Летние международные олимпиады для 1-11 классов Участвовать→
Конкурс разработок «Пять с плюсом» июнь 2021
Добавляйте свои материалы в библиотеку и получайте ценные подарки
Конкурс проводится с 1 июня по 30 июня

Элементы теории множеств

Данная презентация содержит материал по дисциплине Дискретная математика раздел "Элементы теории множеств".
библиотека
материалов
Содержание слайдов
Номер слайда 1

Дискретная математика. Элементы теории множеств

Номер слайда 2

Тема: Общие понятия теории множеств. Способы задания. Основные операции над множествами и их свойства. Дискретная математика – область математики, изучающая дискретные математические объекты и структуры. 𝑎∈𝐴 – а является элементом множества А; ∅ – пустое множество; {a, d, с} – множество, состоящее из трех элементов a, d и с; {x|Р(x)} – множество, состоящее из таких элементов х, для которых истинно утверждение Р(х); 𝐴∪𝐵 – объединение множеств A и В; 𝐴∩𝐵 – пересечение множеств А и В; AB  – А является подмножеством В; А \ В – разность множеств А и В; 𝐴 – дополнение множества А до универсального множества; U – универсальное множество; A*B – декартово произведение множеств А и B;a R b – между a и b существует бинарное отношение R.  

Номер слайда 3

Совокупность элементов, объединённых некоторым признаком, свойством, составляет понятие множество. Например, множество книг в библиотеке, множество студентов в группе, множество натуральных чисел N и т.д. Запись означает: элемент a принадлежит множеству М, т. е. элемент a обладает некоторым признаком. Аналогично читается: элемент a не принадлежит множеству М. Общие понятия теории множеств. Конечное множество состоит из конечного числа элементов, например, множество страниц в книге, множество учеников в школе и т.д. Пустое множество не содержит ни одного элемента и обозначается буквой Ø. Бесконечное множество состоит из бесконечного числа элементов, т.е. это множество, которое не является ни конечным, ни пустым. Примеры: множество действительных чисел, множество точек плоскости, множество атомов во Вселенной и т.д.

Номер слайда 4

Множества удобно изображать с помощью кругов Эйлера. Множество K на рисунке называют подмножеством множества М и обозначают Способы задания множеств. Универсальным называется множество U, состоящее из всех возможных элементов, обладающих данным признаком. Равными называют два множества A и B, состоящие из одинаковых элементов: А=В. . Число элементов множества A называется мощностью множества и обозначается .

Номер слайда 5

Множество, элементами которого являются подмножества множества М, называется семейством множества М или булеаном этого множества и обозначается В(М). Пример: Рассмотрим множество . Составим все подмножества множества М. Множество считается заданным, если перечислены все его элементы, или указано свойство, которым обладают те и только те элементы, которые принадлежат данному множеству. Само свойство называется характеристическим. Способы задания множества Множество всех чисел, являющихся неотрицательными степенями числа 2 можно задать:а) перечислением элементов; б) указанием характеристического свойства;в) графическое представление.

Номер слайда 6

Пример1: Изобразим на числовой прямой элементы следующих множеств: а)𝐴={𝑥|𝑥𝜖𝑁,3≤𝑥≥10} ; б) 𝐴={𝑥|𝑥𝜖𝑍,−4≤𝑥≥6} ; в) 𝐴={𝑥|𝑥𝜖𝑅,−5≤𝑥≥8} ;г) 𝐴={𝑥|𝑥𝜖𝑅, 3𝑥+72−𝑥≤0}. Пример2: Задайте множество другим способом (если это возможно):а) А = {х| x∈N, х ≤ 9}; б) А = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4};в) А = {х| x∈R, х2 – 3 = 0}. 

Номер слайда 7

Диаграммы Венна. Отношения между множествами Первая диаграмма соответствует универсальному множеству U, вторая – его пустому подмножеству, третья – произвольному множеству А.

Номер слайда 8

Отношений между пересекающимися множествами Пусть имеем множества A и B. Элемент x называют общим элементом этих множеств, если xϵ A и xϵ B. Если множества A и B имеют общие элементы (хотя бы один), то говорят, что они пересекаются или находятся в отношении пересечения A∩ B. Если каждый элемент множества B принадлежит множеству A, то записывают BA. Если AB и BA, то множества A и B называют равными и обозначают A = B. Равные множества состоят из одних и тех же элементов. Все возможные случаи отношений между пересекающимися множествами представлены на рисунке .

Номер слайда 9

Если множества A и B не имеют общих элементов, то их называют непересекающимися. Диаграммы Эйлера–Венна для этого случая представлены на рисунке. Непересекающиеся множества. Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно множествам А и В, то говорят, что эти множества пересекаются. Например, множества А = {1, 2, 3, 4} и В = {0, 3, 5} пересекаются, т.к. имеют общий элемент 3. Множества А и В не пересекаются, если не имеют общих элементов. Множества А = {1, 2, 3, 4} и В = {0, 8, 5} не пересекаются. Например, множества А = {1, 2, 3} и В = {2, 3, 1} равны, т.к. состоят из одинаковых элементов. Таким образом, множество не изменится, если переставить его элементы.

