[19 мая!] Практическая онлайн-конференция «Компетенции XXI века» Подтвердить участие→
Конкурс разработок «Пять с плюсом» май 2021
Добавляйте свои материалы в библиотеку и получайте ценные подарки
Конкурс проводится с 1 мая по 31 мая

Материалы к уроку "Правильные многогранники"

Содержится теоретический материал, примеры решения задач, задания для самостоятельной работы
Просмотр
содержимого документа

Правильные многогранники

Правильные многогранники были описаны еще в Древней Греции. Эти многогранники носят название «платоновых тел», по имени древнегреческого философа Платона (428 – 348 до н.э.).

Правильным многогранником называется выпуклый многогранник, у которого все грани – правильные многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Правильные многогранники построены из одинаковых правильных многоугольников, причем в каждой вершине сходится одно и то же число ребер.

Существует пять видов правильных многогранников:

Тетраэдр

D:\моя\Геометрия10-11\геометрия-11\3.jpg

Тетраэдр (в переводе с греческого означает четырехгранник).

Поверхность образована четырьмя равносторонними треугольниками, а каждая его вершина является вершиной трех треугольников.

У тетраэдра в каждой вершине сходится три ребра.

Символизировал огонь.

Куб

Гексаэдр

D:\моя\Геометрия10-11\геометрия-11\6.jpg

Поверхность образована шестью равными квадратами.

Каждая вершина является вершиной трех квадратов.

В каждой вершине сходится три ребра.

Символизировал землю.

Октаэдр

D:\моя\Геометрия10-11\геометрия-11\4.jpg

Октаэдр (восьмигранник).

Поверхность состоит из восьми равносторонних треугольников, а каждая его вершина является вершиной четырех треугольников.

В каждой вершине сходится четыре ребра.

Символизировал воздух.

Икосаэдр

D:\моя\Геометрия10-11\геометрия-11\1.jpg

Икосаэдр (двадцатигранник).

Поверхность составлена их двадцати равных равносторонних треугольников.

Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти равносторонних треугольников.

В каждой вершине сходится пять ребер.

Символизировал воду.

Додекаэдр

D:\моя\Геометрия10-11\геометрия-11\2.jpg

Додекаэдр (двенадцатигранник).

Поверхность составлена из двенадцати правильных пятиугольников.

Каждая вершина является вершиной трех правильных пятиугольников.

В каждой вершине сходится три ребра.

Символизировал Вселенную.

Для правильных многогранников существует «закон взаимности». Он заключается в следующем: если соединить отрезками центры соседних граней правильного многогранника, то эти отрезки станут ребрами другого правильного многогранника.

У куба – октаэдр: D:\моя\Геометрия10-11\геометрия-11\6-1.jpg

У октаэдра – куб: D:\моя\Геометрия10-11\геометрия-11\рисунки 1-7\2-1.jpg

У икосаэдра – додекаэдр: D:\моя\Геометрия10-11\геометрия-11\3-1.jpg

У додекаэдра – икосаэдр: D:\моя\Геометрия10-11\геометрия-11\4-1.jpg

У тетраэдра – тетраэдр: D:\моя\Геометрия10-11\геометрия-11\1-1.jpg

Примеры разверток многогранников

Тетраэдр

D:\мое\Математика\Геометрия 11\Рисунок1.jpg

Октаэдр

D:\мое\Математика\Геометрия 11\Рисунок2.jpg

Икосаэдр

D:\мое\Математика\Геометрия 11\Рисунок3.jpg

Куб

D:\мое\Математика\Геометрия 11\Рисунок4.jpg

Додекаэдр

D:\мое\Математика\Геометрия 11\Рисунок5.jpg

Если использовать не только обычные правильные многоугольники, но и звездчатые и разрешить им пересекаться, то можно получить звездчатые правильные многогранники.

В 1810 году французский математик Пуансо построил четыре правильных звездчатых многогранника: малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр, большой икосаэдр.

D:\моя\Геометрия10-11\Тела Пуансо - 4 шт\тела Пуансо-1.jpg D:\моя\Геометрия10-11\Тела Пуансо - 4 шт\тела Пуансо-2.jpg D:\моя\Геометрия10-11\Готовое\Правильные многогранники\рисунки 1-7\тела Пуансо-3.jpg D:\моя\Геометрия10-11\Готовое\Правильные многогранники\рисунки 1-7\Замена_тела Пуансо.jpg

В 1812 году французский математик Коши доказал, что кроме пяти «платоновых тел» и четырех «тел Пуансо» больше нет правильных многогранников.

