[Регистрация открыта!] Образовательный спецпроект «Дистант 2020» Подтвердить участие→
Конкурс разработок «Пять с плюсом» октябрь 2020
Добавляйте свои материалы в библиотеку и получайте ценные подарки
Конкурс проводится с 1 октября по 31 октября

Конспект урока геометрии, оформленный в виде развернутого конспекта по теме «Средняя линия треугольника»

8 класс Тип урока: урок ознакомления с новым материалом Учебник: Геометрия 7-9/ Л.С.Атанасян и др. (2010)
Просмотр
содержимого документа

Конспект урока геометрии по теме «Средняя линия треугольника»

8 класс 

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом

Учебник: Геометрия 7-9/ Л.С.Атанасян и др. (2010)

Цели урока: 1. Образовательные: Ввести понятие средней линии треугольника; доказать свойство средней линии треугольника, а также теорему о пересечении медиан треугольника; рассмотреть свойства медианы и средней линии треугольника применительно к его площади.

2. Воспитательные: Воспитывать интерес к геометрии, расширять кругозор учащихся с помощью рассказа о замечательных линиях треугольника; прививать аккуратность в оформлении геометрических задач на доказательство средней линии треугольника и теорему о пересечении медиан треугольника, культуру устной речи.

3. Развивающие: Развивать интерес к геометрии, логическое мышление, интуицию учащихся; формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли; творческую и мыслительную деятельность учащихся, их интеллектуальные качества: способность к исследовательской деятельности, к синтезу и анализу при решении задач на доказательство теорем о свойстве средней линии треугольника, о пересечении медиан треугольника.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, доска, презентация.

Структура урока

Этапы урока

Продолжительность

Методы и средства обучения

  1. Сообщение темы, цели, задач урока, мотивация учебной деятельности
  2. Подготовка к изучению нового материала

 

  1. Ознакомление с новым материалом

 

 

  1. Первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изучения
  2. Постановка задания на дом
  3. Подведение итогов урока

 

3 мин.

 

 

 

5 мин.

 

 

 

20 мин.

 

 

 

 

12 мин.

 

 

2 мин.

 

3 мин.

 

 

-

 

 

Устный опрос, с помощью готовых чертежей в презентации, фронтальный опрос

Объяснительно-иллюстративный; частично-поисковый; проблемный

Решение задач по готовым чертежам

 

 

 

-

 

Устный опрос

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Ход урока

Основное содержание учебного материала

Деятельность

учителя

учащихся

1

2

3

  1. Сообщение темы, цели, задач урока, мотивация учебной деятельности

 

Сообщает об изучении новой темы, помогает сформулировать ученикам цели, которые необходимо достичь на текущем уроке: дать определение средней линии треугольника, доказать теорему о средней линии треугольника, выделить свойства и признаки средней линии треугольника, доказать теорему о пересечении медиан треугольника.
Предлагает записать в тетрадях дату, классная работа, тему.

Слушают, пытаются сформулировать цели урока.

 

 

 

 

 

 

Записывают в тетрадях дату, классную работу, тему.

  1. Подготовка к изучению нового материала (Актуализация знаний и умений)

Слайд из презентации о подобии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Слайд из презентации о параллельности прямых

 

 

 

 

 

 

 

 

Слайд из презентации о медиане треугольника

Обращает внимание учащихся на то, что на данном уроке им потребуются знания о признаках подобия треугольников, а также о параллельности прямых и её признаках, медиане треугольника. Проводит фронтальный опрос о выше указанных, теоретических фактах.
С помощью подготовленной презентации в формате PowerPoint, проектора и экрана предъявляет задания обучающимся по готовым чертежам, направленные на повторение подобия треугольников, параллельности прямых и их признаков, медианы треугольника.

Проводит фронтальный опрос.

 

 

 

 

 

 

 

Проводит фронтальный опрос, корректирует ответы учащихся, если они требуют коррекции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проводит фронтальный опрос, корректирует ответы учащихся, если они требуют коррекции.

 

Слушают.
Отвечают устно признаки подобия треугольников, параллельность прямых и её признаки, медиана треугольника.  отвечают на вопросы учителя, обсуждают ответ одноклассников.

Выполняют задание устно, говорят, что: на первой картинке по 1 признаку подобия (по двум углам), так как – общий, ;

на девятой картинке по 2 признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), так как ;

на пятнадцатой картинке треугольники подобны по трем сторонам;

на девятнадцатой картинке нельзя говорить о подобных треугольниках, поскольку дана информация о разных элементах треугольников.

 

Выполняют задание устно, говорят о том, что на первой картинке прямые a и b являются параллельными, поскольку по признаку параллельности прямых сумма односторонних углов равна 180;

на второй картинке прямые a и b не являются параллельными так как, отмеченные односторонние углы в сумме не дают 180; на третьем рисунке прямые a и b являются параллельными, поскольку по признаку параллельности прямых накрест лежащие углы равны; на четвертом рисунке прямые a и b являются параллельными, поскольку по признаку параллельности прямых сумма односторонних углов равна 180.

