Образовательный спецпроект «Дистант 2020»: «10 секретов успешного проведения онлайн-урока» Подтвердить участие→
Конкурс разработок «Пять с плюсом» октябрь 2020
Добавляйте свои материалы в библиотеку и получайте ценные подарки
Конкурс проводится с 1 октября по 31 октября

Методическая разработка "Формирование системы знаний при изучении темы «Тригонометрические уравнения»

Методическая разработка "Формирование системы знаний при изучении темы«Тригонометрические уравнения» - описание примера проведения системы уроков по формированию ЗУН по теме "Тригонометрические уравнения" для студентов педагогического колледжа.
Просмотр
содержимого документа

 

Баталова Наталья Владимировна,

преподаватель математики

ГБПОУ АО «Каргопольский педагогический колледж»,

г. Каргополь Архангельской области

 

Методическая разработка

 

Формирование системы знаний при изучении темы

«Тригонометрические уравнения»

 

I этап.  Получение новых знаний и способов действия

 

Примечание: Обратные тригонометрические функции изучены ранее:

 

Обратные тригонометрические функции

Теорема о корне

Пусть функция монотонна (возрастает или убывает) на промежутке I, число a – любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение имеет единственный корень b  в промежутке I.

                  у

                                                    y=f(x)

 

 

                а

 

 

 

 

 

 

 

 

                0                                  b                          x

 

Доказательство: Докажем единственность корня уравнения .

Пусть существует с – еще один корень уравнения .

Т.е. . 

, либо .

Т.к. монотонна, то , либо , что противоречит предположению.

Следовательно, b - единственный корень.

 y

                                y=f(x)

              a

 

 

 

 

              0      

 

                           b                       c                                 x

 

Функция возрастает на отрезке и принимает все значения от -1 до 1. Следовательно, по теореме о корне, для любого числа a, такого, что , в промежутке существует единственный корень b уравнения . Это число b называют арксинусом числа a и обозначают .

Арксинусом числа a называется число  из отрезка , синус которого равен a.

Функция на отрезке имеет обратную функцию, которая называется арксинусом и обозначается  .

Функция обладает следующими свойствами:

1)

2)

3) ,  где

4)

 

Функция убывает на отрезке и принимает все значения от -1 до 1. Поэтому для любого числа a, такого, что , на отрезке существует единственный корень b уравнения . Это число b называют арккосинусом числа a и обозначают .

Арккосинусом числа a называется такое число  из отрезка , косинус которого равен a.

Функция на отрезке имеет обратную функцию, которая называется арккосинусом и обозначается  .

Функция обладает следующими свойствами:

1)

2)

3) , где

4)

На интервале функция возрастает и принимает все значения из R. Тогда, по теореме о корне, для любого числа a  из интервала существует единственный корень b уравнения . Это число b называют арктангенсом числа a и обозначают .

Арктангенсом числа a называется такое число  из интервала , тангенс которого равен a.

Функция на промежутке имеет обратную функцию, которая называется арктангенсом и обозначается  .

Функция обладает следующими свойствами:

1)

2)

3) ,  где

4)

 

Функция котангенс на интервале убывает и принимает все значения R. Следовательно, по теореме о корне, для любого числа a  из интервала существует единственный корень b уравнения . Это число b называют арккотангенсом числа a и обозначают .

Арккотангенсом числа a называется такое число  из интервала , котангенс которого равен a.

Функция на промежутке имеет обратную функцию, которая называется арккотангенсом и обозначается  .

Функция обладает следующими свойствами:

1)

2)

3) ,  где

4)

 

Изучение новой темы (уроки 1-6)

 

Урок 1.  Простейшие тригонометрические уравнения

 

1.  Актуализация опорных знаний

 

1.1. Что называется уравнением?  Корнем уравнения?

1.2. Что значит решить уравнения?

1.3. Какие уравнения называются равносильными?

1.4. Сформулируйте свойства, которые не нарушают равносильности уравнений.

1.5. Какие методы решения уравнений вы знаете?

 

2. Мотивация к изучению темы.

 

Тригонометрическими называются уравнения, которые содержат переменную под знаком тригонометрической функции.

Методы решения тригонометрических уравнений разрабатывались  математиками уже многие годы. Ими выделены различные классы уравнений, для которых известны алгоритмы решения. Рассмотрим некоторые из них.