Кроме правильных многогранников существует большое число полуправильных многогранников, которые носят названия «тел Архимеда», поскольку он первый их описал. Это тела, составленные из многоугольников двух видов, причем в каждой вершине сходится одно и то же число многоугольников каждого вида.

тела Архимеда-13тела Архимеда-12тела Архимеда-8 тела Архимеда-11тела Архимеда-10тела Архимеда-9 тела Архимеда-4тела Архимеда-7тела Архимеда-6тела Архимеда-2

тела Архимеда-5тела Архимеда-3тела Архимеда-1

Тип многогранника

Число

Площадь поверхности

Объем

ребер

граней

вершин

Тетраэдр

6

4

4

а2

а3/12

Октаэдр

12

8

6

2

а3/3

Икосаэдр

30

20

12

2

3(3-)/12

Куб (гексаэдр)

12

6

8

2

а3

Додекаэдр

30

12

20

2

а3(15+7)/4

Задание 1. Какие из многогранников, изображенных на рисунках, относятся к правильным…

1) D:\моя\Геометрия10-11\геометрия-11\6.jpg

2) D:\Математика\тесты\11 класс\05. Правильные многогранники\тела Пуансо-4.jpg

3) D:\моя\Геометрия10-11\геометрия-11\3.jpg

4) D:\Математика\тесты\11 класс\05. Правильные многогранники\5-7.jpg

5) D:\Математика\тесты\11 класс\05. Правильные многогранники\5-6.jpg

6) D:\Математика\тесты\11 класс\05. Правильные многогранники\5-5.jpg

7) D:\Математика\тесты\11 класс\05. Правильные многогранники\5-4.jpg

8) D:\Математика\тесты\11 класс\05. Правильные многогранники\8.jpg

9) D:\Математика\тесты\11 класс\05. Правильные многогранники\5-3.jpg

10) D:\моя\Геометрия10-11\Тела Пуансо - 4 шт\тела Пуансо-1.jpg

 

 

Задание 2. Какие из многогранников, изображенных на рисунках, относятся к телам Пуансо…

1) D:\моя\Геометрия10-11\геометрия-11\6.jpg

2) D:\Математика\тесты\11 класс\05. Правильные многогранники\тела Пуансо-4.jpg

3) D:\моя\Геометрия10-11\геометрия-11\3.jpg

4) D:\Математика\тесты\11 класс\05. Правильные многогранники\5-7.jpg

5) D:\Математика\тесты\11 класс\05. Правильные многогранники\5-6.jpg

6) D:\моя\Геометрия10-11\Готовое\Правильные многогранники\рисунки 1-7\тела Пуансо-3.jpg

7) D:\Математика\тесты\11 класс\05. Правильные многогранники\5-4.jpg

8) D:\Математика\тесты\11 класс\05. Правильные многогранники\8.jpg

9) D:\Математика\тесты\11 класс\05. Правильные многогранники\5-3.jpg

10) D:\моя\Геометрия10-11\Тела Пуансо - 4 шт\тела Пуансо-1.jpg

 

 

Задание 3. Какие из многогранников, изображенных на рисунках, относятся к телам Архимеда…

1) тела Архимеда-8

2) D:\Математика\тесты\11 класс\05. Правильные многогранники\тела Пуансо-4.jpg

3) D:\моя\Геометрия10-11\геометрия-11\3.jpg

4) тела Архимеда-2

5) D:\Математика\тесты\11 класс\05. Правильные многогранники\5-6.jpg

6) D:\моя\Геометрия10-11\Готовое\Правильные многогранники\рисунки 1-7\тела Пуансо-3.jpg

7) тела Архимеда-10

8) тела Архимеда-6

9) тела Архимеда-4

10) D:\моя\Геометрия10-11\Тела Пуансо - 4 шт\тела Пуансо-1.jpg

 

 

Тетраэдр

Пример 1. Точки О и F – середины ребер DB и АС тетраэдра DABC соответственно. Точка лежит на ребре DB так, что DK:КВ=1:3. Вычислите площадь полной поверхности тетраэдра, если прямая, проходящая через точку К и параллельная отрезку OF, пересекает поверхность тетраэдра в точке Р, РК=2 см.

