[В эфире!] Образовательный спецпроект «Воспитательная работа в школе» Участвовать→
Конкурс разработок «Пять с плюсом» сентябрь 2020
Добавляйте свои материалы в библиотеку и получайте ценные подарки
Конкурс проводится с 1 сентября по 30 сентября

Методическая разработка по теме "Подготовка к ОГЭ: решение линейных и квадратных неравенств"

Материал содержит теорию, примеры решения задач и задачи для самостоятельной работы учащихся
Просмотр
содержимого документа

Решение линейных неравенств и их систем

Свойства числовых неравенств

Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

           х + 2>5

                  - 2                     x > 5 – 2

                                           x >3

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

         6x < 12 | :6>0

          x < 2

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

        -6x > 3|: (-6)<0

          x < - 0,5

 

Числовые промежутки.

вид промежутка

геометрическое изображение

обозначение

запись, с помощью неравенства

 

Интервал

 

 

 

a< x< b

 

Отрезок

 

 

 

a≤ x≤ b

 

Полуинтервал

 

 

 

a< x≤ b

 

Полуинтервал

 

 

 

а≤ x <b

 

Луч

 

 

 

x≥a

 

Луч

 

 

 

x≤b

 

Открытый  луч

 

 

 

x>a

 

Открытый  луч

 

 

 

x<b

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1. Решите неравенство 17- х ≥ 10 – 6х     

                       17 - х ≥ 10 – 6х           

                    - х + 6х ≥ 10 – 17    перенесли слагаемые из одной части  в другую, поменяв их знак

                    5х ≥ - 7                     привели подобные слагаемые

                    5х ≥ - 7  | :5> 0         так как 5 больше нуля знак неравенства сохраняется      

                    х ≥ - 1, 4

                                                                так как неравенство нестрогое, то кружок закрашен

                                       -1,4                                       штрихуем в ту сторону, куда показывает «носик

                                                                                   неравенства (≥)»

Ответ: [ - 1, 4; + ∞)                   Так как неравенство нестрогое, то скобка квадратная.

Пример 2. Решите неравенство 5(х – 1) + 7 ≤ 1 – 3(х + 2)

             5(х – 1) + 7 ≤ 1 – 3(х + 2)    

             5х – 5 + 7 ≤ 1 – 3х – 6         Раскрыли скобки, используя правило раскрытия скобок

             5х + 3х ≤ 5 – 7 + 1 – 6        перенесли слагаемые из одной части  в другую, поменяв их знак

             8х ≤ - 7                                привели подобные слагаемые

            8х ≤ - 7  | :8> 0         так как 8 больше нуля знак неравенства сохраняется                                    

              х ≤ -                     так как -7 на 8 нацело не делится, то  ответ записывается обыкновенной

                                               дробью

                                                                 так как неравенство нестрогое, то кружок закрашен

                                                                 штрихуем в ту сторону, куда показывает «носик

                                      -                        неравенства (≤)»

Ответ: ( - ∞; -  ]              Так как неравенство нестрогое, то скобка квадратная

Пример 3. (2 часть. Задание №21) Решите неравенство:

 

 

            Заметим, что множитель, записанный  в первой скобке,  это число. Значит, обе части неравенства можно на него поделить, а для этого определим его знак.

 

                                                            то есть число, записанное в первой скобке отрицательное.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение систем линейных неравенств

Решить систему неравенств – найти значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы

Пример 4. Решите систему неравенств  

Пронумеруем каждое неравенство системы и решим по отдельности.

    

(1)  2х – 1 > 6                            (2)  5 – 3x > - 13

       2x > 6+1                                 – 3x > - 13 -  5

       2x > 7 | :2>0                           – 3x > - 18 | :( - 3) < 0                          

        x > 3,5                                        x < 6

На одной координатной прямой отметим решения обоих неравенств и выберем их пересечение.

 

Ответ: ( 3,5; 6).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение квадратных неравенств.

Квадратные неравенства – это неравенства вида

ax2+bx+c>0, ax2+bx+c<0, ax2+bx+c≤0,  ax2+bx+c≥0, где а0.

 Нужно выделить ещё неполные квадратные неравенства:

ax2 >0, ax2+bx >0, ax2 +c>0,

ax2 <0, ax2+bx <0, ax2 +c<0,

ax2 ≥0, ax2+bx ≥0, ax2 +c≥0,

ax2 ≤0, ax2+bx ≤0, ax2 +c≤0, где а0.

Решить квадратное неравенство можно методом интервалов:

Рассмотрим алгоритм решения на примере.

Пример 1. Решить неравенство -2х2-5х+3>0

  1. найти корни соответствующего квадратного уравнения

 

−2х2−5х + 3=0

x1,2 =

x1=,  x2= -3;

  1. нанести найденные корни на числовую прямую, учитывая строгое или нестрогое неравенство

 

                                                                            

  1. определить знак в крайнем правом промежутке

х=1  −2∙12 − 5∙1+3=−4<0

можно использовать другое правило: в крайнем правом промежутке поставить знак, по старшему коэффициенту а.