Номер слайда 10

Объединение множеств A  B – множество, составленное из всех элементов обоих множеств A и B. Например, Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда А  В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Объединение множеств. Разность множеств A \B – множество, составленное из тех элементов A, которые не входят в B. Если А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда А \ В = {1, 2, 3}.. A\B=A∩𝐵 Разность множеств

Номер слайда 11

Симметрической разностью А и В называется множество, состоящее из элементов множеств А или В, но не принадлежащихэтим множествам одновременно. Симметрическая разность множеств Пример: Если и , то Пример: Приведем примеры множеств, находящихся в отношениях, представленных на диаграммах.

Номер слайда 12

Примеры: 1. Рассмотрим множество M{2,5,6,7,10,11}. Составим все подмножества множества М.2. Задать с помощью перечисления элементов множества A U B, A ∩ B, A \ B, B \ A, если A = {3, 7, 2, 4,1}, B = {5, 2, 8, 3}.3. Вычислить: А)Б)В) Г)А={1,2,3,10,11}, B={6,10,12}А={5,6}, B={6,7}4. Запишите множество дробей С числителем которых являются числа из множества , а знаменателем – числа из множества 5. Даны множества A1 = {a, b, c}; A2 = {c, d, e, f}; U = {a, b, c, d, e, f}. Осуществить над множествами операции: а) объединения; б) пересечения; в) разности; г) дополнения. 6. Даны множества А = { a , b , c , d , e , f , k } и  В = { a , c , e , k , m , p }. Найдите       А ∪ В ,  А ∩ В ,   А \ В , В \ А .7. Пусть А – множество различных букв в слове «математика», а В – множество различных букв в слове «стереометрия». Найти пересечение и объединение множеств А и В.

Номер слайда 13

Номер слайда 14

Для операций над множествами справедливы следующие тождества:

Номер слайда 15

Примеры. Пример1: Постройте три круга, представляющие попарно пересекающиеся множества А, В и С, и отметьте штриховкой области, изображающие множества: а) А  В  С; б) (А  В)  С; в) А  В  С; г) А  В  С; д) (А  В)  С; е) (А  С)  (В  С). Для каждого случая сделайте отдельный рисунок. Пример2: Среди следующих выражений найдите такие, которые представляют собой равные множества: а) Р  М  К; б) Р  (М  К); в) Р  М  Р  К; г) (Р  М)  К; д) Р  (М  К); е) (М  Р )  (Р  К). Пример3: Найдите разность множеств А и В, если: а) А = 1, 2, 3, 4, 5, 6, В =  2, 4, 6, 8, 10; б) А = 1, 2, 3, 4, 5, 6, В = ; в) А = 1, 2, 3, 4, 5, 6, А = 1, 2, 3, 4, 5, 6; г) А = 1, 2, 3, 4, 5, 6, В = 6, 2, 3, 4, 5, 1. Пример4: Доказать справедливость следующего равенства и проверить результат на диаграмме Эйлера-Венна. А∩В\С=(А∩В)(А∩С)Пример5: Используя свойства операций, упростите выражения и проверьте правильность с помощью диаграмм Эйлера-Венна: 𝟏. А\В2. А\В∩С3. А\(А\С)4. А\В∪(В\А)5. А∪В\С6. (А∪С)\В 

Номер слайда 16

Тема: Декартово произведение множеств. Своё название декартово произведение получило в честь выдающегося французского математика, философа, физика и естествоиспытателя Рене Декарта. Рене Декарт (1596-1650)

Номер слайда 17

Декартовым произведением множеств A и B называется множество Ах. В, состоящее из всех упорядоченных пар вида (а,b), при этом первым элементом пары является элемент множества А, а вторым – элемент множества В. Декартово произведение множеств

Номер слайда 18

Примеры декартова произведения . Пример1. Известно, что А*В={(2, 3), (2, 5),    (2, 6), (3, 3), (3, 5), (3, 6)}. Установим, из каких элементов состоят множества А и В.  Пример2. Пусть даны множества А1={2,3}А2={3,4,5}A3={7,8}A1*A2*A3=Пример3. Элементами множеств А и В являются пары чисел: А={(1,12), (2,9), (3,6), (4,3), (5,0)} В={(1,9)(2,7)(3,6) (4,7)(5,0)}Найдите объединение и пересечение данных множеств.