 

 

 

 

 

 

Отвечают устно, что медиана изображена на рисунке 1 (по определению медианы).

  1. Ознакомление с новым материалом
    1. Формирование понятия средней линии

Слайд с моделями треугольников со средними линиями
 

 

Записи на доске

           3.2 Ознакомление со свойствами и признаками средней линии треугольника

Записи на доске

Дано:

MN – средняя линия

Доказать:

А) MN//AC

Б)

 

Вопросы:

А)

  1. Как доказывается параллельность прямых?

 

  1. Какой признак, по вашему мнению, применим в данной задаче?

 

  1. Какие углы мы можем рассмотреть в данном контексте и как доказать их равенство?

 

 

  1. Использовав какой признак подобия и какие элементы треугольников, мы сможем это реализовать?

 

 

 

 

Б)

1. Как доказать, что в этих подобных треугольниках АС=2MN?

 

 

 

 

 

 

Запись на доске

Доказательство:

А) Рассмотрим :

– общий,

                                    

(т.к. BM=MA, BN=NC,                    =>

поскольку MN – средняя линия

(по условию)

=> (по 2 признаку СУС) =>

=>    
     (соответственные в подобных )    =>

=> MN//AC (признак параллельности прямых: равенство соответственных углов при секущей AB)

    Б) Так как (по п.А) => (по свойству подобия треугольников).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     3.3 Ознакомление со свойством точки пересечения медиан

Запись на доске

Дано: , , – медианы

Доказать:
А)       

Б)

 

 

Вопросы:

  1. Как доказать пропорциональность отрезков?
  2. Присутствуют ли на нашем рисунке треугольники, которые мы можем «подозревать» в подобии?
  3. Могут ли помочь нам эти треугольники в доказательстве пропорциональности тех отрезков, которые продиктованы условием? Нет ли других треугольников, выбор которых был бы рациональнее?
  4. Что бы рассмотреть эти треугольники всё ли есть на нашем чертеже? Если нет, то как это можно исправить?

 

 

  1. Как вы определили, что данная линия является средней линией треугольника? Пригодятся ли нам свойства средней линии при решении задачи?

 

 

 

 

 

 

 

  1. Вернемся к вопросу о подобии треугольников. Каким признаком будем пользоваться при доказательстве подобия ?

 

 

  1. Следовательно, с чего необходимо начать данное доказательство?
  2. Действительно таким образом мы докажем, что отношение  . Аналогично доказывается и пропорциональность других отрезков. Как же доказать единственность точки пересечения медиан?

Записи на доске

Доказательство:

А) Д.п.:

С (т.к. -  медиана (по усл.))  =>

(т.к. -  медиана (по усл.))

– средняя линия (по опр) =>

=> //AB (по свойству средней линии в треугольнике) =>
OAB = O   накрест леж. при

АВО = О   //AB и сек.       =>

                                              

     => (по 1 признаку УУ) =>

    => (т.к. АВ = 2 по свойству средней линии)

Аналогично, доказывается и для

.

      Б) Поскольку точка О делит отрезки в заданном отношении => единственность точки О.

 

Слайды из подготовленной презентации

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предлагает учащимся определить, что общего у треугольников, изображенных на экране, предположить, как называются линии, изображенные на всех треугольниках.

Просит зачитать определение средней линии треугольника из учебника одного из учащихся.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предлагает записать определение средней линии треугольника в краткой форме, сделать рисунок.  Пока дети фиксируют в тетрадях записи с доски, спрашивает о возможном количестве средних линий в треугольнике.

 

 

Рассказывает, что средняя линия треугольника является замечательной. Предлагает зачитать теорему и доказать свойство средней линии треугольника, использовав учебник.

Просит одного из учеников сделать чертеж и записать дано и что нужно доказать.

 

 

 

 

 

Организует поиск доказательства.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вызывает ученика для оформления доказательства на доске.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Акцентирует внимание обучающихся еще раз на том, что доказанные свойства являются свойствами средней линии треугольника.

Предлагает ответить на вопрос: могут ли данные свойства выступать в качестве признака средней линии треугольника? Рассказывает о том, что рассмотренное свойство, также является признаком средней линии треугольника.

 

 

Рассказывает, что медиана треугольника является замечательной линией треугольника. Предлагает зачитать теорему о точке пересечения медиан треугольника, использовав учебник.

Просит одного из учеников сделать чертеж и записать дано и что нужно доказать.

 

 

 

 

 

Организует поиск доказательства.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вызывает ученика для оформления доказательства на доске.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Акцентирует внимание обучающихся на том, что доказанное утверждение называется свойством медианы треугольника.

С помощью проектора предъявляет следствия из изученных свойств под запись в тетрадь. Предлагает доказать данные следствия дома за дополнительную оценку. Комментирует каждое следствие.

Отвечают на вопросы учителя, делают предположения.

