y =  ex + 5x

 

6) y = x2 . ex

6) y = ex . 2x

7) y = 5x + 7

7) y = 11x

8)   y = 3x . ex

8) y = 3(2x-1)

9) y = 15x

9) y = 5x + ex

 

10)

10) y = x . ex

 

Отчет по практической работе оформляется в тетради для практических работ и содержит название практической работы, нахождение производных функций.

Критерии оценивания

Оценка «5» - все задания выполнены верно.

Оценка «4» -все задания выполнены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.

Оценка «3» - все задания выполнены, но допущены существенные ошибки и неточности.

Оценка «2» - все задания выполнены не верно.

 

 

Практическая работа 18

Производные логарифмических функций

 

Цель: Закрепить применение правил и формул дифференцирования при нахождении производных логарифмических функции.

Продолжительность занятия: 2 часа

Краткая теория

Правила и формулы дифференцирования:

1)

5)  

7) 

13) 

2)

6) 

8)       

14) 

3) 

 

9) 

15) 

4) 

 

10) 

16)

 

 

11) 

17)  

 

 

12)  

18) 

 

Задание: Найти производные функций

Порядок и методика выполнения заданий:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.Оформить задания в тетради.

Используя правила и формулы дифференцирования, найдите производные функции и укажите номер формулы, которую применяли:

1 вариант

2 вариант

1)

1)

 

2)    у =

 

2) у =

 

3) y = 4lg x + 3x

 

3) y = 4х2 -  ln x

 

4) y = lg x . x3

4) y = lg x . 2x3

5)

5)

6) y = ln (x+3)

6) y = lg (2x + 1)

7) y = х2 - 4 lg x

7) y = ln x – 3x2

 

8) y = 4x3 . ln x

8) y = 2x3 . ln x

9)

9)

10) y =  lg 3x

10) y = ln (2x2 -3)

 

Отчет по практической работе оформляется в тетради для практических работ и содержит название практической работы, нахождение производных функций.

Критерии оценивания

Оценка «5» - все задания выполнены верно.

Оценка «4» -все задания выполнены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.

Оценка «3» - все задания выполнены, но допущены существенные ошибки и неточности.

Оценка «2» - все задания выполнены не верно.

 

Практическая работа 19

Производные тригонометрических функций

 

Цель: Закрепить применение правил и формул дифференцирования при нахождении производных тригонометрических функции.

Продолжительность занятия: 2 часа

Краткая теория

Правила и формулы дифференцирования:

1)

5)  

7) 

17) 

2)

6) 

8)       

18) 

3) 

 

9) 

19) 

4) 

 

10) 

20)

 

 

11) 

21)  

 

 

12)  

22) 

 

 

13) (sin x)/ = cos x

23)  (sin u)/ = cos u . u/

 

 

14) (cos x)/ = sin x

24)  (cos u)/ = sin u . u/

 

 

15)

25) 

 

 

16)

26) 

Задание: Найти производные функций

Порядок и методика выполнения заданий:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.Оформить задания в тетради.

Используя правила и формулы дифференцирования, найдите производные функции и укажите номер формулы, которую применяли:

1 вариант

2 вариант

3 вариант

4 вариант

1. у = sin x

2. y =

3. y = ctg x + 5 tg x

4. y = (1 – cos x) sin x

5. y = tg x2

6. у = 2 sin x

7. y = sin (2x2)

8. y = 3tg x – 2 ctg x

9. y = sin x (1 – cos x)

10. y =

 

1. у = cos x

2. y = 4 cos x – tg x

3. y = (1+sin x) tg x

4. y =

5. y = tg

6. у = 3 cos x

7. y = ctg 3x

8. y =

9. y = sin x . cos x

10. y = tg x - x

1. у = tg x

2. y = 5 sin x . 3 cos x

3. y =

4. y = cos (2x+2)

5. y = sin x + tg x

6. у = 4 tg x

7. y = cos (2x + 1)

8. y = 5 sin x + ctg x

9. y = 2 sin x . 2 cos x

10. y =

 

1. у = ctg x

2. y = tg x + 8

3. y =

4. y = cos x3

5. y = x2 . tg x

6. у = 5 ctg x

7. y = ctg 10x

8. y =

9. y = 2 sin x – cos x

10. y = tg x . (ctg x + 3)

 

 

Отчет по практической работе оформляется в тетради для практических работ и содержит название практической работы, нахождение производных функций.

