[21.09 - Вебинар для классных руководителей!] «Цифровые инструменты» Подтвердить участие→
Конкурс разработок «Пять с плюсом» сентябрь 2020
Добавляйте свои материалы в библиотеку и получайте ценные подарки
Конкурс проводится с 1 сентября по 30 сентября

Конспект урока по алгебре 9 класс по теме: "НАХОЖДЕНИЕ СУММЫ ПЕРВЫХ n ЧЛЕНОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ"

Ур о к 66. НАХОЖДЕНИЕ СУММЫ ПЕРВЫХ пЧЛЕНОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ Цели: вывести формулу суммы первых п членов геометрической прогрессии; формировать умение применять эту формулу при решении задач. Ход урока I. Организационный момент. II. Проверочная работа. В а р и а н т 1 1) Выпишите формулу п члена геометрической прогрессии. 2) В геометрической прогрессии (bп) известны b1 = 1,6 и q = 2. Найдите b5; bk. 3) Найдите первый член геометрической прогрессии (bп), в которой b6 = , q = . 4) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если известно, что b4 = 25, b6 = 16.
Просмотр
содержимого документа

У р о к  66.  Нахождение суммы первых п членов
геометрической прогрессии

Цели: вывести формулу суммы первых п членов геометрической прогрессии; формировать умение применять эту формулу при решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т  1

1) Выпишите формулу п члена геометрической прогрессии.

2) В геометрической прогрессии (bп) известны b1 = 1,6 и q = 2. Найдите b5; bk.

3) Найдите  первый  член  геометрической  прогрессии (bп),  в которой b6 = , q = .

4) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если известно, что b4 = 25, b6 = 16.

 

В а р и а н т  2

1) Выпишите характеристическое свойство геометрической прогрессии.

2) В геометрической прогрессии (ап) известны а1 = 3,2 и q = . Найдите а4; аk + 1.

3) Найдите  первый  член  геометрической  прогрессии (ап),  в которой а5 = , q = .

4) Найдите  знаменатель  геометрической  прогрессии  (bn),  в  которой b6 = 100, b8 = 9.

О т в е т ы:

Задание

Вариант 1

Вариант 2

1

2

3

1

bn = b1 · qn – 1

bn2 = bn – 1 · bn + 1

2

25,6; 0,8 · 2k

0,4; 1,6 ·

3

9

4

или –

0,3 или –0,3

III. Объяснение нового материала.

1. У с т н а я   р а б о т а  (актуализация знаний).

Упростить выражение:

а) ;            б) ;            в) 3п + 1 – 3п – 1.

2. Привести легенду об индийском принце и изобретателе шахмат, который в награду за изобретение попросил столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на 1-ю клетку положить одно зерно, на вторую – в два раза больше, на третью – в два раза больше, чем на вторую, и т. д. до 64-й клетки.

Количество зерен в клетках составляет геометрическую прогрессию 1; 2; 22; 23; … 263. Если мы сумму обозначим через S, то

S = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 263. Домножим обе части на знаменатель геометрической прогрессии:

2S = 2 + 22 + 23 + … + 263 + 264;

2SS = (2 + 22 + 23 + … + 263 + 264) – (1 + 2 + 22 + 23 + … + 263);

S = 264 – 1.

Если подсчитать это число и перевести на килограммы, то масса превысит триллион тонн.

3. Решая предыдущую задачу, мы уже определим принцип вывода формулы суммы первых п членов геометрической прогрессии.

Повторим эти рассуждения для произвольных b1 и q.

Sп = b1 + b2 + b3 + … bп – 1 + bп;   (1)

, так как b1q = b2,

, получаем

.  (2)

Вычитаем почленно из (2) равенство (1) и получаем

Sn (q – 1) = bnqb1, тогда

– формула суммы  первых

   п членов геометрической

   прогрессии.

Задать учащимся вопрос: а как быть в случае, когда q =1?

4. Также можно дать задание самостоятельно преобразовать формулу, чтобы выражать сумму только через b1, q и п.