3453

Решение: Точка Р – точка пересечения прямых k и DF. Так как DО=ОВ, DК:КВ=1:3, то DК=КО. Следовательно, отрезок РК – средняя линия DFO. Пусть длина ребра правильного тетраэдра равна х, тогда площадь его полной поверхности равна Sп.п.=4.

В прямоугольном треугольнике AFD (AFD=90o, AD=x, AF=) длина катета DF==.

В треугольнике BFC (BFC=90o, BC=x, FC=) длина катета BF==.

Треугольник DFB является равнобедренным (DF=BF), следовательно, медиана FO является его высотой.

В треугольнике DFO (DPF=90o, DO=, DF=) FO==.

Отрезок РК есть средняя линия треугольника DOF, следовательно РК=FO. Из уравнения =2 находим х=. Отсюда Sп.п.=4=32 см2

Ответ: 32 см2.

Пример 2. SABC – тетраэдр. Точки F и К – середины ребре АВ и АС соответственно. Найдите косинус угла между прямыми SF и ВК.

D:\моя\Сделать\Рисунки\10-13.jpg

Решение: В плоскости SFC через точку О=ВКFC проведем прямую OD, параллельную прямой SF. Тогда угол DOK – искомый.

Соединим точку D с точкой К и найдем косинус угла DOK треугольника DOK. Для нахождения косинуса угла вычислим стороны треугольника и воспользуемся теоремой косинусов.

Пусть длина ребра тетраэдра равна а, DOK=х. В треугольнике DKC (CD=2SC/3=2a/3, CK=a/2, KCD=60o) DK2=CK2+CD2-2CKCDcos60o, DK2=13a2/36.

В треугольнике SFC OD║SF, OC=2FC/3, следовательно, OD=SF==a/. В треугольнике DOK (OD=a/, OK=BK/3=a/6) DK2=OD2+OK2-2ODOKcosx, отсюда cosx=1/6.

Ответ: 1/6

Пример 3. На ребре тетраэдра ABCD с длиной ребра 4 см взята точка М такая, что МА:МD=3:1. Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, содержащей точку М и перпендикулярной ребру AD.

D:\моя\Конкурс-2012\пирамиды.jpg

Решение: Для построения сечения в плоскостях ADC и ADB проведем через точку М прямые, перпендикулярные AD, которые пересекут ребра CD и BD в точках Р и N.

Полученной сечение MPN перпендикулярно AD (согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

Рассмотрим треугольник MDР: PMD=90o, MDP=60o, MD=AD/4=1 см. Следовательно, DP=AD/2=2 см и PM=MDtg60o= см.

Аналогично, из треугольника DMN: MN= см, DN=2 см. Следовательно, PN=2 см. По формуле Герона вычисляем SMPN= см2.

Ответ: см2

Задание 4. Решите задачу…

1)

Дан тетраэдр KLMN. Точки Е, О и F – середины отрезков LM, MA и МК. Найдите площадь треугольника EOF, если площадь треугольника LKA равна 24 см2.

6

2)

На ребрах DA, DB и DC тетраэдра ABCD отмечены точки М, N и Р так, что DM:MA=DN:NB=DP:PC. Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника АВС равна 10 см2 и DM:MA=2:1.

3)

Найдите ребро тетраэдра DABC, если площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через центр грани ABC перпендикулярно к ребру AD равна 2 см2.

2

4)

Найдите ребро тетраэдра DABC, если площадь сечения, проходящей через центр грани АВС параллельно грани BDC равна 9 см2.

9

5)

Центры граней тетраэдра служат вершинами нового тетраэдра. Найдите отношение их полных поверхностей.

9

6)

Найдите высоту тетраэдра, если его полная поверхность равна 24 см2.

4

7)

Два тетраэдра соединены двумя гранями так, что образуют двойную пирамиду. Центры шести боковых граней этой пирамиды приняты за вершины прямой треугольной призмы. Вычислить объем полученной призмы, если ребро тетраэдра равно 3 см.

2

8)

Найдите объем тетраэдра, если радиус окружности, описанной около его грани, равен см.

9

9)

Найдите объем тетраэдра, если его ребро равно 3 см.

9

10)

Найдите объем пирамиды, вершина которой совпадает с вершиной тетраэдра с ребром 6 см., а основанием является сечение, проведенное перпендикулярно через середину ребра.