Критерии оценивания

Оценка «5» - все задания выполнены верно.

Оценка «4» -все задания выполнены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.

Оценка «3» - все задания выполнены, но допущены существенные ошибки и неточности.

Оценка «2» - все задания выполнены не верно.

 

 

Практическая работа 20

Нахождение производных функций

 

Цель: Закрепить применение правил и формул дифференцирования при нахождении производных функции.

Продолжительность занятия: 2 часа

Краткая теория

Производной функции  f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю, т.е. .

Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.

Правила дифференцирования

Если у функции u(x) и v(x) существуют производные, то

1. (u+v)′ = u′+v

2. (сu)′ = c u

3. (uv)′ = u′v+uv′

4. (u/v)′=(u′v-v′u)/v² (v)

Производные элементарных функции

Функция

Производная

f(x) = c

= 0, с - const

f(x) =

f(x) =ex

(ex) / = ex

f(x) = ax

(ax) / = ax ln a

f(x) = ln x

(ln x) / =

f(x) = logax

(logax) / =

f(x) = sin x 

(sin x) / = cos x

f(x) = cos x

(cos x) / = - sin x

f(x) = tg x

(tg x) / =

f(x) = ctg x

(ctg x) / = -

f(x) = arcsin x 

(arcsin x) / =  

f(x) = arccos x

(arccos x) / = -

f(x) = arctg x

(arctg x) / =

f(x) = arcctg x

(arcctg x) / = -

 

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Если у = f(g(x))  и существуют производные и  , то  , где индексы g и х указывают, по какому аргументу вычисляются производные.

Примеры: 1. (3х)′ = 3·4х3 = 12х3

                    2.   (5х2+8х-10)'=(5х2)'+(8х)'-10'=5·2х+8-0=10х+8

                    3. ((х2-х)(5х-8))'= (х2-х)'·(5х-8) + (х2-х)·(5х-8)'=(2х-1)(5х-8)+(х2-х)5= 10х2-      21х+8+5х2-5х=   =15х2-26х+8

                   4.

                   5. (sin(2x+1))’=sin’(2x+1) (2x+1)= 2cos(2x+1)

                   6.    (sin x >0)

                  7.

                   8.     (sin x >0)

                   9. (exln x) / = exln x (x ln x) / = exln x (ln x + 1)   (x>0)

                10. )’=2()’=

Задание: Найдите производные функции

Порядок и методика выполнения заданий:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2.Оформить выполненные задания в тетради.

 

  1.                 
  2.                 
  3.                   
  4.                 
  5.                 
  6.                 
  7.                 
  8.                 
  9.                 
  1.                
  2.             
  3.                    
  4.             
  5.             
  6.             
  7.             
  8.             
  9.             

 

Отчет по практической работе оформляется в тетради для практических работ и содержит название практической работы, нахождение производных функции.

Критерии оценивания

Оценка «5» - все задания выполнены верно.

Оценка «4» -все задания выполнены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.

Оценка «3» - все задания выполнены, но допущены существенные ошибки и неточности.

Оценка «2» - все задания выполнены не верно.

 

 

Практическая  работа  № 21

Интегрирование методом замены переменной

 

Цель: Закрепить умения интегрировать функцию методом замены переменной и использование таблицы основных интегралов.

Продолжительность занятия: 2 ч.

Краткая теория

Таблица основных интегралов.

                                    2.

3.                                 4.

5.                                     6.

7.                             8.

9.                                       10.

11.                           12.

13.                         14.

15.                     16.

17.                18.

19.