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

№ 648, № 649 (а, г). Самостоятельное решение упражнений на «прямое» применение формулы II.

№ 651 (а, б), № 653. Решение у доски с комментариями.

№ 654.

Р е ш е н и е

а) (хп) – геометрическая прогрессия; х5 = 1 = ; q = .

х5 = х1 · q4;   = х1 · ;   = · х1;   х1 = 90.

S5 = ;     S5 = = 134.

О т в е т: 134.

При решении этого примера можно использовать обе формулы нахождения суммы первых п членов геометрической прогрессии, и учащиеся должны уметь выбирать формулу в зависимости от задачной ситуации.

№ 655. Это задание повышенной трудности, для решения которого следует не только подставлять значения в формулу, но и оценивать результат, исключать посторонние решения.

Р е ш е н и е

а1 > 0, a3 > 0, a5 > 0 

а2 < 0, а4 < 0  

q < 0

а1 = 2, a5 = 162;

a5 = а1 · q4; 162 = 2 · q4;

   q4 = 81;

   q = –3, так как q < 0.

S6 = ;     S6 = = = –364.

О т в е т: –364.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– По каким формулам находят сумму первых п членов геометрической прогрессии?

– Какие ограничения накладываются на выражения в формулах?

– Как находится сумма первых п членов геометрической прогрессии со знаменателем, равным 1?

Домашнее задание:  № 649 (б, в),  № 650,  № 652 (а, г),  № 656,  № 659 (а).

 

 

 

У р о к  67.   Применение формулы суммы первых п членов
геометрической прогрессии

Цели: закреплять умения и навыки применения формулы суммы первых п членов геометрической прогрессии при решении задач; провести подготовку к контрольной работе.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Вычислить:

а) 32п : 9п – 1;     (9.)

б) 4п · 26 – 2п;     (64.)

в) 16 : 41 + 2п · 8п.    (22 – п.)

2. Является ли геометрической прогрессией последовательность (хп), если:

а) хп = 2п;     (Да.)

б) хп = 3п;     (Да.)

в) хп = п2;     (Нет.)

г) хп = a · bn, если а 0, b 0.  (Да.)

3. Существуют ли три числа, которые составляют одновременно арифметическую  и  геометрическую  прогрессию?  (Да,  любые  три  равных числа.)

III. Формирование умений и навыков.

На этом уроке предлагаются для решения упражнения на нахождение суммы первых п членов геометрической прогрессии по двум формулам, а также задания на применение формулы п-го члена и характеристического свойства геометрической прогрессии, в том числе повышенной сложности. Перед решением следует вспомнить определение геометрической прогрессии и все формулы, относящиеся к ней.

Упражнения:

1. № 635.

Р е ш е н и е

(хп) – геометрическая прогрессия.

(хп) : 2; а; b; ;

;

;

.

О т в е т: а = 1; b = .

№ 640.

Р е ш е н и е

(хп) – геометрическая прогрессия.

х1 = 760;

q = 0,8,  так  как  после  каждого  движения  поршня удаляется 20 % воздуха, значит, остается 80 %. Давление после шести движений поршня равно х7 = х1 · q6;  х7 = 760 · (0,8)6 ≈ 199,23.

О т в е т: ≈ 199,23 мм рт. ст.

2. С а м о с т о я т е л ь н а я   р а б о т а  (с последующей проверкой на этом же уроке).

В а р и а н т  1

1) Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (bn), в которой .

2) Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии 5; –2,5; … .

3) (ап) – геометрическая прогрессия. Найдите S4, если а1 = 3, q = –2.

4) Найдите первый член геометрической прогрессии, в которой q = , S4 = 65.

В а р и а н т  2

1) Найдите  сумму  шести  первых  членов  геометрической  прогрессии (bn), в которой .

2) Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии 1,5; –3; … .

3) (aп) – геометрическая прогрессия. Найдите S5, если а1 = 18, q = –.

4) Найдите  первый  член геометрической прогрессии, в которой q = 2, S8 = 765.