 

С помощью обратных тригонометрических функций можно решать простейшие тригонометрические уравнения:

Простейшими называются уравнения sinx=a,cosx=a,tgx=a,ctgx=a, где x — угол, который нужно найти, a — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

 

 

  любое число;

  любое число;

 

1. Уравнение sinx=a

При |a|>1| не имеет решений.

При |a|≤1| имеет бесконечное число решений.

Формула корней: x=(−1)narcsina+πn,nZx=(-1)narcsina+πn,nZ

 

Уравнение

не имеет решений при , так как для любого х.

При на отрезке уравнение (3) имеет в точности одно решение . На промежутке функция убывает и принимает все значения от -1 до 1. По теореме о корне уравнение  имеет и на этом отрезке один корень. Из рисунка видно, что этот корень есть число , равное . Действительно, . Кроме того, поскольку , имеем и , т.е. число принадлежит отрезку .

Итак, уравнение (3) на отрезке имеет два решения: и (совпадающие при ). Учитывая, что период синуса равен , получаем такие формулы для записи всех решений уравнения:

(4)

(5)

Удобно решения уравнения (3) записывать не двумя, а одной формулой:

(6).

Нетрудно убедиться, что при четных из формулы (6) находим все решения, записанные формулой (4); при нечетных – решения, записываемые формулой (5).

Если а=1, то числа и совпадают, поэтому решение уравнения принято записывать так: .

При а=-1 и а=0  принята следующая запись решений:

при

при .

 

 

Таблица арксинусов

Таблица арксинусов

2. Уравнение cos x=a

При |a|>1| — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При |a|≤1|имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: x=±arccosa+2πn,nZ

 

Очевидно, что если , то уравнение

не имеет решений, поскольку для любого х.

Пусть . Надо найти все такие числа х, что . На отрезке существует в точности одно решение уравнени (1) – это число .

Косинус – четная функция, и, значит, на отрезке уравнение (1) также имеет в точности одно решение – число -. Итак, уравнение на отрезке длиной 2 имеет два решения: (совпадающие при а=1).

Вследствие периодичности функции все остальные решения отличаются от этих на , т.е. формула корней уравнения (1) такова:

  (2)

(Обратите внимание: этой формулой можно пользоваться только при ).

При а=1 числа и - совпадают (они равны нулю), поэтому решение уравнения принято записывать в виде .

Особая форма записи решений уравнения (1) принята также для а=-1 и а=0:

при

при .

 

 

 

Таблица арккосинусов

Таблица арккосинусов

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

частные случаи

 

3. Уравнение tg x =a

 

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях a.

Формула корней: x=arctga+πn,nZ

При любом на интервале имеется ровно одно такое число х, что , - это . 

Поэтому уравнение

имеет на интервале длиной единственный корень.

Функция тангенс имеет период .

Следовательно, остальные корни уравнения (7) отличаются от найденного на , т.е.

 

 

Таблица арктангенсов

Таблица арктангенсов

4. Уравнение ctg x =a

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях aa.

Формула корней: x=artga+πn,nZx=artga+πn,nZ

 

При любом на интервале имеется ровно одно такое число х, что , - это . 

Поэтому уравнение

имеет на интервале длиной единственный корень.

Функция котангенс имеет период .

Следовательно, остальные корни уравнения (9) отличаются от найденного на , т.е.

Таблица арккотангенсов

Таблица арккотангенсов

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:

формулы корней для синуса

Для косинуса:

 формулы корней для косинуса

Для тангенса и котангенса:

формулы корней для тангенса, котангенса

Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

обратные функции

 

2 урок. Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратному.

Демонстрация взаимосвязи новых знаний с полученными ранее

 

Рассматриваются уравнения вида:

  a sin2 x + b sin x + c = 0;

           a cos2 x + b cos x + c = 0;    где a, b, c – некоторые числа

           a tg2 x + b tg x + c = 0;

           a ctg2 x + b ctg x + c = 0

Это тригонометрические уравнения, которые после замены тригонометрической функции, которая входит в уравнение, становится квадратным.