 

 

 

Один обучающийся зачитывает определение средней линии из учебника.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Записывают определение в тетрадь с доски, делают чертеж, отвечают на вопрос учителя.

 

 

 

 

 

Слушают.

Зачитывают теорему из учебника.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отвечают на поставленные вопросы:

А)

  1. С помощью признаков параллельности.
  2. Что соответственные углы равны при пересечении двух прямых секущей.
  3. Углы , доказать их равенство можно с помощью подобия треугольников

 

  1. Второй признак подобия, по пропорциональным сторонам и углу между ними. В наших треугольниках, – общий, , так как MN – средняя линия.

Б)

Так как подобны по п. А и свойству подобия, т.к. , так как MN – средняя линия. Значит, .

 

Остальные учащиеся делают записи в тетрадях.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Слушают учителя.

 

 

 

Отвечают на вопрос учителя, делают предположения.

 

 

 

 

 

Слушают.
Зачитывают теорему из учебника.

 

 

 

 

Участвуют в обсуждении. Делают записи в тетради.

 

 

 

 

 

 

Отвечают на вопросы:

  1. С помощью подобных треугольников.
  2. Возможно, .

 

 

  1. Наврятли, скорее всего нужно найти более удобные треугольники, например .

 

  1. Нет, в нашем рисунке не проведен отрезок .
    Значит, следует сделать дополнительное построение. Провести среднюю линию .
  2. Поскольку по условию задачи А и В – медианы, значит точки – середины сторон АС и СВ и по определению – средняя линия. Да, конечно. Получится, по свойству средней линии треугольника //АВ и отношение АВ = 2. Значит, мы сможем составить пропорциональность сторон. Что нас и просили доказать.
  3. Поскольку по свойству средней линии треугольника //АВ. Значит, доказательство подобия двух этих треугольников можно получить по первому признаку (по двум углам).
  4. С дополнительного построения средней линии.

 

  1. Поскольку точка делит в заданном отношении отрезок, значит она по определению будет единственной.

 

 

 

Остальные учащиеся делают записи в тетрадях.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Слушают.

 

 

 

Слушают, делают записи в тетрадях.

  1. Первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изучения
    1. Упражнения по готовым чертежам на распознавание, а также на применение изученных свойств

Слайд из подготовленной презентации

-------------------------------------------------------------------------------------

 

 

Предъявляет через проектор на экран упражнения. Предлагает выполнить упражнения.

 

 

Обдумывают условия и требования задач, отвечают устно. Комментируют с места.

  1. Постановка задания на дом

§3 п. 62 Средняя линия треугольника, №564, №570

Дает пояснения по домашнему заданию.

Записывают домашнее задание.

  1. Подведение итогов урока

Вопросы:

  1. Какой отрезок называется средней линией треугольника?

 

 

  1. С каким свойством средней линии мы сегодня познакомились?

 

  1. Про какое свойство медианы мы сегодня узнали?

 

 

  1. Какие следствия о средней линии мы сегодня записали в тетрадь?

Комментирует и оценивает работу обучающихся на уроке.

Предлагает ответить на вопросы.

 

 

  1. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.
  2. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
  3. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.
  4. Средняя линия треугольника отсекает от данного треугольник, площадь которого равна ¼ площади исходного.
    Три средние линии треугольника разбивают его на 4 равновеликих треугольника, площадь каждого из них равна ¼ площади исходного.

Фото классной доски

Фрагмент 1

21.02.20.

Классная работа.

Средняя линия треугольника.

 

MN//AC                        

 

Дано:

MN – средняя линия
Доказать:

А) MN//AC

Б)

Доказательство:

А) Рассмотрим :

– общий,

                                    

(т.к. BM=MA, BN=NC,                    =>

поскольку MN – средняя линия

(по условию)

=> (по 2 признаку СУС) =>

=>    
     (соответственные в подобных )    =>

=> MN//AC (признак параллельности прямых: равенство соответственных углов при секущей AB)

    Б) Так как (по п.А) => (по свойству подобия треугольников).

 

Дано: , , – медианы

Доказать:
А)

Б)

 

 

Фрагмент 2

Доказательство:

А) Д.п.:

С (т.к. -  медиана (по усл.)) =>

(т.к. -  медиана (по усл.))

 

– средняя линия (по опр) =>  //AB (по свойству средней линии в треугольнике) =>
OAB = O   накрест леж. при

АВО = О   //AB и сек.      =>

                                              

   => (по 1 признаку УУ) =>

    => (т.к. АВ = 2 по свойству средней линии)

Аналогично, доказывается и для

.

      Б) Поскольку точка О делит отрезки в заданном отношении => единственность точки О.

Дано: , , – медианы

Доказать:
А)

Б)

 

 

 

 

1

 

Информация о публикации
Загружено: 20 сентября
Просмотров: 86
Скачиваний: 1
Никитина Алина Евгеньевна
Геометрия, 8 класс, Уроки
Скачать материал