Р е ш е н и я  самостоятельной работы

В а р и а н т  1

1)

2) ;

3)

4)

В а р и а н т  2

1)

2)

3)

4)

3. З а д а н и я   п о в ы ш е н н о й   с л о ж н о с т и.

№ 657.

Д а н о: (хп) – геометрическая прогрессия.

  хп > 0 для любого n N;

  х1 + х2 = 8; х3 + х4 = 72; Sk = 242.

Н а й т и: k.

Р е ш е н и е

Пусть q – знаменатель прогрессии и q > 0 (так как хп > 0), тогда по определению хп = х1 · qп – 1. По условию

Получаем

(так как q > 0).

Находим

3k = 243;   3k = 35;   k = 5.

О т в е т: 5 членов.

З а д а ч а. Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 13, а сумма их квадратов равна 91. Найдите первый член прогрессии, ее знаменатель и сумму пяти первых членов.

Р е ш е н и е

Пусть a, b, c – первые члены геометрической прогрессии. По свойству геометрической прогрессии имеем b2 = ac. Учитывая условия задачи, запишем следующую систему уравнений с тремя неизвестными:

Из первого уравнения a + c = 13 – b. Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:

a2 + 2ac + c2 = 169 – 26b + b2    (1);

из второго уравнения a2 + c2 = 91 – b2. Подставляем в уравнение (1) и получаем:

91 – b2 + 2b2 = 169 – 26b + b2,

26b = 78,

b = 3.

Подставляем значение b = 3 в исходную систему и получаем:

Таким образом, первые три члена последовательности 1; 3; 9 (q = 3) или 9; 3; 1 .

О т в е т: 1; 3; 121 или 9;

Задачи повышенной сложности можно решать следующим образом: разобрать идею решения, составить исходную систему уравнений, а ее решение предложить выполнить самостоятельно дома. Или сильным в учебе  ученикам предложить решить в классе, а с более слабыми учениками продолжить отрабатывать основные формулы по стандартным упражнениям из сборника самостоятельных работ.

IV. Итоги урока.

Ответить на контрольные вопросы (учебник, с. 163).

Домашнее задание: № 636, № 658, № 710.

 

 

 

 

 

У р о к  14 (69).
Обощающий урок по теме
«Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Цель: систематизировать знания и умения по изученной теме.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ результатов контрольной работы.

1. Учащиеся, выполнившие задания контрольной работы на «хорошо» и «отлично», получают карточки-задания повышенной сложности.

К а р т о ч к а  № 1.

1. Найдите число членов арифметической прогрессии а1;а2; …; а2п, если а2 + а4 + а6 + … + а2п = 126 и ап – 2 + ап + 4 = 42.

1) 6;          2) 8;          3) 10;          4) 16;          5) 12.

2. Найдите 1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 11 + … + 97 – 99.

1) –46;          2) –48;          3) –50;          4) –52;          5) –54.

3. Вычислите  сумму  первых  п членов  последовательности  1; 3; 7; 15; 31; …; 2п – 1.

1) 4п + 3п;          2) 2 (2п –1) – п;          3) 2п + п + 1;

4) 22п – 4п;          5) определить нельзя.

К а р т о ч к а  № 2.

1. Сколько бы ни взять первых членов арифметической прогрессии, сумма их равна утроенному произведению квадрата числа этих членов. Найдите седьмой член этой прогрессии.

1) 8;          2) 9;          3) 11;          4) 10;          5) 7.

2. На сколько уменьшится сумма 1 · 4 + 2 · 8 + 3 · 12 + … + 20 · 80, если второй множитель в каждом слагаемом уменьшить на единицу?

1) 60;          2) 120;          3) 210;          4) 375;          5) 465.

3. Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 75 включительно, при делении квадратов которых на 3, получается остаток, равный 1.

1) 1875;          2) 925;          3) 1900;          4) 2850;          5) 2125.