Метод  замены переменной (метод подстановки)

Вычисление определенного интеграла методом подстановки состоит в следующем:

1) часть подынтегральной функции заменить новой переменной;

2) найти новые пределы определенного интеграла;

3) найти дифференциал от обеих частей замены;

4) все подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл);

5) вычислить полученный определенный интеграл.

    Пример: Найти интеграл:
Введем подстановку 3x + 2 = u. Дифференцируя, имеем 3dx = du, откуда dx = 1/3du. Подставляя в данный интеграл, получаем:
 

Образец выполнения задания:

Найти неопределенный интеграл, пользуясь таблицей основных интегралов.

1)

2)

3)

Задания: Найти неопределенный интеграл

Порядок и методика выполнения заданий:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2. Оформить нахождение неопределенного интеграла в тетради.

 

Вариант №1

Вариант №2

Вариант №3

Вариант №4

ЗАДАНИЕ: Найдите неопределенный интеграл:

 

Отчет по практической работе оформляется в тетради для практических работ и содержит название практической работы,  нахождение неопределенных интегралов.

Критерии оценивания

Оценка «5» - все интегралы найдены верно.

Оценка «4» -все интегралы найдены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.

Оценка «3» - все интегралы найдены, но допущены существенные ошибки и неточности.

Оценка «2» - интегралы не найдены.

 

 

Практическая  работа  № 22

Интегрирование тригонометрических функции

 

Цель: Закрепить умения интегрировать тригонометрические функции методом замены переменной и использование таблицы основных интегралов.

Продолжительность занятия: 2 ч.

Краткая теория

Задания: Найти интегралы

Порядок и методика выполнения заданий:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2. Оформить выполнение заданий в тетради.

Найти неопределенный интеграл, пользуясь таблицей основных интегралов.

1)                        2)                           3)                                                  

4)                           5)                       6)                                                                                                                  

7)                           8)                9)                                  

10)              11)                     12)                                                                                                         

13)                                                                                                                                                                                    

Найти неопределенный интеграл, преобразуя выражение стоящие под знаком интеграла.

14)                                        15)                                                                                          

16)                                     17)                                                                          

18)                                     19)         

20)                                                            

Отчет по практической работе оформляется в тетради для практических работ и содержит название практической работы,  нахождение интегралов.

Критерии оценивания

Оценка «5» - все интегралы найдены верно.

Оценка «4» -все интегралы найдены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.

Оценка «3» - все интегралы найдены, но допущены существенные ошибки и неточности.

Оценка «2» - интегралы не найдены.

 

 

 

Практическая  работа  № 23

Нахождение неопределенных интегралов

 

Цель: Закрепить умения нахождения интегралов различными способами.

Продолжительность занятия: 2 часа

Краткая теория

Неопределенный интеграл

Функция F(x), имеющая данную функцию f(x) своей производной или f(x)dx своим дифференциалом, называется первообразной данной функции f(x). Совокупность всех первообразных функций для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегра­лом и обозначается символом ∫ f(x)dx.

Свойства неопределенного интеграла

∫f(x)dx=F(x)+C

∫[f(x)+φ(x)]dx=∫ f(x)dx+∫φ(x)dx

∫ d(F(x))=F(x)+C

(∫f(x)dx)=f(x)

∫f(x)dx= ∫f(t)dt

d∫f(x)dx=f(x)dx

∫af(x)dx+a∫f(x)dx

 

Основные интегралы

∫dx=x+C

∫xndx=xn+1/ (n+1) +C (n≠-1)

∫dx/x=ln|x|+C

∫axdx=ax/lna +C

∫exdx=ex+C

∫sin x dx=-cos x +C

∫cos xdx=sin x +C

∫dx/cos2x=tgx+C

∫dx/sin2x=-ctgx+C

∫dx/(1-x2)1/2=arcsinx=-arccosx

dx/(1+x2)= arctgx=- arcctgx

 