36

11)

Через каждое ребро тетраэдра проведена плоскость, параллельная противоположному ребру. Найдите отношение объема полученного параллелепипеда к объему тетраэдра.

3

12)

Центры граней тетраэдра служат вершинами нового тетраэдра. Найти отношение их объемов.

27

13)

В тетраэдре DABC точка К – середина ребра AD. Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через точку К параллельно грани DBC, если площадь грани равна 124 см2.

31

14)

В тетраэдре DABC точки К, Е и М являются серединами ребер АС, DC и ВС. Найдите площадь треугольника ADB, если площадь треугольника КЕМ равна 27 см2.

108

15)

В тетраэдре DABC точка М – середина ребра AD. Найдите площадь грани DBC, если площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно этой грани, равна 31 см2.

124

16)

Дан тетраэдр KLMN. Точки Е, О и F – середины отрезков LM, MA и МК. Найдите площадь треугольника EOF, если площадь треугольника LKA равна 24 см2.

6

17)

Найдите угол между плоскостью АВС правильного тетраэдра SABC и плоскостью, проходящей через прямую МК параллельно прямой SD, где точки М, D и К – середины ребер АВ, ВС и SB.

90

Куб (гексаэдр)

Пример 4. Найдите расстояние от вершины В куба ABCDA1B1C1D1 до точки пересечения диагоналей грани DD1C1C, если ребро куба равно 6 см.

D:\моя\Сделать\Рисунки\10-14.jpg

Решение: Треугольник BDC1 – равносторонний, так как его стороны – диагонали равных квадратов: BD=BC1=DC1==6 см.

Точка О – середина отрезка DC1 (диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам), следовательно, отрезок ВО – медиана треугольника BDC1.

Так как треугольник BDC1 – равносторонний, то его медиана ВО является высотой.

В треугольнике BDO (BOD=90o, BD=6 см, DO=DC1/2=3 см) катет ВО==3 см.

Ответ: 3 см

Задание 5. Решите задачу…

1)

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 2 см. Найти расстояние между AD1 и В1С.

2

2)

Найти расстояние между серединами двух скрещивающихся ребер куба, полная поверхность которого равна 36 см2.

3

3)

На ребре куба ABCDA1B1C1D1 взята точка Р – середина ребра, длина ребра куба равна 4 см. Найдите расстояние между прямой B1D1 и прямой PD.

4

4)

Найдите угол между плоскостями BDK и АВ1С1 куба ABCDA1B1C1D1, где точка К – средина ребра СС1.

30

Пример 5. Площадь поверхности куба равна 72. Найдите его диагональ.

Решение. Пусть ребро куба равно , тогда площадь поверхности куба , отсюда . Диагональ куба  равна .

Ответ: 6

Задание 6. Вычислите площадь…

1)

полной поверхности куба, если его ребро равно 2 см.

24

2)

полной поверхности куба, если его объем куба равен 8 см3.

12

3)

боковой поверхности куба, если его диагональ равна 5 см.

100

4)

боковой поверхности куба, если диагональ его грани равна 4 см.

64

7)

поверхности куба АВСDА1В1С1D1, если площадь поверхности правильного тетраэдра АСВ1D1 равна 16 см2.

48

8)

полной поверхности куба, если площадь сечения куба, представляющего собой правильный шестиугольник равна см2.

8

9)

полную поверхность куба, если расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба равно 2 см.

7

Пример 6. Вычислить объем куба, если площадь его грани равна 36 см2.

Решение: Объем куба вычисляется по формуле V=a3. Площадь грани S=a2, отсюда a===6 см. Подставив значение, получим V=63=216 см3

Пример 7. Вычислить объем куба, если площадь его полной поверхности равна 54 см2.

Решение: Объем куба вычисляется по формуле V=a3. Площадь полной поверхности куба состоит из шести площадей граней Sпп=6·Sгр=6·a2. Выразив из этой формулы сторону, получим а==3 см. Подставив значение стороны в формулу, получим V=33=27 см3

Ответ: 27 см3

Пример 8. Вычислить объем куба, если его диагональ равна 4 см.

Решение: Объем куба вычисляется по формуле V=a3. Используя свойство диагонали куба, находим его сторону. а=d:=4 см. Отсюда V=4·4·4=64 см3.

