Летние международные олимпиады для 1-11 классов Участвовать→
Конкурс разработок «Пять с плюсом» июнь 2021
Добавляйте свои материалы в библиотеку и получайте ценные подарки
Конкурс проводится с 1 июня по 30 июня

Методическая разработка внеклассного мероприятия

Методическая разработка внеклассного мероприятия Математический турнир
Просмотр
содержимого документа

Математический турнир

 

Организационный момент

 

Класс делится на две команды. Они заранее придумывают название команды, девиз, выбирают капитана. В жюри можно пригласить успевающих учеников, учителей, родителей. После каждого тура  жюри зачитывает результат тура и  игры, записывает на табло.

 

Ход игры

Typl

Вопросы задают по очереди обеим командам. Если ответ не­ правильный, может ответить другая команда. Количество баллов - количество верных ответов.

  1. В какой четверти лежит угол а, если выполняется  условие sina > О, cosa < О? (Во ll.)
  2. Определите знак значения функции cos150°. (-)
  3. Вычислите sin7π    . (О)
  4. В какой четверти лежит угол а, если выполняется  условие sina < О, tga > О? III.)
  5. Определите знак значения функции tg 200°. (+)
  6. Может ли быть верным равенство sin2a + cos 2a =½? (Нет.)

 

  1. Что больше cos π  или sin  π (sin π  .)

 2  2

  1. Вычислите sin2a + tg а• ctg а+ cos2a . (2.)
  2. Какие значения может принимать sinx? (От -1 до 1 включи­

тельно.)

  1. Если  tg  а  =    , то можно ли утверждать,  что  sin  а  =  3,  cos а= 5? (Нет.)

 

 

 

 

 

Typll

 

В этом туре нужно вывести тригонометрическую формулу. На доску скотчем прикрепляем листы бумаги (можно вырезать их в форме цветка, животного, рыбы и т. д.), на обратной стороне которых записаны тригонометрические формулы. От каждой команды выходят к доске по одному участнику. Снимают с доски по одному листочку и выводят заданную формулу. Всего в этом туре участвуют 6 человек (по 3 от каждой команды).

 

Typlll

 

Индивидуальное задание.

 

Каждая команда делится на 3 группы. Первая группа получает конверт с названием «Найти», вторая - конверт с названием «Вы­ числить», третья - конверт с названием «Упростить». В каждом конверте лежат листочки с заданием. Каждый ученик берет одно задание, выполняет его и сдает жюри на проверку. Количество бал­ лов - количество верно выполненных заданий.

 

 

 

 

TypIV

Участники команд садятся друг против друга. Каждый ученик задает вопрос на знание тригонометрических формул сидящему напротив. Он же и оценивает ответ словами  «верно»  и  «неверно». За каждый верный ответ начисляется балл. За неправильную оцен­  ку балл снимается, то есть когда ответ был неверным, а спраши­ вающий сказал «верно» или наоборот.

 

Вопросы

Ответы

1. Основное тригонометричес-

sin a + cos a = 1

 

sin =  2sin a·cos а

cos(а+β )= cos a·cos

 

tg( ; + а) = --ctg а

 

 

β- sin a·sinβ

кое тождество

2. Синус двойного угла

3. Косинус суммы

4. Тангенс π 2 плюс а и т. д.


TypV Конкурс капитанов

Карточки с заданиями раскладываются на столе. Капитаны ко- манд выбирают по одной карточке, готовят решение на доске.

З ад ан и я : докажите тождество.

  1. sin2(a + Р) = sin2a + sin2P + 2sin a·sin P·cos(a + Р);
  2. sin а+ 2sin За+ sin = 4sin За·соs 2а;

З. sina + sinЗa + sin5a = tg За; cosa + соsЗа + cos5a

  1. sin2a + соs(3д -  а)соs(д3 + а)=l 4'·
  1. sin6a + cos6a =½ (5 + Зсоs 4а);

 

  1. sin8a + cos8a =


1 (cos24a + 14cos + 17). 32


Доказательство:

  1. (sin(a + р))2 = sin2a + sin2P + 2sina.-sinP·cos(a + Р)