 

Как можно решить эти уравнения? (Обучающиеся видят, что уравнения имеют вид квадратного уравнения и предлагают способы решения квадратных уравнений: через дискриминант, с использованием теоремы Виета, разложением на множители, предварительно сделав замену переменной)

 

3 урок. Однородные тригонометрические уравнения

 

 Уравнение вида: ax + by = 0, ax2 + b x y + cy2 = 0, ax3 + b x2 y + c x y2 + ay3 = 0 – однородные уравнения 1, 2, 3 степени соответственно относительно x, y. Вместо  x, y могут стоять выражения sin x, cos x.

 

4 урок. Тригонометрическое уравнение вида  a sin x + b cos x = c, где c≠0.

 

 Такие уравнения решаются методом введения дополнительного угла:

\[\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\cos \phi ,   \frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\sin \phi ,   \frac{b}{a}=\text{tg}\phi \]           sin x + cos x = sin (x + , где

 sin (x + )=,     ;  .

 

 

5 урок. Тригонометрические уравнения, решаемые путём преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение

Метод

   Показ на примере №174

 

  а) cos 5xcos3x = 0

     

 

-2sin 4x    sinx = 0

sin 4x = 0          или      sinx=0

4x = πn                          x=πn  

n                           nͼZ

 

         , nͼZ

   

        Ответ: n,   nͼZ

 

 

II. Рефлексия (осмысление)

 

1 урок. Решение уравнений в сопровождении объяснений учителя.

(Каждый раз анализируется уравнение и доказывается его принадлежность к конкретному классу уравнений)

 

№164(а,б), №165 (а,б), №166(а,б), №167(а,б), 168 (а,б)

 

№164(а)  2sin2x + sinx – 1 = 0

                 sinx = t, где  tͼ[-1;1]

                  2t2 +  t – 1 = 0

                   Д = 9

                 T1 = -1, t2 = 0,5

      sinx = -1                    или   sinx = 0,5

             

         nͼZ

 

Ответ:  ,  n ͼ Z;

 

167(а)

3tg2x + 2tgx – 1 = 0,    
Пусть tg x = t, тогда

3t2 + 2t – 1 = 0

t1=1/3, t2= -1

tg x = 1/3                                   или       tg x = -1

x = arctg 1/3 + πn,  nͼZ                          ,  kͼZ

Ответ: x = arctg 1/3 + πn, nͼZ;            , kͼZ

 


 

 

 

 б) tgx – 2ctgx + 1 = 0           , nͼZ

     tgx=t,  тогда   ctgx = 1/t

    t≠0, т.к. ,  nͼZ

     t2 + t – 2 = 0

     Д = 9

     t1= -2      или   tgx = 1

     x = -arctg2 + πn,                                

 

 

2 урок. Аналогичная работа проводится и на 2 уроке на данном этапе.

Организуется решение однородных уравнений с доказательствами принадлежности уравнения к данному классу.

 

1.    - однородное уравнение I  степени относительно sin x, cos x

 

,    cos x ≠ 0 (противное привлекает, к противоположному  sin2 x + cos2 x=1)

 

       

,  nͼZ

 

2. 3 sin2x + sinx cosx – 2cos2x = 0 – однородное уравнение II степени относительно sin x, cos x.

 

,  cos2x ≠ 0.

 

3tg2x + tg x – 2 = 0

          tg x = t

3t2 + t – 2 = 0

Д = 1 +24 = 25

 

; t2 = -1

 

             или     tgx = -1

 

                 

 

№169(б), №170 (а,г), №172 (а,б)

 

3 урок. Аналогичная работа по решению уравнений

 

1)  1sin x – cos x = 4,   a = 4, b = -1, c = 4

      

 

      

 

 

 

 

         

       

   №172, №173

 

  4 урок   1) sin5x – sinx = 0

                2) sin7x  – sinx = cos4x

                3) cos7x  +  cosx = 4cos2x

                4) cos6x  +  cos2x = 0

 

III этап.  Этап применения знаний

 

1 урок

Учитель предлагает дополнительный материал по решению уравнений. Но по виду уравнения сразу нельзя определить, является ли оно приводимым к квадратному.

  1.                     4sin2 x cos2x – 6 sinx cosx + 2 = 0

Решение разными способами.