О т в е т ы:

№ карточки

1

2

3

4

5

6

7

8

1-е задание

5

4

4

3

1

4

3

3

2-е задание

1

3

1

2

2

1

1

1

3-е задание

2

1

1

1

4

3

1

2

2. Остальные учащиеся разбирают свои ошибки в группах (создаются 2 группы). Раздать учащимся шаблоны с правильным решением подобных задач из контрольной работы. Учащиеся сами выбирают нужную карточку и, используя ее, решают ошибочное задание. Исправив ошибочное решение, ученик выходит к доске и показывает правильное решение всему классу. После окончания этой работы ученики могут приступать к решению заданий по карточкам.

III. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Что такое последовательность? Какие способы задания последовательности существуют?

– Сформулируйте определение арифметической прогрессии. Какое число называется разностью арифметической прогрессии?

– Сформулируйте определение геометрической прогрессии. Какое число называется знаменателем геометрической прогрессии?

– Запишите формулы п-го члена и суммы первых п членов для арифметической и геометрической прогрессий.

Домашнее задание: № 675, № 686, № 709, № 660.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У р о к  68.     Контрольная работа № 5

В а р и а н т  1

1. Найдите седьмой член геометрической прогрессии (bп), если b1 = –32 и q = .

2. Первый член геометрической прогрессии (bп) равен 2, а знаменатель равен 3. Найдите сумму шести первых членов этой прогрессии.

3. Между числами и 3 вставьте три числа, которые вместе с данными числами образуют геометрическую прогрессию.

4. Найдите  сумму  девяти  первых  членов  геометрической  прогрессии (bп) с положительными членами, зная, что b2 = 0,04 и b4 = 0,16.

5. Найдите  первый  член  геометрической  прогрессии  (ап),  в  которой q = 3, S4 = 560.

В а р и а н т  2

1. Найдите шестой член геометрической прогрессии (bп), если b1 = 0,81 и q = .

2. Первый член геометрической прогрессии (bп) равен 6, а знаменатель равен 2. Найдите сумму семи первых членов этой прогрессии.

3. Между числами и 196 вставьте три числа так, чтобы они вместе с данными числами составили геометрическую прогрессию.

4. Найдите  сумму  восьми  первых  членов  геометрической  прогрессии (bп) с положительными членами, зная, что b2 = 1,2 и b4 = 4,8.

5. Найдите  первый  член  геометрической  прогрессии  (ап),  в  которой q = –2, S5 = 330.

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т  1

1. (bп) – геометрическая прогрессия, b1 = –32, q = .

b7 = b1 · q6, 

О т в е т: –0,5.

2. (bп) – геометрическая прогрессия, b1 = 2, q = 3.

.

О т в е т: 728.

3. ; а2; а3; а4; 3 – геометрическая прогрессия,

1)

2)

О т в е т: 1) ; 2) .

4. (bп) – геометрическая прогрессия, bп > 0, b2 = 0,04, b4 = 0,16.

b2 = b1 · q;

;

0,16 = 0,04 · q2; q2 = 4; q = 2 (так как bп > 0)

О т в е т: 10,22.

5. (ап) – геометрическая прогрессия, q = 3, S4 = 560.

О т в е т: 14.

В а р и а н т  2

1. (bп) – геометрическая прогрессия, b1 = 0,81, q = .

b6 = b1 · q5,

О т в е т: .

2. (bп) – геометрическая прогрессия, b1 = 6, q = 2.

О т в е т: 762.

3. ; а2; а3; а4; 196 – геометрическая прогрессия,

1)

2)

О т в е т: 1) ; 2) .

4. (bп) – геометрическая прогрессия, bп > 0, b2 = 1,2, b4 = 4,8.

b2 = b1 · q;

;

4,8 = 1,2 · q2; q2 = 4; q = 2 (так как bп > 0);

О т в е т: 153.

5. (ап) – геометрическая прогрессия, q = –2, S4 = 330.

 

Информация о публикации
Загружено: 5 августа
Просмотров: 48
Скачиваний: 0
Штыкова Ольга Васильевна
Алгебра, 9 класс, Уроки
Скачать материал