а = -2 <0

 

                                                 

 

 

 

 

  1. расставить знаки в остальных промежутках, используя правило чередования

 

                         +                 

5. выбрать нужный промежуток

 

Ответ: (-3; )

 

 

Пример 2. Решить неравенство х2 – 7х   < 8

 

х2 – 7х   < 8   Приведем неравенство к стандартному виду:

х2 – 7х – 8 < 0

 

       1. х2 – 7х – 8 = 0, а =1, в= –7, с= –8

                x1,2 =

               x1=8,  x2= -1;

       2, 3.  а=1>0 , значит в крайнем правом промежутке знак +

                                                       +   

                                             - 1                8

 

      4.   

                                               +                                +   

                                             - 1                8

                   5. Ответ: ( -1; 8)

 

Пример 3. Решить неравенство х2 – 9≥0

1.    х2 – 9=0

         х2 = 9

         х = -3; 3.

2, 3.

                      а=1>0 , значит в крайнем правом промежутке знак +

                                                       +   

                                             - 3                3

 

             4.

    

                    +                                   +   

                                             - 3                3

             5. Ответ: (-∞; -3] [3; +∞)

 

 

Пример 4. Решить неравенство 4х ≤ -х2        

Приведем неравенство к стандартному виду:

4х ≤ -х2        

х2     +    4х ≤ 0

1. х2     +    4х = 0

      х (х + 4)=0

2,3.  а=1>0 , значит в крайнем правом промежутке знак +

                                                                       +   

                                               0              4

4.

                                         +                                  +   

                                               0              4

 

5. Ответ: [0; 4]

Пример 5. Ука­жи­те не­ра­вен­ство, ко­то­рое не имеет ре­ше­ний

1) х2 – 16≥0  2) х2 – 16≤0    3) х2 + 16≥0    4)  х2 + 16≤0 

Решим каж­дое из не­ра­венств:

1) х2 – 16≥0 

          х2 = 16, х = -4; 4                                                  +                            +   

                                                                                   -4              4

    Ответ: (-∞; -4] [4; +∞)

2) Аналогично решению 1) неравенства

Ответ: [- 4; 4]

Рассмотрим неравенство 3) х2 + 16≤0 . В левой части неравенства записано выражение, которое всегда будет больше нуля (х2 ≥0  и 16 >0, значит всё выражение больше нуля). По условию и требуют чтобы выражение было больше или равно нулю. То есть неравенство 3) выполняется для любого х и имеет бесконечное количество решений.

Рассмотрим неравенство 4) х2 + 16≤0 . В левой части неравенства записано выражение, которое всегда будет больше нуля (х2 ≥0    и 16 >0, значит всё выражение больше нуля). По условию требуют чтобы выражение было меньше или равно нулю, что естественно невозможно. То есть неравенство 4) не имеет решений.          Ответ: 4.

Пример 6. Решить неравенство 4х2 - 4х + 1 0. 
 

Решение.

1.  Из уравнения 4х2 - 4х + 1 = 0 находим  х = 0,5. 

2,3.  Квадратный трехчлен имеет один корень х = 0,5 ;

         это значит, что корень второй  кратности

        Так как квадратное уравнение должно иметь 2  корня, а  получилось одно число,

       значит уравнение имеет два одинаковых корня или как говорят корень второй

       кратности.

В этом случае с обеих сторон от данного числа на координатной прямой сохраняется

знак.

                 

                                                                     +                   +   

                                                                    0,5             

Ответ: 0,5. 

Пример 7. ( 2 часть) При каких значениях параметра р квадратное уравнение

х2 - 5х + р2 = 0: 
а) имеет два различных корня;   б) имеет один корень;  в) не имеет корней?

 

Решение. Число корней квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта D. В данном случае находим D = 25 - 4р2.

а) Квадратное уравнение имеет два различных корня, если D>0, значит, задача сводится к решению неравенства 25 - 4р2 > 0. Умножим обе части этого неравенства на -1 (не забыв изменить при этом знак неравенства). Получим равносильное неравенство 4р2 - 25 < 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Знаки выражения 4(р - 2,5) (р + 2,5) указаны на рисунке

                                             +                            +   

                                           -2,5              2,5

Делаем вывод, что неравенство 4(р - 2,5)(р + 2,5) < 0 выполняется для всех значений р из  интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

б) квадратное уравнение имеет один корень, если D = 0. 
Как мы установили выше, D = 0 при р = 2,5 или р = -2,5.

Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет только один корень.

 

в) Квадратное уравнение не имеет корней, если D < 0. Решим неравенство 25 - 4р2 < 0.

Получаем 4р2 - 25 > 0;  4 (р-2,5)(р + 2,5)>0, откуда (см. рис. 123) р < -2,5; р > 2,5. При этих значениях параметра р данное квадратное уравнение не имеет корней.