(sina·cosp + sinP·cosa)2 = sin2a + sin 2P + 2sina·sinP·cos(a + Р)

s in2a·cos 2P + 2sina·cosP·sinP·cosa + sin2P·cos2a = sin2a + sin2P +

+ 2sina·sinP(cosa·cosp - sina·sinP)

sin2acos 2P + 2sinacospsinpcosa + sin2pcos2a = sin2a + sin2P +

+ 2sina·sinP·cosa·cosp- 2sin2a·s in2P

sin 2a·cos 2P + sin2P·cos2a = sin2a + sin2P - 2sin2a·sin 2P

sin 2a·( 1 - sin 2P) + sin2P·(1 - si n2a ) = sin2a + sin2P - 2sin2a·sin 2P

sin2a - sin2a·sin 2P + sin2P - sin 2P·sin2a = sin2a + sin2P - 2sin2a·sin 2P sin 2a + sin2P - 2sin2P·sin2a = sin2a + sin 2P - 2sin2a·sin 2P верно.

  1. sina + sin5a + 2sin3a = 4sin3a·cos2a; 2sin3a·cos2a + 2sin3a = 4sin3a·cos2a 2sin3a·(cos2a + 1) = 4sin3a·cos2a 2sin3a · 2cos2a = 2sin3a·cos 2a 4sin3a·cos2a = 4sin3a·cos2a верно.

З.  sina + sin5a + sinЗa tgЗa; cosa + cos5a + соsЗа

2sin3acos2a + sinЗa

-------=tg3а

2cos3acos2a + соsЗа

sinЗa (2cos2a + 1)

          =tg 3

cos3a(2cos2a + 1)

tg За = tg За верно.


21t -2а 21t  +

. 4 sin2a +2.l  . 2cos 3 2 cos 3 2 --4,1 ·

 

s in2a +.l . (cos 21t  + cos2a) =..l 2 3 4'

 

sin 2a +.l.(- .l) + .lcos2a =.l · 2 2 2 4'

sin 2a _.l  + .l cos_2a .l sin2a =.l.

4 2 2 4'

.l sin2a + .l cos_2a .l  =.l  ·

2 2 4 4'

.l_.l=.l· 2 4 4'

¼=¼ верно.

  1. sin6a + cos6a =f (5 + 3cos 4а);

(sin2a)3 + (cos2a)3 =i(5cos22a + 5sin22a + 3cos22a -  3sin22a) (sin2a + cos2a)(sin4a - sin2a·cos2a + cos4a) =.l (8cos22a + 2sin22a)

8

sin4a - sin2a·cos 2a + cos4a = cos22a + .l sin22a

4

sin4a - sin2a·cos 2a + cos4a = (cos2a - sin2a)2 +¼·(2sina·cosa)2

sin4a - sin 2a·cos2a + cos4a = cos4a - 2cos2a·sin2a + sin 4a +

+ sin 2a·cos2a

sin4a -  sin2a·cos2a + cos4a  = cos4a -  cos2a·sin2a + sin4a верно.


  1. sin8a + cos8a = 1

32


(cos 24a + 14cos4a + 17).


(sin 4a - cos4a)2 + 2sin4a·cos4a =


1 ((cos2a + l 4cos4a + 49) - 32)

32


(sin2a - cos2a)2(sin2a + cos2a)2 + sin2a·sin3a·cos3a = 1

32


(cos4a + 7)2 - 1


(sin2a - cos2a)2 + .l sin42a =-1 (2cos22a + 6)2- 1 8 32

cos22a + .l sin42a =.A. (cos22a + 3)2- 1

8 32


cos22a +1 (1 - cos22a)2 =1 (cos22a + 3)2- 1

8 8

cos22a +1 (1 - 2cos22a + cos42a) =1 (cos42a + 6cos22a + 9)- 1

8 8

cos22a +1 - -1cos22a +1 cos42a =1 cos42a + l cos22a +.2. - 1

8    4 8 8 4 8

l +l. cos22a +l cos42a = l cos42a + l cos22a + l верно.

84 8 8 ·4 8

Пока капитаны готовятся у доски, вниманию учащихся предла­ гаются сведения из истории. Следует заранее подготовить  коман­ ды.