Номер слайда 19

Примеры декартова произведения . Пример4. Запишите различные двузначные числа, используя цифры 3, 4 и 5. Сколько среди них таких, запись которых начинается с цифры 3? Пример5. Перечислите элементы декартова произведения   В, если: а) А = a,b,c, d, B =  b, k, l; б) А = В = a, b, c; в) А = a, b, c, В = .(Декартово произведение пустого множества на любое множество равно пустому множеству.)Пример6. Даны множества А = 1, 3, 5 и В = 2, 4. Перечислите элементы множеств   В и В  А. Верно ли, что: а) Множества   В и В  А содержат одинаковое число элементов; б) Множества   В и В  А равны?Пример7. Найдите декартово произведение множеств А и В, если: а) A = {т; р}, В = {e, f, k}; 6) A = B = {3, 5}.

Номер слайда 20

Тема: Бинарные отношения и их свойства. Отношения – один из способов задания взаимосвязей между элементами множества. При этом отношения отдельных объектов называются унарными отношениями, отношения, относящиеся к парам объектов, - бинарными отношениями, отношения, относящиеся к наборам из n объектов, - n-арными отношениями. Всякое подмножество декартова произведения Ах. В называется бинарным отношением. Для обозначения бинарного отношения принимают знак R. Поскольку R – это подмножество множества Ax. B, то можно записать .

Номер слайда 21

Пример бинарных отношений . Пример1. Выпишите упорядоченные пары, принадлежащие бинарным отношениям R1 и R2, заданными на множествах A={1,3,5,7} и B={2,4,6}: R1 ={(x,y):х+у=9}, R2 ={(x,y):х

Номер слайда 22

Свойства бинарных отношений

Номер слайда 23

Пример бинарных отношений . Пример3. На множестве Х=0, 3, 6, 9, 12, 15, 18 задано отношение R. Перечислите пары чисел, связанных этим отношением а) R – « х1 больше x2 в 3 раза»; б) R – « х1 больше x2 на 3». Пример4. На множестве Х = 2, 4, 6, 8 рассматриваются отношения «х = у», «х ⋮ у» и «х больше у на2». Какое из приведенных ниже подмножеств множества Х  Х задает данные отношения:   а) (4,2),(6,2),(8, 4),(8,6),(2,2),(4,4),(6,6),(8,8); б) (4,2),(6,4),(8, 6); в) (2,2),(4,4),(6,6),(8,8). Пример5. Найдите декартов квадрат множества X = {6, 4, 3, 2}. Задайте бинарное отношение "первое число делится на второе" парами.

Номер слайда 24

Пример бинарных отношений . Пример6. Найдите декартов квадрат множества X = {8, 4, 3, 1}. Задайте бинарное отношение "первое число делит второе" парами. Пример7. На множестве M=[1,5] построить бинарное отношение R, такое что а делится на b без остатка. Пример8. Выпишите упорядоченные пары, принадлежащие бинарным отношениям. R1 и R2, заданными на множествах A={2,6,8,12} и B={3,6,8,9}: R1 ={(x,y):х+у=11}, R2 ={(x,y):х

Номер слайда 25

Любое соответствие между двумя множествами Х и У можно рассматривать как множество упорядоченных пар, образованных из их элементов. Соответствие между множествами. Соответствием между множествами Х и У называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств. Соответствия принято обозначать буквами S. Соответствие между множествами Х = 1, 2, 4, 6 и У = 3, 5 можно задать: при помощи предложения с двумя переменными: а  в при условии, что а  Х, в  У; перечислив пары чисел, принадлежащих подмножеству декартова произведения ХУ: (1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(4,5). К этому способу задания относят также задание соответствия при помощи графа и графика.

Номер слайда 26

Соответствие между множествами. Пусть S – соответствие между множествами Х и У. Соответствие S-1 между множествами У и Х называется обратным данному, если у S-1х тогда и только тогда, когда х S у. Соответствия S и S-1 называют взаимно обратными. Пример1. А) Множества Х = 1,3,4,6 и Y = 0,1 находятся в соответствии S = (1,1), (3,0), (3,1), (4,0), (4,1), (6,1). Задайте соответствие S-1, обратное соответствию S, и постройте на одном чертеже их графики. Б) Задайте при помощи графа соответствия между множествами Х = а, b, с и Y = 2, 4, 6, а так же обратное соответствие. В) Пусть даны множества A = {2,4,6,8}, B = {3,5,7}, C = {6,9,12,15} и соответствия S= { (a,b) : a ≥b }, S = {(b,c) : c = 3b }. Представить соответствия графически. Пример2. Задайте следующие соответствия для множеств х∈Х, у∈ У парами (х;у). Где Х={1, 2, 3, 4, 5}; У={6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}а) x делит y (без остатка),б) x меньше y,в) x равно y,г) у-х=2. 

Информация о публикации
Загружено: 11 марта
Просмотров: 89
Скачиваний: 1
Карасева Виолетта Сергеевна
Математика, СУЗ, Презентации

Проверьте знания своих учеников интересными заданиями

Красочные наградные дипломы и сертификаты для участников, свидетельства и благодарности каждому учителю, ежемесячный розыгрыш ценных призов!

Скачать материал