Пример метод непосредственного интегрирования: Найти у= ∫ (1+ 2x2)dx

Решение: На основании свойства интеграла суммы запишем

у= ∫ (1+ 2x2)dx = ∫ dx+2 ∫ x2dx =x+2x3/3+C

Пример: метод замены переменной ( метод подстановки)

∫tgx dx=∫(sinx/cosx)dx обозначим cosx=t

Продифферинцируем праву и левую часть: -sinxdx=dt найдем dx=dt/(-sinx)

Запишим интеграл через новые переменные

∫(sinx/t) dt/(-sinx) =-∫dt/t= lnt+C или lncosx+C

Задания: Найти интегралы

Порядок и методика выполнения заданий:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2. Оформить выполнение заданий в тетради.

Найти интегралы:

1) https://studfiles.net/html/2706/977/html_6c1OeYC3ko.6c6T/img-8pTCiQ.png

2) https://studfiles.net/html/2706/977/html_6c1OeYC3ko.6c6T/img-BYcu5y.png

3) https://studfiles.net/html/2706/977/html_6c1OeYC3ko.6c6T/img-YODvtt.png

4) https://studfiles.net/html/2706/977/html_6c1OeYC3ko.6c6T/img-lQeivG.png

5) https://studfiles.net/html/2706/977/html_6c1OeYC3ko.6c6T/img-Bbs8_o.png

6) https://studfiles.net/html/2706/977/html_6c1OeYC3ko.6c6T/img-HX4HTG.png

7) https://studfiles.net/html/2706/977/html_6c1OeYC3ko.6c6T/img-NWArth.png

8) https://studfiles.net/html/2706/977/html_6c1OeYC3ko.6c6T/img-clremN.png

9) https://studfiles.net/html/2706/977/html_6c1OeYC3ko.6c6T/img-jrZby0.png

10)

11)

12)

Отчет по практической работе оформляется в тетради для практических работ и содержит название практической работы, выполненные задания

Критерии оценивания

Оценка «5» - все задания выполнены верно.

Оценка «4» -все задания выполнены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.

Оценка «3» - все задания выполнены, но допущены существенные ошибки и неточности.

Оценка «2» - интегралы не вычислены.

Практическая  работа  № 24

Вычисление определенного интеграла

 

Цель: Закрепить умения вычисления определенного интеграла методом замены переменной,  используя таблицу основных интегралов и формулу Ньютона-Лейбница.

Продолжительность занятия: 2 ч.

Краткая теория

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] называется предел интегральной суммы при , где :

, где

Метод  замены переменной

Пусть требуется найти неопределенный интеграл f(x)dx . Сделаем замену в подынтегральном выражении, положив  , где   — монотонная непрерывная функция, которая имеет непрерывную производную. Тогда  . В этом случае имеет следующее равенство:.

Этот способ часто бывает полезным в тех случаях, когда интеграл не может быть непосредственно преобразован к форме табличного интеграла.

СВЯЗЬ МЕЖДУ ОПРЕДЕЛЕННЫМ ИНТЕГРАЛОМ И ПЕРВООБРАЗНОЙ

(ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА)

Для непрерывной функции

C:\Users\User\Desktop\opredelennye_integraly_primery_reshenij_clip_image010.gif

где F(x) - первообразная для f (x)

Свойства определенного интеграл

1

C:\Users\User\Desktop\8e5156fd.gif

3

C:\Users\User\Desktop\cd10796a.gif

2

C:\Users\User\Desktop\d2bd2fc3.gif

4

C:\Users\User\Desktop\af8302b9.gif

 

Образец выполнения задания: Вычислить определенные интегралы:

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.  C:\Users\User\Desktop\82330ebc.gif

Пример 5.  http://www.mathprofi.ru/f/opredelennye_integraly_primery_reshenij_clip_image158.gif

Пример 6. Вычислить интеграл  .

Решение. Введем подстановку  , тогда  ,  . Определим пределы интегрирования для переменной t. При x=0 получаем  , при x=7 получаем  .