Пер в а я к о м ан да . О происхождении единиц измерения углов.

Градусное измерение углов возникло в Древнем Вавилоне за­ долго до новой эры. Жрец_ы считали, что свой дневной путь Солнце

совершает за 180 «шагов», и, значит, один «шаг» равен 1 О раз­ вернутого угла.

Вавилонская система измерения углов оказалась достаточно удобной, и ее сохранили математики Греции и Рима. Слово «гра­ дус» происходит от латинского gradus (шаг, ступень). В переводе с латинского minutus означает «уменьшенный». Наконец, secunda переводится как «вторая». Имеется в виду следующее: деление градуса на 60 частей, то есть минуты, - это первое деление, деле­ ние минуты на 60 секунд - второе деление градуса. Малоупотреби-

тельное название   секунды -  терцина, латинское tercina означает 6

«третье».

Принятая сейчас система обозначения величин углов получила широкое распространение на рубеже XVI и XVII вв.; ею уже поль­ зовались такие известные астрономы, как Н. Коперник и Т. Браге. Но еще К. Птолемей (11 в. н. э.) количество градусов обозначал кружком, число минут - штрихом, а секунд - двумя штрихами.

Другая единица измерения углов - радиан - введена совсем не­ давно. Первое издание (это были экзаменационные билеты), со­ держащее термин «радиан»,  появилось в 1873 r.  в Англии. Сначала  в обозначениях указывалось, что имеется в виду именно радианная

R


мера (например, 1t

2


-  угол в  ; радиан), но вскоре индекс R стали


опускать. Сам термин «радиан» происходит от латинского radius

(спица, луч).

Втор а я к ом ан да. Об истории тригонометрии.

Слово «тригонометрия» впервые встречается (1505 г.) в загла­ вии книги немецкого теолога и математика Питискуса. Происхож­ дение этого слова греческое; переводится как «наука об измерении треугольников».

Длительную историю имеет понятия синуса. Фактически раз­ личные отношения отрезков треугольника и окружности (а по су­ ществу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III в. до н. э. в работах великих математиков Древней Греции - Евклида, Архимеда, Апполлония Пергского. В IV-V вв. появился уже спе­ циальный термин в трудах по астрономии великого индийского ученого Ариабхаты (476- ок. 550), именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ он назвал ардхаджива

(ардха -  половина,  джива -  тетива  лука,

которую  напоминает  хорда).  Позднее при­


--+--------•


вилось более краткое название джива.  При

переводе арабских математических текстов в XII в. это слово бьmо заменено латинским

синус (sinus - изгиб, кривизна).

Слово косинус намного моложе. Коси­ нус - это сокращенное латинское выраже­


ние complementy sinus, то есть «дополнительный синус» (или иначе

«синус дополнительной дуги»; вспомните, cos а= sin(90° - а)).

Длительное время тригонометрия развивалась как часть гео­ метрии. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач оп­ ределения местонахождения судна, предсказания затмений и т. д.).

Принципиальное значение имело составление К. Птолемеем пер­

вой таблицы синусов (долгое время она называлась таблицей хорд): появилось практическое средство решения ряда прикладных задач.

Современный вид тригонометрии придал крупнейший матема­ тик XVIII столетия Леонард Эйлер (1707-1783), швейцарец по про­ исхождению, долгие годы работавший в России и являвшийся чле­ ном Петербургской академии наук. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рас­ сматривать функции произвольного угла, получил формулы приве­ дения. Все это малая доля того, что за долгую жизнь Эйлер успел


сделать в математике: он оставил свыше 800 работ, доказал многие ставшие классическими теоремы, относящиеся к самым разным областям математики.

Итог игры подводит жюри.

Домашнее задание: тренажер 12.

 

 

Информация о публикации
Загружено: 11 февраля
Просмотров: 113
Скачиваний: 3
Грищенкова Юлия Сергеевна
Математика, СУЗ, Мероприятия

Проверьте знания своих учеников интересными заданиями

Красочные наградные дипломы и сертификаты для участников, свидетельства и благодарности каждому учителю, ежемесячный розыгрыш ценных призов!

Скачать материал