Ответ: 64 см3

Пример 9. Вычислить объем куба ABCDA1BlClD1, если площадь треугольника СDA1 равна 2 см2.

D:\Геометрия\Параллелепипед\2-5.gif

Решение: Объем куба вычисляется по формуле V=a3. Треугольник DCA1 – прямоугольный, один из катетов равен стороне куба, другой – диагонали грани. Площадь треугольника S=DC·DA1. DA1=DC . Отсюда найдем сторону куба DC=2 см. V=2·2·2=8 см3.

Ответ: 8 см3

Пример 10. Объем куба равен 27. Найдите площадь его поверхности.

Решение. Объем куба равен , где а – сторона куба, значит, сторона куба равна 3. Отсюда площадь поверхности куба равна .

Ответ: 54

Пример 11. Объем куба равен 81. Найдите его диагональ.

Решение. Объем куба вычисляется по формуле , диагональ - . Отсюда ; .

Ответ: 9

Пример 12. Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра уменьшить в два раза?

Решение. Объем куба равен . Если ребра уменьшить в два раза, то объем куба уменьшится раз.

Ответ: 8

Задание 7. Вычислите объем…

1)

куба, если длина его ребра 3 см.

27

2)

куба ABCDA1B1C1D1, если площадь СDA1 равна 2 см2.

8

3)

куба, если расстояние от его диагонали до непересекающегося с ней ребра равно см.

8

4)

куба АВСDА1В1С1D1, если площадь сечения куба, проведенного  через середины ребер А1В1, D1С1 и вершину В, равна см2.

27

5)

куба, если площадь сечения, проходящего через диагональ смежных граней, равна 8 см2.

64

Пример 13. Вершины многогранника являются центрами граней куба. Найдите объем куба, если объем многогранника равен 12.

Решение: Обозначим ребро куба через . Многогранник составлен из двух равных пирамид имеющих общее основание. , то есть , где , а , где сторона основания равна .

Подставим в формулу . . Так как , то .

Ответ: 72

Задание 8. Решите задачу…

1)

Чему равна сторона куба, если площадь его полной поверхности равна 150 см2?

5

2)

В кубе центры оснований соединены с центрами боковых граней. Найдите ребро куба если поверхность полученного октаэдра равна 49 см2.

7

3)

В кубе центры оснований соединены с центрами боковых граней. Вычислить длину ребра куба, если поверхность полученного октаэдра равна 16 см2.

4

4)

Найдите отношение объема куба к объему тетраэдра, ребро которого равно диагонали грани куба.

3

5)

Найти объем общей части двух кубов, если один из них получен поворотом на 90о другого куба вокруг оси, проходящей через среднюю линию одной из его граней. Ребро куба равно 4 см.

16

6)

Диагонали двух одинаковых кубов с ребром, равным 4 см, лежат на одной и той же прямой. Вершина второго куба совпадает с центром первого, второй куб повернут вокруг диагонали на 60о по отношению к первому. Найти объем общей части этих кубов.

9

Пример 14. Точка - середина ребра куба . Найдите площадь сечения куба плоскостью , если ребра куба равны 2.

Решение. Прямая пересекает прямую в точке . Прямая пересекает ребро в его середине - точке . - сечение куба плоскостью .

Равнобедренный треугольник подобен треугольнику . , и высота .

Поскольку - средняя линия треугольника : , .

Ответ: 4,5

Пример 15. Точки и - середины рёбер и куба соответственно. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку и перпендикулярной прямой , если ребро куба равно 10.

Решение. Указанное сечение - прямоугольник .

Его площадь равна .

Ответ:

Задание 9. Решите задачу …

1)

Чему равно ребро куба, если площадь его диагонального сечения равна 25 см2?

5

2)

Через два противоположных ребра куба проведено сечение, площадь которого равна 64 см2. Найдите ребро куба

8

3)

Площадь сечения куба плоскостью, проходящей через концы трех ребер, выходящих из одной вершины, равна 18 см2. Найти длину ребра куба.

6

4)

Найдите ребро куба, если площадь сечения, проходящего через диагональ нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания равна 16 см2.

8

6)

В кубе АВСDА1В1С1D1 через середины ребер А1D1, D1D и вершину В1 проведено сечение. Найти площадь сечения, если длина ребра куба равна 4 см.

90

7)

В кубе через сторону основания проведено сечение под углом 30о к плоскости основания. Найти площадь сечения, если длина ребра куба равна см.