Выразив подынтегральное выражение через t и dt и перейдя к новым пределам, получим

Пример 7. Вычислить интеграл  .

Решение. Произведем подстановку  , тогда  ,  . Определим пределы интегрирования для переменной t. При x=1 получаем , при x=2 получаем  .

Выразив подынтегральное выражение через t и dt и перейдя к новым пределам, получим

 .

Задания: Вычислить определенный интеграл

Порядок и методика выполнения заданий:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2. Оформить вычисление определенного интеграла в тетради.

 

1)

6)

2)

7)

3) https://studfiles.net/html/2706/977/html_6c1OeYC3ko.6c6T/img-Bx91ai.png

8)

4)

9)

5)

10)

 

Отчет по практической работе оформляется в тетради для практических работ и содержит название практической работы, вычисление определенного интеграла.

Критерии оценивания

Оценка «5» - все интегралы вычислены верно.

Оценка «4» -все интегралы вычислены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.

Оценка «3» - все интегралы вычислены, но допущены существенные ошибки и неточности.

Оценка «2» - интегралы не вычислены.

 

 

Практическая работа № 25

Вычисление площади плоских фигур

 

Цель: Закрепить навыки  вычисления площади плоских фигур

Продолжительность занятия: 2 часа

Краткая теория

Задача о вычислении площади плоских фигур

Криволинейной трапецией (рис. 1) называют фигуру, которая ограничена:      

              

 

  • сверху - графиком непрерывной функции y=y(x)
  • снизу – осью OX (y=0)
  • слева – прямой x=a
  • справа – прямой x=b

 

 

Утверждение. Геометрический смысл определённого интеграла в том, что его значение равно площади соответствующей криволинейной трапеции:

                                                                                                                             

 Определение. Приращение первообразных функций F(x)+C при переходе аргумента x от значения x=a к значению x=b, равное разности F(b)-F(a), называется определенным интегралом и обозначается символом

Описание: Описание: Описание: http://mathem.h1.ru/images/intg4_0.gif   так, что если Описание: Описание: Описание: http://mathem.h1.ru/images/intg4_1.gif,   то   Описание: Описание: Описание: http://mathem.h1.ru/images/intg4_2.gif

 

данное равенство называется формулой Ньютона - Лейбница.

Пример:  Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = x2 – 2, y = 2x + 1.

Решение:
1. Выполним чертеж: Описание: Описание: Применение общей формулы расчета площади
 

2. Найдем точки пересечения графиков функций, решая уравнение:

  x2 – 2 = 2x + 1.

  x2 – 2x –3 =0

х=-1 и х=3

3. На отрезке Описание: Описание: http://www.mathprofi.ru/f/vychislenie_ploshadi_c_pomoshju_opredelennogo_integrala_clip_image211.gif  Описание: Описание: http://www.mathprofi.ru/f/vychislenie_ploshadi_c_pomoshju_opredelennogo_integrala_clip_image213.gif, по соответствующей формуле вычислим площадь фигуры:

Описание: Описание: http://www.mathprofi.ru/f/vychislenie_ploshadi_c_pomoshju_opredelennogo_integrala_clip_image215.gif

Ответ: Описание: Описание: http://www.mathprofi.ru/f/vychislenie_ploshadi_c_pomoshju_opredelennogo_integrala_clip_image217.gif

 

Задания: Вычислить площади плоских фигур.

Порядок и методика выполнения заданий:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2. Оформить выполнение заданий в тетради.

 

 

 

Задание: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1 вариант

2 вариант

 

Отчет по практической работе оформляется в тетради для практических работ и содержит название практической работы, выполненные задания.

Критерии оценивания

Оценка «5» - все задания выполнены верно.

Оценка «4» -все задания выполнены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.

Оценка «3» - все задания выполнены, но допущены существенные ошибки и неточности.

Оценка «2» - интегралы не вычислены.

 

 

Практическая работа № 26

 Вычисление пути, пройденного точкой

 

Цель: Закрепить навыки  вычисления пути, пройденный точкой.