 

1 способ  sinx cosx = t                                          2 способ 2sinx  cosx = sin2x, sin2x=t, /t/≤1

                4t2 – 6t + 2 = 0                                                         sin2 2x – 3sin2x+2=0,

                2t2 – 3t +1 = 0                                                          t2 – 3t + 2 = 0

                Д = 9 – 8 = 1                                                            Д = 1

                                                                                     t1 = 1, t2 = 2 не удовл. усл.  /t/≤1

                 t1 = 1; t2 = 0,5                                                          sin2x = 1

                 sinx cosx = 1   sinx cosx = 0,5                              

                                           sin2x = 1                                       

                                         

φ

 

 

  1.                                                                         (sin x – 2)2 + 2(sin x – 2) – 3 = 0

sinx – 2 = t

t2 – 2t – 3 = 0

t1 = -3,   t2 = 1

sin x2= -3       или sin x – 2 = 1

sin x = -1              sin x = 3

                              φ,

 

Ответ: -

 

 

 

 

  1.                                                                           

     

 

сos 2x – cos 4x = 1

сos 2x – 2cos22x = 0

сos 2x(1 – 2 cos2x) = 0

cos 2x = 0                          или                   cos 2x = 0,5

                                                

 

                                                 

 

3 урок. Аналогичная работа

  1.                     3sin2x + 2sinx cosx = 0          (c = 0)

sinx(3sinx + 2cosx) = 0

 

sinx = 0                         или      3sinx + 2cosx = 0, cosx≠0

x = πn, nͼZ                                3tgx + 2 = 0

                                                  

 

  1.                     2sin2x – 7 cos2x = 0,    cos2x≠0   (b = a)

2tg2x = 7

 

 

  1.                     2sinx + 3cosx = 5

1 способ      ,  но      

 

       Уравнение не имеет корней

2 способ  

 

 

 


 

= 0

Д = 4 - 16 < 0

Уравнение корней не имеет

4)

cos2x - sin2x = 0,

1- tg2x = 0

tg2x = 1

2x=

x =

5)    

2sin2x + 3sinxcosx - 8sinxcosx - cos2x = 0

2sin2x + 5sinxcosx - 8sinxcosx + 4cos2x = 0,

2tg2x – 5tgx + 4 = 0

Д= 25 – 32 < 0, корней нет.

4 урок

На данном этапе (применения знаний) на этом уроке рассматриваются 3 способа решения уравнения.

sinx+cosx=

I способ

Приведем данное уравнение к однородному уравнению 2-ой степени.

2sincos + cos2 – sin2 - sin2 - cos2= 0

(1-) sin2 – 2sincos +-1) cos2 = 0 –

Однородное уравнение II степени относительно cos, sin .

Разделим обе части уравнения на cos2

 

 

 

     

Пусть

              ,  тогда

           Д = 4 – (2 – 1) ∙ 4 = 0

 

 

 

2 способ (Использование универсальной подстановки)

 

 

 

 

 

Но иногда числа такого вида могут быть корнями данного уравнения

 

 
 

 

 

 

 

3 способ (на примере теоремы) Введение вспомогательного угла

 

 

 

5 урок.

 1)

         

          0,5sin  2x = -1             или         sinx – (1 + cosx)=0

               sin 2x = - 2                         

                                                         

                                                             

 

                                                             

 

                                                            

 

2)

    

    

 

 

4 этап. Углубление и систематизация знаний

 

Проводится 6 урок по всей теме, обобщающий.

Тот дополнительный материал, который предлагался на каждом уроке выполнялся учащимися частично или его успевали выполнять только сильные учащиеся. Учитель это отмечал, ставил отметки тем, кто хорошо справлялся. А остальные уравнения рассматривались на этом уроке, на 6-ом. Еще раз проходили по алгоритму решения всех типов уравнений.

Сильным обучающимся можно дополнительно предложить рассмотреть дробно-рациональные тригонометрические уравнения

 

Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.

Cos x  \ (sin x -1) = 0

 

Решение

Это уравнение содержит дробь, в числителе и знаменателе которой присутствуют тригонометрические функции, поэтому это дробно-рациональное тригонометрическое уравнение.

ОДЗ: . (sin x -1) не равно 0.

Теперь знаменатель можно опустить, и остается решить уравнение cos x = 0.