2

8)

Площадь сечения куба, представляющего собой правильный шестиугольник, равна 3 см2. Найти полную поверхность куба.

24

9)

В кубе АВСDА1В1С1D1 через вершины А, С1 и середину ребра DD1 проведено сечение. Найти длину ребра куба, если площадь сечения равна 50 см2.

10

10)

На ребрах В1С1 и C1D1 куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р и Q - середины этих ребер. Через точку О - центр грани ABCD - и прямую PQ проведена секущая плоскость. Найдите площадь сечения куба плоскостью, параллельной плоскости OPQ и проходящей через точку С1, если ребро куба равно 8 см.

24

11)

На ребрах В1С1, C1D1 и АА1 куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р, Q и R - середины этих ребер. Через точку О - центр грани ABCD - и прямую PQ проведена секущая плоскость. Найдите площадь сечения куба плоскостью, параллельной плоскости OPQ и проходящей через точку R, если ребро куба равно 8 см.

6

12)

На ребрах В1С1 и C1D1 куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р и Q - середины этих ребер. Через точку О - центр грани ABCD - и прямую PQ проведена секущая плоскость. Найдите площадь сечения куба плоскостью, параллельной плоскости OPQ и проходящей через точку D1, если ребро куба равно 8 см.

72

Пример 16. Дан куб ABCDA1B1C1D1, длина ребра которого равна 4 см. На ребре АА1 взята точка Е так, что АЕ=1 см. Найти объем пирамиды, вершиной которой является точка А1, а основанием - сечение куба, проходящее через точки D, Е и произвольную внутреннюю точку ребра ВВ1.

D:\моя\Конкурс-2012\к4643.jpg

Решение: Построив сечение, получим на ребре СС точку S, служащую общей вершиной двух треугольных пирамиды SEA1K и SEA1D, сумма объемов которых равна объемы четырехугольной пирамиды AE1KSD.

SA1DE=A1EDA/2=6 см2.

Расстояние от точки S до плоскости AED равно 4 см, поэтому VSEA1D=SA1DE=8 см3. Аналогично находим VSEA=8 см3.

Следовательно, искомый объем равен VSEA1D+VSEA=16 см3.

Ответ: 16 см3

Задание 10. Решите задачу …

1)

На ребрах АВ и AD куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р и Q – середины этих ребер, длина ребра куба равна см. Через точки С1, Р и Q проведено сечение куба. Найдите расстояние от точки С до секущей плоскости.

3

Октаэдр

Задание 11. Решите задачу…

1)

Ребро правильно октаэдра равно . Найдите расстояние между двумя его противоположными вершинами.

2

2)

Ребро правильно октаэдра равно . Найдите расстояние между противоположными гранями.

2

3)

Ребро правильного октаэдра равно 3 см. Найдите расстояние между противоположными гранями.

6

4)

Ребро октаэдра равно 3 см. Найдите расстояние между двумя его противолежащими вершинами.

6

5)

Ребро правильного октаэдра равно 4 см. Найдите расстояние между двумя его противоположными вершинами.

8

6)

Ребро правильного октаэдра равно 3 см. Найдите расстояние между центрами двух смежных граней.

2

7)

Чему равно ребро октаэдра, если площадь его диагонального сечения равна 256 см2?

16

8)

Найдите объем октаэдра, если его сторона равна 3 см.

36

9)

Найдите угол между двумя ребрами правильного октаэдра, которые имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани.

90

Икосаэдр

Задание 12. Решите задачу…

1)

Найдите площадь полной поверхности икосаэдра, если площадь одной его грани равна 4 см2.

80

2)

Чему равна сторона икосаэдра, если его площадь полной поверхности равна 20 см2?

2

3)

Чему равна сторона икосаэдра, если площадь грани равна 4 см2?

4

Додекаэдр

Задание 13. Решите задачу…

1)

Найдите площадь полной поверхности додекаэдра, если площадь одной его грани равна 10 см2.

120

 

Информация о публикации
Загружено: 27 ноября
Просмотров: 346
Скачиваний: 4
Кудрец Дмитрий Артёмович
Геометрия, 10 класс, Уроки

Проверьте знания своих учеников интересными заданиями

Красочные наградные дипломы и сертификаты для участников, свидетельства и благодарности каждому учителю, ежемесячный розыгрыш ценных призов!

Скачать материал