Продолжительность занятия: 1 часа

Краткая теория

Задача о вычислении пути

Согласно физическому смыслу первой производной, производная функции в точке есть мгновенная скорость точки, т.е. http://festival.1september.ru/articles/641283/Image957.gif. Отсюда, http://festival.1september.ru/articles/641283/Image958.gif. Интегрируя полученное равенство в пределах от t1 до t2 получаемhttp://festival.1september.ru/articles/641283/Image959.gif

 

Тогда путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью http://festival.1september.ru/articles/641283/img1.jpg(е) за отрезок времени [http://festival.1september.ru/articles/641283/Image960.gif]выражается интеграломhttp://festival.1september.ru/articles/641283/img2.jpg

 Пример 1. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой http://festival.1september.ru/articles/641283/img1.jpg = 2t+3t2(м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.

Решение.

http://festival.1september.ru/articles/641283/img3.jpg

 

Пример 2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью vhttp://festival.1september.ru/articles/641283/Image962.gif=(6t2+2t) м/с, второе – со скоростью v2=(4t+5) м/с. На каком расстояния друг от друга они окажутся через 5 с?

Решение. Искомая величина есть разность расстояний, пройденных телами за 5 с.

http://festival.1september.ru/articles/641283/img4.jpg

Таким образом, S=S1-S2= 275-75=200 (м).

Задания: Вычислить путь, пройденный точкой

Порядок и методика выполнения заданий:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2. Оформить выполнение заданий в тетради.

Задачи:

1.Скорость движения точки v = 18t – 3t2 м/с. Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до её остановки.

2.Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью v = 29,4 – 9,8t м/с. Найдите наибольшую высоту подъёма тела.

 

Отчет по практической работе оформляется в тетради для практических работ и содержит название практической работы.

Критерии оценивания

Оценка «5» - все задания выполнены верно.

Оценка «4» -все задания выполнены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.

Оценка «3» - все задания выполнены, но допущены существенные ошибки и неточности.

Оценка «2» - интегралы не вычислены.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ

  1.          Башмаков М. И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования – М.: Издательский центр «Академия», 2014
  2.          Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профессиональной направленности: учеб. пособие для учреждений сред. проф. образования – М.: Издательский центр «Академия», 2014
  3.          Григорьев В. П. Элементы высшей математики: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования – М.: Издательский центр «Академия», 2014
  4.          Григорьев В. П. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования – М.: Издательский центр «Академия», 2014
  5.          Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Ткачева М. В. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый уровень. – М.: Просвещение, 2012
  6.          Балдин К. В., Башлыков В. Н., Рукосуер А. В. Высшая математика: учебник. – М.: Флинта: НОУ ВПО «МПСИ», 2010
  7.          Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10-11 кл.- М.: Просвещение, 1992. – 351 с.
  8.          Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. – М.: Высшая школа, 2003. – 495с.
  9.          Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для студентов вузов. - М.:Высшая школа, 1986.
  10.      Красе М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. - М.: Дело, 2001.
  11.      Колесов В. В., Романов М. Н. Элементарное введение в высшую математику. Ростов н/Д: Феникс, 2013
  12.      Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М. Высшая математика для экономистов. – М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2010
  13.      Студенецкая В. Н. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей.7-9 классы. – Волгоград: Учитель, 2005. – 429 с.
  14.      Шипачев В. С. Курс высшей математики: Учебник для вузов. – М.: Издательство Оникс, 2009

15. http://www.alleng.ru/edu/math.htm - ссылка на электронные учебники по математике

16. http://any-book.org/downioad/11058.html#_Toc84479276

 

 

 

Информация о публикации
Загружено: 16 апреля
Просмотров: 1610
Скачиваний: 58
Шестакова Людмила Степановна
Математика, СУЗ, Разное

Проверьте знания своих учеников интересными заданиями

Красочные наградные дипломы и сертификаты для участников, свидетельства и благодарности каждому учителю, ежемесячный розыгрыш ценных призов!

Скачать материал