Нанести на единичную окружность решение уравнения и вычеркнуть точки, которые не подходят из ОДЗ. \[\cos x=0\quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi }{2}+\pi k\quad k\in Z\]

 

http://ru.solverbook.com/my_images/658.png7 урок Самостоятельная работа

Проводится самостоятельная работа по вариантам

 

1 вариант                                                            2 вариант

  1.                     2sinx+4cosx=6                                        1)
  2.                     1 – cosx = 2sin x/2                                  2) 1 – sin2x=1 – sinx
  3.                     2cos2x – 5cosx = 3                                  3) 2sin2x+2sinx=2
  4.                                                       4) 

 

Выводы: 1. Изучение материала проходит крупными блоками. В учебнике материал так не излагается. Чем же удобно такое изучение материала?

- Учащиеся знакомятся с основными видами тригонометрических уравнений.

- После изучения темы легко определяют вид уравнения, а, следовательно, и знают алгоритм его решения

 Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

  • с помощью тригонометрических формул преобразовать его до простейшего;
  • решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.

 

- Изучение материала построено так, что при решении определённого вида уравнений учащимся приходится обращаться к старой теме ( выполнять алгоритм решения другого типа уравнения)

 

 

Например,                            (asinx + bcosx = c,   c≠0 )

 

 

     

                        ,

это однородное уравнение II степени отн.

                                            

     

 

                                                                                           

 

 

 

Таким образом строится целая цепочка взаимосвязанных задач. Решая одну, приходится прибегать к решению другой.

2. При изучении материала этой темы учитель постоянно отсылает учащихся на припоминание алгоритмов решения раннее изученных уравнений;

Например, вспоминают методы решения квадратных уравнений, простейших тригонометрических уравнений, а также вспоминают основные тригонометрические тождества и формулы.

3. Дополнительный материал учитель записывает на отдельном листке, и те, кто успевает его решить, оцениваются на уроке.

Я считаю, что такая форма изучения материала в системе очень удобна и даёт большие возможности учащимся в применении полученных знаний в нестандартных  ситуациях. Уже «опрометчивых»   мнений по решению уравнений будет меньше.

Также данная работа способствует формированию исследовательских умений обучающихся.

 


Список литературы

 

  1. Математика. В.Т.Лисичкин, И.Л.Соловейчик. Москва, «Высшая школа», 1991г.
  2. Алгебра и начала анализа 10-11. Под редакцией А.Н.Колмогорова. Москва, «Просвещение», 1991г.
  3. Алгебра и начала анализа, ч.1. Под редакцией Г.Н.Яковлева. Москва, «Наука», 1981г.
  4. Справочник по математике для средних учебных заведений. А.Г.Цыпкин. Москва, «Наука», 1988г.
  5. Справочник по элементарной математике. М.Я.Выгодский. Москва, Физматгиз, 1962г.
  6. Практические занятия по математике. Н.В.Богомолов. Москва, «Высшая школа», 1990г.
  7. Уроки по курсу «Алгебра и начала анализа – 10». М.П.Нечаев. Москва, «5 за задания», 2007г.
  8. Математика және Физика. Ғылыми - әдістемелік журнал №4-2008жыл.

10. Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений. Москва Просвещение 2003

11. Мордкович А. Г. и др. Алгебра и начала анализа кл.: Задачник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, с.: ил.

12. Мордкович А. Г. И др. Алгебра и начала анализа кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Мнемозина, с.ил.

13. Математика. Задачи М. И. Сканави с решениями. Сост. С. М. Марая, П. В. Полуносик.- Мн. изд.

14. В.М. Скакун, с. Звавич Л. И., Пигарев Б. П. Тригонометрические уравнения. Математика в школе –с , 3-с

15. Газизова Р. Решение тригонометрических уравнений. Математика. Еженедельное приложение к газете Первое сентября с.5-9.

16. Шарыгин И. Ф. Математика. Для поступающих в вузы: Учебное пособие.- М. : Дрофа, с.: ил. 17. Домогацких Л. А.. Тригонометрия – это просто!/Пособие для учителей, школьников и абитуриентов.- М.: ООО ТИД Русское слово – РС, с. 

 

Информация о публикации
Загружено: 13 октября
Просмотров: 889
Скачиваний: 12
Баталова Наталья Владимировна
Математика, 10 класс, Разное
Скачать материал