Ответ: а) при р 15-06-15.jpg (-2,5, 2,5); б) при р = -2,5; 2,5;   в) при р < - 2,5 или р > 2,5. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задания для самостоятельного решения

Линейные неравенства

Решите неравенство

1

-7x+5>0

2

-7x-3>0

3

-5x+2<-9x

4

-2x-8>6+7x

5

-5x-9\leq 3-3x

6

x-4>-6+7x

7

-3(3+x)\leq-9

8

4(-7x+2)\leq 5x

9

-10-10(-6x+7)<1

10

4(-2x+7)\leq 3+4x

11

-2+6(10x+7)<2

12

7+3(7x-1)>3

13

-10-4(-5x+4)>2

14

2x+2(-1-7x)<-2x-6

 

 Решите неравенство и выберите вариант ответа

Задание

Варианты ответов

15

−3−3x>7x−9.

1) (0,6;+∞) 2) (−∞;1,2)  3) (1,2;+∞)  4) (−∞;0,6)

16

−9−6x>9x+9.

1) (−∞;−1,2)  2) (0;+∞)  3) (−1,2;+∞)  4) (−∞;0)

17

2x−4>7x−1.

1) (−∞;−0,6)  2) (1;+∞)  3) (−∞;1)  4) (−0,6;+∞)

18

2x−3(x−7)≤3.

1) (−∞;−24]  2) (−∞;18]  3) [18;+∞)  4) [−24;+∞)

19

x −1≤3x+2

20

4−5(5x−2)>−8

 

 21.При каких значениях x значение выражения 5x+2 меньше значения выражения 4x+8?

1) x>10  2) x>6  3) x<10  4) x<6

22.При каких значениях a выражение 4a+9 принимает отрицательные значения? 1) a<−94  2) a<−49  3) a>−49  4) a>−94

 

 


 


Квадратные неравенства

Решить неравенство:

1.  - 2х2 + Зх + 9 < 0

2. Зх2 - 10х + 3 < 0. 

3. 3 х + 9< 2х2

 

4. 12 > 2x2 + 5x

5. (x – 3)(x +4) > 0

6. 25 – x2 > 0

 

7. 2x2 – x > 0

 

 

8. На каком из рисунков изображено решение неравенства 25 x2>49? 

             https://img-fotki.yandex.ru/get/6801/136164467.12/0_11b4c2_45de2a6b_orig.pnghttps://img-fotki.yandex.ru/get/6801/136164467.12/0_11b4c2_45de2a6b_orig.png

                                                                                   -1,4

9. Решите неравенство x2−64>0.  

1) (−∞;+∞) 2) (−8;8) 3) (−∞;−8)(8;+∞) 4) нет решений

10. Решите неравенство x2−36>0. 

1) (−∞;+∞) 2) (−∞;−6)(6;+∞) 3) (−6;6) 4) нет решений

11.  Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?

      https://img-fotki.yandex.ru/get/9113/136164467.12/0_11b4bf_505c3a46_orig.png        

1) x2+25≤0 2) x2+25≥0 3) x2−25≤0 4) x2−25≥0

12. На каком из рисунков изображено решение неравенства 4x− x2≤0?

             https://img-fotki.yandex.ru/get/5414/136164467.12/0_11b4c1_b1a4494c_orig.pnghttps://img-fotki.yandex.ru/get/5414/136164467.12/0_11b4c1_b1a4494c_orig.png

13. На каком рисунке изображено множество решений неравенства x2+9x+20<0? 

           https://img-fotki.yandex.ru/get/4703/136164467.12/0_11b4c0_c3bdb214_orig.pnghttps://img-fotki.yandex.ru/get/4703/136164467.12/0_11b4c0_c3bdb214_orig.png

14. Укажите неравенство, которое не имеет решений.

  1) x2+6x+12>0  2) x2+6x+12<0  3) x2+6x−12<0  4) x2+6x−12>0

15. Укажите неравенство, решением которого является любое число.

 1) x2−92≥0  2) x2−92≤0  3) x2+92≤0 4) x2+92≥0

16. Найти все значения р, для которых  неравенство    

   выполняется при всех х.

17. При каких значениях а неравенство х2+(2а+4)х+8а+1http://diffur.kemsu.ru/1/practicum/kvad_ner(prac)%20.files/image065.gif0  выполняется при всех значениях  х?

18. Найдите наибольшее значение параметра а, при котором неравенство    верно для любого действительного х:

а) 3х2 – 18 х  ≥а;         б) 2х2 + 4х – 4   а;   в)(1 – а) х2  х + а   0

 

 

Информация о публикации
Загружено: 30 мая
Просмотров: 220
Скачиваний: 6
Лукьянова Татьяна Алексеевна
Алгебра, 9 класс, Экзамены ЕГЭ, ОГЭ
Скачать материал